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页数:534

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出版时间:2009-3

价格:62.00元

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isbn号码:9787810649049

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• 高等数学
• 数学基础
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好的，这是一份为一本名为《高等数学基础》的图书撰写的、内容详实的图书简介，该简介旨在不提及该书本身内容的前提下，详细介绍一系列可能与该书主题相关或形成对比的领域，以构建一个丰富而具体的图景。 --- 图书简介：《群星的轨迹：古典力学与现代物理的交汇》 第一部分：宏观世界的精确描摹——经典物理学的恢弘叙事 本书旨在带领读者深入探索人类认知世界的一条重要路径：基于观测、推理与数学建模的经典物理学体系。我们不再关注微积分的抽象构建，而是将目光投向那些由牛顿、拉格朗日和哈密顿所绘制的宏伟蓝图。 1. 运动的本质：从欧几里得到拉格朗日力学的蜕变 本书的开篇，是对运动学和动力学的系统梳理。我们首先回顾欧几里得几何如何奠定空间感的基础，以及伽利略的理想实验如何剥离了惯性的朴素直觉。核心内容集中于牛顿第二定律的向量形式及其在笛卡尔坐标系下的应用。读者将通过丰富的实例，如抛体运动的精确轨迹分析、行星绕日运动的开普勒定律的严格推导，体会到力与加速度之间的直接因果律。 随后，叙事转向更优雅、更具普适性的场域。我们将深入探讨变分原理的哲学魅力，即“作用量最小”的自然倾向。拉格朗日力学的引入，标志着对传统力学描述的范式转移。通过分析广义坐标的选择如何简化复杂系统的描述（例如双摆问题或滑块在曲面上的运动），读者将领略到，物理定律的表达方式，本身也可以是一种审美追求。我们详尽解析了拉格朗日量 $L = T - V$ 的构建过程，以及如何利用欧拉-拉格朗日方程导出系统的运动微分方程，这种方法论上的突破，极大地超越了单纯的向量运算。 2. 场的观念：电磁世界的交响曲 古典物理学的另一座高峰，无疑是麦克斯韦方程组所构建的电磁场理论。本书将细致考察这个数学模型的建立过程，如何将电、磁、光现象统一于四个简洁的偏微分方程之中。 我们首先追溯法拉第的电磁感应定律和安培定律的实验基础。随后，核心篇幅将放在麦克斯韦对安培定律的修正（引入“位移电流”概念）上，正是这一修正，预言了电磁波的存在，并揭示了光即是电磁波的深刻本质。读者将学习如何利用散度和旋度等向量算子，在静态和动态场情境下，求解电势、磁矢势以及电磁场的传播特性。对坡印廷矢量的分析，将直观展示能量如何在电磁场中流动。 本书还将简要触及洛伦兹变换的几何意义，虽然这是狭义相对论的基石，但其最初的动机——保持麦克斯韦方程组在不同惯性系下的形式不变——完全根植于对经典电磁学的深度理解。 第二部分：结构与稳定——材料科学中的连续介质力学 将视角从理想化的质点和场，转移到真实的、具有形变的物质，我们需要引入连续介质力学的工具。 1. 弹性体的应力与应变张量 在材料的宏观尺度上，形变不再可以用简单的位移向量来描述。本书详细阐述了应力张量 $sigma_{ij}$ 如何完整描述一个微小体积面上所受到的所有内力作用，以及应变张量 $epsilon_{ij}$ 如何描述该体积元的形变状态。我们关注的是这些高阶张量在三维空间中的具体分量表达，及其在坐标旋转下的变换规律。 随后，我们将聚焦于描述线性弹性行为的胡克定律在三维情况下的推广，即本构方程。这涉及到杨氏模量、泊松比、剪切模量等弹性常数之间的相互联系。读者将通过分析梁的挠度、柱体的屈曲等经典工程问题，理解偏微分方程在描述物质形变边界条件时的重要性。 2. 流体动力学：粘滞性与边界层 本书的这一部分，将流体力学置于一个更具应用价值的背景下。我们从欧拉方程（无粘性流体）出发，逐步引入粘性项，推导出描述真实流体运动的纳维-斯托克斯方程。 我们重点探讨了方程组中非线性对流项和粘性项的物理意义。在分析低雷诺数（粘滞效应显著）和高雷诺数（惯性效应显著）的流动时，读者将领会到数学模型选择的必要性。对伯努利方程（能量守恒在流体中的体现）的详细讨论，将贯穿于飞机翼型设计和管道流动的分析之中。此外，边界层理论的引入，解释了高速流动中，摩擦力如何集中在一个极薄的区域，这是理解阻力产生的关键所在。 第三部分：概率的混沌与统计的秩序——热力学与信息论的萌芽 本书的最后一部分，将视野引向了由大量微观粒子集合所展现出的宏观规律，即统计物理和热力学的领域。 1. 熵与不可逆性：热力学定律的深层含义 我们首先审视热力学第一定律（能量守恒）和第二定律（熵增原理）的物理基础。与微观粒子运动的完全可逆性不同，宏观过程的不可逆性是本学科的核心矛盾。本书将以卡诺循环和热力学第三定律为锚点，详述温度、压力、体积等宏观状态变量的定义及其在相图上的表征。 重点在于理解熵（$S$）的统计力学解释，即玻尔兹曼的公式 $S = k ln W$，这标志着热力学开始依赖于概率概念。通过分析气体分子热运动的麦克斯韦速率分布，读者将看到，单个粒子的随机性如何汇聚成系统宏观上的确定性趋势。 2. 信息论的先声：关联与不确定性 在探讨熵的同时，我们触及了香农信息论的早期思想对物理学的启发。虽然严格的香农理论在后期才成熟，但信息熵作为对系统不确定性的度量，在统计力学中有着直接的映射。分析气体在不同盒子中混合、扩散的过程，可以直观地理解“信息缺失”等价于“熵增”的深刻联系。这种跨学科的视角，为理解现代物理学中信息和熵的统一性奠定了基础。 --- 总结： 《群星的轨迹》旨在构建一个完整的古典物理学知识框架，它聚焦于微分方程的建模能力、场论的统一性以及统计描述的必然性。它是一部关于如何用精确的数学语言，描绘从宏观运动到物质形变，再到能量流动的经典科学史诗。本书的读者将通过对这些核心理论的深入剖析，建立起坚实的物理直觉与严谨的数学思维，为探索更深层次的量子世界或相对论留出足够的知识空间。

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在我的数学学习旅程中，我一直对“概率论与数理统计”这部分内容有着特别的期待。我觉得，虽然微积分和线性代数是基础，但能够用数学的语言来描述和分析不确定性，才是更接近真实世界的一种能力。《高等数学基础》这本书，在概率统计方面，是否能够提供一个清晰的入门？我希望它能从最基本的概念入手，比如随机事件、概率的公理化定义、条件概率和全概率公式，以及贝叶斯公式。然后，我希望它能过渡到随机变量的概念，包括离散型和连续型随机变量的概率分布，以及期望和方差的计算。对于数理统计，我特别期待它能介绍描述性统计，比如均值、中位数、众数、方差等统计量的意义和计算方法，以及推断性统计的基本思想，例如参数估计和假设检验。这本书是否会提供一些实际的数据集，让我们能够动手实践，将所学的统计知识应用到数据分析中？我希望通过这本书，能够建立起对数据内在规律的初步认识。

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说实话，我在大学的数学课程学习中，曾经因为一些抽象的概念而感到非常吃力，特别是涉及到了“多元函数”的部分。虽然老师们都很努力地讲解，但有时候感觉知识点跳跃性太强，或者例题的难度一下子就上去了，让我这种基础不牢固的学生感到无所适从。所以我一直在寻找一本能够真正填补我知识断层，并且能够把我从“畏惧”数学，变成“理解”数学的书。在看到《高等数学基础》的目录时，我立刻被吸引了。它对“多元函数的极限与连续”的处理，以及“多元函数微分”的章节，给我带来了很大的希望。我非常想知道，这本书是如何将我们熟悉的单变量函数概念，推广到多变量的世界的？例如，对于多重积分，它又是如何通过黎曼和的定义，逐步引入到三重积分、曲面积分等概念的？我期待它能够清晰地解释偏导数和全微分的意义，特别是二阶偏导数在研究曲面性质中的作用。同时，我也希望书中能提供足够多的可视化图形，帮助我理解高维空间中的几何直观，比如曲面、切平面、法向量等等。这本书的名字“高等数学基础”，对我来说，就如同是一座桥梁，连接着我现有的数学知识和更高级的数学领域，我希望它能让我稳稳地走过这座桥。

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《高等数学基础》这本书，我拿到手的时候，就被它沉甸甸的质感和封面那一抹低调沉稳的蓝色所吸引。我一直觉得自己对数学的学习还停留在比较基础的层面，很多概念总是模模糊糊的，遇到稍微复杂一点的问题就感到力不从心。一直以来，我都渴望有一本能够系统地梳理高等数学脉络，并且用足够清晰易懂的语言来解释那些抽象概念的书。在翻阅《高等数学基础》之前，我尝试过不少号称“基础”的数学书籍，但要么过于晦涩，要么内容碎片化，总是无法真正建立起完整的知识体系。这次，《高等数学基础》的出现，就像是在我数学学习的道路上点亮了一盏明灯。我尤其关注它在微积分部分的处理，比如极限的严谨定义，它是如何一步步引导读者理解ε-δ语言的？导数的几何意义和物理意义是如何联系起来的？积分在面积、体积计算中的应用又是如何展现的？这些都是我一直以来想要深入理解但又常常不得其法的方面。我期待它能通过详实的例题和清晰的逻辑链条，让我对这些核心概念有豁然开朗的认知。此外，书中对函数的研究，包括单调性、奇偶性、周期性以及图像的绘制，我希望它能提供足够多的练习和技巧，让我能够熟练地分析和描述各种函数。这本书的“基础”二字，对我来说，意味着它将是构建我未来更深入数学学习的基石，我希望能在这里打下牢固的根基，为后续的学习扫清障碍。

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我一直觉得，数学的美感很大程度上体现在它的“简洁”和“优雅”之中，特别是那些能够将复杂问题转化为简洁形式的工具。《高等数学基础》这本书，在“线性代数”这个模块，是否能体现出这种特质？我期待它能从向量空间、线性组合、线性无关、基与维数这些基本概念入手，构建起一个清晰的理论框架。矩阵的运算，包括加减、乘法、转置、逆矩阵，以及它们在解决方程组和几何变换中的作用，我希望这本书能给予详尽的阐释。行列式的性质和计算方法，以及它在判断矩阵可逆性和求解线性方程组中的应用，也是我非常关注的内容。此外，书中是否会涉及特征值和特征向量的概念？它们在理解矩阵的内在性质和对角化过程中扮演着重要角色，我非常希望能够在这本书中得到系统的学习。我希望这本书能够让我领略到线性代数的力量，感受它如何以一种高度结构化的方式来处理和解决问题。

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我是一名对数学的逻辑严谨性要求极高的学习者。在学习高等数学的过程中，我常常觉得一些教材在介绍定理时，虽然给出了证明，但过程却略显仓促，或者跳过了关键的细节，导致我难以完全理解证明的脉络。因此，我非常期待《高等数学基础》能在“不定积分”和“定积分”的理论部分，给予我更深入的指导。我希望能详细了解不定积分的求导运算的反运算的定义，以及各种积分技巧，如换元积分法、分部积分法，它们是如何被推导出来的，以及在实际应用中应该注意哪些细节。对于定积分，我渴望理解它作为“积分和”极限的定义，以及定积分的各种性质，特别是牛顿-莱布尼茨公式的由来和证明，这对我来说是理解微积分基本定理的关键。这本书是否会提供大量的练习题，并且这些练习题能够覆盖从基本到复杂的各种难度，并且在解答中能够体现出清晰的解题思路，这对于巩固我的学习成果至关重要。我希望能在这本书中，真正理解积分的本质，并能灵活运用各种积分方法解决问题。

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我是一名对数学应用场景有着浓厚兴趣的学习者。在我看来，数学的价值不仅在于其理论的严谨性，更在于它能够解决现实世界中的复杂问题。《高等数学基础》这本书，在“函数与方程”这个章节，是否能够提供一些贴近实际的案例？我希望它能从函数的定义和性质出发，比如单调性、奇偶性、周期性、有界性等，以及函数图像的绘制技巧。对于方程的求解，我希望它能介绍一些基本的代数方程和超越方程的数值解法，比如二分法、牛顿迭代法等。这些方法不仅在理论上很重要，在实际的计算机编程和科学计算中也经常被用到。书中是否会提供一些关于函数在物理、经济、生物等领域应用的实例，例如，如何用函数模型来描述物体的运动轨迹，或者如何用函数来分析市场需求的变化？我希望这本书能够让我看到数学工具的强大之处，并将所学的知识与实际生活中的问题联系起来。

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我是一个对逻辑推理和抽象思维有着浓厚兴趣的学习者，在接触《高等数学基础》之前，我接触过一些偏向应用数学的教材，它们往往侧重于解题技巧和公式应用，但对于数学概念本身的形成过程和理论推导，则交代得相对简略。这让我总感觉少了些什么，仿佛只是在机械地记忆和运用，而非真正理解数学的内在美。我特别好奇这本书在处理“数列”和“级数”的部分，是如何展现无穷的奥秘的？数列的收敛性判断，级数的审敛法，特别是那些大家耳熟能详的判定方法，比如比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法，以及交错级数和幂级数的性质，是否都做了详尽的阐述和证明？我期望这本书能引领我进入一个更广阔的数学世界，在那里，我们可以探究无穷数列的和，理解函数如何表示成无穷级数，这对我来说，是数学中最令人着迷的部分之一。我对书中的章节安排也充满期待，希望它能够按照逻辑的自然顺序，从基础概念逐步深入，让我能够循序渐进地掌握知识。例如，在讲解级数时，是否会先从等比级数入手，然后过渡到更一般的级数，并且在讲解过程中，是否会穿插一些历史上的数学思想和发展过程，这有助于我理解这些概念是如何被发现和完善的。

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我一直以来对数学的“建模”能力非常感兴趣。我认为，数学不仅仅是抽象的符号和公式，更是描述和解决现实世界问题的有力工具。《高等数学基础》这本书，在“微分方程”这一章节，是否能够让我看到数学如何与物理、工程、经济等学科紧密结合？我希望它能够清晰地介绍各种基本类型的微分方程，例如一阶微分方程（如变量可分离方程、线性微分方程、全微分方程）和二阶线性微分方程（如常系数的齐次和非齐次方程）的求解方法。更重要的是，我期望书中能提供一些经典的数学模型，展示如何将实际问题转化为微分方程，以及如何通过求解微分方程来分析和预测现象。例如，人口增长模型、放射性衰变模型、阻尼振动模型等等，这些模型如果能在书中得到详细的介绍和解析，将极大地激发我对高等数学学习的兴趣和动力。我希望这本书能让我明白，高等数学并非只是理论的堆砌，而是解决实际问题的金钥匙。

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作为一名对理论性内容有较高要求的读者，我在学习数学的过程中，始终关注概念的严谨性和推导的完整性。《高等数学基础》这本书，从书名上就透露出一种扎实的基础理论导向，这正是我所需要的。我特别想了解它在“向量”和“空间解析几何”部分是如何展开的。向量的线性运算，点积和叉积的几何意义，以及它们在物理和工程中的应用，我希望这本书能给予详尽的阐释。对于空间直线、平面的方程，以及它们之间的位置关系，这本书是否能够通过清晰的几何图示和代数推导，帮助我建立起对三维空间的直观认识？我尤其关心书中是如何讲解二次曲面，比如椭球面、双曲面、抛物面等，以及如何通过坐标变换来简化它们的方程。这些内容对于理解许多物理现象和工程问题至关重要，如果能在这本书中得到系统性的学习，对我而言将是巨大的收获。我期望这本书不仅仅是罗列公式和定理，更能展现数学思想的演变和发展，让我在学习知识的同时，也能体会到数学的逻辑魅力和结构之美。

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我一直认为，数学学习是一个循序渐进、不断积累的过程。在我之前的学习中，我总是觉得如果在某些关键节点能够有更深入、更系统的梳理，我的数学基础会更加扎实。《高等数学基础》这本书，恰好满足了我对这种系统性学习的渴望。我特别期待它在“数学归纳法”和“初等数论”方面的内容。数学归纳法作为一种重要的证明方法，它如何在解决涉及自然数的命题时发挥作用，以及其严谨的证明步骤，我希望书中能够详细讲解。对于初等数论，比如整除性、同余关系、最大公约数和最小公倍数等概念，它们虽然看似简单，却构成了许多高级数学的基础。这本书是否会介绍一些经典的数论问题，例如费马小定理、欧拉定理等，并展示如何运用这些定理来解决问题？我希望能在这本书中，不仅掌握解题技巧，更能理解数学概念背后的逻辑推导和普遍性规律，从而建立起对数学的深刻理解和热爱。

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