考研微积分500例 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:许洪范

出品人:

页数:298

译者:

出版时间:2009-3

价格:32.00元

装帧:

isbn号码:9787118061635

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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好的，以下是一份针对一本名为《考研微积分500例》的图书的详细简介，这份简介旨在介绍一本不包含《考研微积分500例》中特定内容的图书，同时保持内容的详实和自然的风格，避免任何AI痕迹的展现： --- 深度解析：数学分析的基石与拓展——《高等数学精要与专题研习》 导言：构建严谨的数学思维框架 高等数学，作为数学科学的基石，其重要性不言而喻，尤其在理工科专业学习与研究生入学考试中，对概念的深刻理解和解题技巧的熟练掌握是制胜的关键。然而，市面上许多参考书侧重于题海战术或纯粹的公式罗列，往往忽略了数学思想的内在逻辑与跨学科应用潜力。 《高等数学精要与专题研习》（以下简称《精要与专题》）旨在提供一种截然不同的学习路径。本书并非专注于特定考试的题型覆盖，而是立足于数学分析的核心原理，通过精选的、具有代表性的例题和深度剖析，引导读者建立起一个严谨、全面且富有洞察力的数学分析知识体系。本书的出发点，是培养读者“像数学家一样思考”的能力，而非仅仅满足于“做出考题”的目标。 第一部分：函数、极限与连续性——奠定分析的基石 本部分深入探讨了微积分学的基本概念，着力于理论的严谨性与直观理解的结合。 1. 极限的精确定义与拓扑视角： 我们不仅复习了 $varepsilon-delta$ 语言的熟练应用，更引入了序列收敛的拓扑观点来理解极限的本质。重点剖析了柯西收敛准则（Cauchy Criterion）在实数分析中的关键作用，以及如何利用它来证明某些重要数列的收敛性，避免了仅依赖于传统放缩法的局限性。 2. 连续性的深度挖掘： 除了基本的连续函数性质（如介值定理、极值定理），本书着重分析了一致连续性与普通连续性的区别。我们通过构造反例，清晰展示了开区间上连续函数不一定有界或达到最大值的情形，从而深化了读者对紧致性概念的理解。专题研习中，我们探讨了巴拿赫不动点定理在线性方程求解中的初步应用。 3. 无穷小与无穷大的比较分析： 本章摒弃了简单的等价无穷小代换，转而使用更高阶的泰勒展开来精确比较无穷小阶数。通过对 $e^x - 1 - x$ 与 $sin x - x$ 等函数的比较，展示了如何在高精度计算或奇异性分析中，高阶无穷小分析的决定性优势。 第二部分：导数与微分——变化的度量与几何诠释 本部分侧重于导数的几何意义、代数运算及其在优化问题中的应用，强调了微分在描述局部变化中的精确性。 1. 导数的微分形式与链式法则的推广： 本书详细阐述了全微分的概念，并将其推广到高维空间中的方向导数和梯度。我们通过多变量函数中的隐函数定理（Implicit Function Theorem）的严格推导，展示了微分如何作为局部线性近似工具，支撑起更复杂的函数关系分析。 2. 罗尔定理、拉格朗日中值定理的推广应用： 除了常规的证明题型，我们深入探讨了柯西中值定理在构造特殊函数序列时的巧妙用法。更重要的是，我们引入了Hadamard 增量定理，将其作为连接函数值变化与导数值的一个更具普适性的工具。 3. 极值与最优化： 在多元函数极值判断部分，我们重点分析了海森矩阵（Hessian Matrix）的正定性与不定性的判断，特别是对于鞍点（Saddle Points）的几何形态识别。专题部分，我们引入了拉格朗日乘子法的几何直观解释，并辅以约束优化问题的具体实例，如最省材料的几何结构设计。 第三部分：积分学——累积、面积与线性的力量 积分理论是微积分的另一大支柱，本书力求在黎曼积分的基础上，拓展读者的视野至更广阔的积分概念。 1. 黎曼可积性的判定与反例： 我们详细分析了狄利克雷函数等“病态”函数的不可积性，并通过上、下和判定法，清晰界定了黎曼可积的充分必要条件。对于有界函数，我们深入探讨了不连续点的分布如何影响可积性。 2. 微积分基本定理的深度剖析： 本书的亮点之一是对微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）的证明进行了多版本比较，展示了不同证明路径（如依赖于均值定理或依赖于导数定义）的内在联系与区别。我们强调了该定理作为微分与积分之间桥梁的本质作用。 3. 广义积分与收敛性的判定： 对于无穷区间或无界函数上的广义积分，我们系统梳理了比较判别法、极限判别法以及阿贝尔判别法。专题研习中，我们借助贝塔函数（Beta Function）和伽马函数（Gamma Function）的定义，展示了特殊函数在处理积分中的优越性，而非仅仅停留在基本的 $int_a^infty f(x) dx$ 的计算层面。 第四部分：级数理论——从有限求和至无限逼近 级数理论是连接代数与分析的桥梁，也是理解函数逼近的关键。 1. 数项级数的收敛判据的统一视角： 我们不仅仅罗列了比值判别法、根值判别法，更重要的是，我们从柯西收敛准则出发，统一阐述了这些判据的数学原理。重点剖析了当判别法失效时（如对数判别法的使用场景），如何利用积分判别法来处理更复杂的级数。 2. 幂级数的理论基础与函数表达： 在幂级数展开方面，本书详细推导了泰勒级数的余项形式（拉格朗日余项与佩亚诺余项），并强调了一致收敛性在保证级数可以项式求导和求积上的决定性意义。 3. 傅立叶级数预备知识： 作为对传统泰勒级数在周期函数处理上的重要补充，本章引入了正交函数的概念，为后续的傅立叶级数分析打下坚实的线性代数基础，解释了为什么正交基能够保证展开的唯一性和完备性。 总结：超越解题的数学视野 《高等数学精要与专题研习》旨在成为一本引导思考的工具书。它避免了过度迎合应试技巧的倾向，转而聚焦于数学分析的概念深度、逻辑严谨性和应用广度。通过对核心概念的反复打磨和对典型专题的深入挖掘，本书致力于帮助读者建立起一个稳固的分析学知识殿堂，为未来更高级的数学学习和工程实践做好充分准备。本书适合所有希望深入理解微积分原理，而非仅满足于计算技巧的理工科学生与研究人员。

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