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出版者:

作者:罗仁俊 编

出品人:

页数:296

译者:

出版时间:2009-2

价格:28.00元

装帧:

isbn号码:9787562327684

丛书系列:

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浩瀚星空下的理性探索：一部面向现代科学家的《高等数学原理与应用》导览 第一章：微积分的基石——极限与连续性的深刻洞察 本书并非旨在指导日常的大学物理课程学习，而是将目光投向了支撑所有现代物理学理论的数学框架——高等数学的本质与应用。我们首先从严谨的极限理论入手，这不仅是微积分的起点，更是理解物理学中无限小量和渐进行为的钥匙。我们将探讨 $varepsilon-delta$ 语言的严格性，并将其应用于分析函数序列的收敛性，这对于量子场论中的重整化思想有着深远的启发。 随后，我们将深入研究函数的连续性与一致连续性。在物理学中，我们常常假设物理量在空间和时间上是连续变化的，但这种连续性背后的数学保证至关重要。书中详细剖析了介值定理、极值定理在物理模型构建中的作用，并引入了紧集的概念，阐明了为何在特定物理约束下，最优解一定存在。例如，分析布朗运动轨迹的不可微性，以及在热力学平衡态下，系统状态函数的“光滑”特性所依赖的数学基础。 第二章：微分学的精粹——变分原理与最优控制 相较于传统的导数计算，本书更侧重于微分学在解决物理优化问题中的应用。拉格朗日中值定理和泰勒展开被提升到理论分析工具的高度，用以理解系统在微小扰动下的响应。 核心部分将聚焦于变分法。欧拉-拉格朗日方程的推导将不仅仅停留在力学层面，而是扩展到更广阔的领域，如电磁场理论中的最小作用量原理（作用量泛函的泛函导数），以及广义相对论中爱因斯坦场方程的场作用量。我们将详细探讨泛函微分，并运用泛函的极值条件来推导著名的诺特定理，揭示物理守恒定律与时空对称性之间的深刻联系。此外，最优控制理论的初步概念也将被引入，用以分析复杂动态系统（如高精度仪器控制或受控核聚变）的最优演化路径。 第三章：积分学的宏大叙事——测度、积分与物理量的累积 积分不再被视为求面积或体积的简单运算，而是测度论视角下，对物理量进行累积的总和。本书引入了勒贝格积分的概念，解释了它为何在处理不规则的物理分布（如分形结构或狄拉克 $delta$ 函数）时，比黎曼积分更具优越性。 广义积分（反常积分）的收敛性判定标准被严格化，这直接关系到诸如无限长导线产生的电磁场或无限大宇宙的物质密度计算中出现的奇异性处理。重点章节将讲解傅立叶变换的严格定义，并将其置于 $L^2$ 空间（平方可积函数空间）的框架下讨论，这为量子力学中波函数在希尔伯特空间中的表示奠定了数学基础。我们还将探讨多重积分在高维相空间中的应用，以及斯托克斯定理、高斯散度定理在电磁学和流体力学中的本质意义——它们是微分形式在不同维度流形上的推广，而非孤立的公式。 第四章：线性代数的统一场——向量空间与算符的物理表征 本书将线性代数提升到抽象代数的层面，将其视为描述物理态的通用语言。我们不再满足于二维或三维向量的几何直观，而是深入研究任意有限维和无限维向量空间（如函数空间）的结构。特征值、特征向量的求解被置于算符对空间基底的变换背景下。 特别地，本书将详细分析厄米算符的性质及其完备性，这是量子力学中所有可观测量（如能量、动量、角动量）必须服从的数学要求。矩阵对角化过程被解释为选择一组合适的“本征基底”来简化物理系统的描述。此外，矩阵的奇异值分解（SVD）将被用于分析复杂耦合系统（如耦合振子或多体系统）的模式分解和稳定性分析。 第五章：微分方程的结构解析——偏微分方程的物理完备性 物理世界的演化规律几乎都以偏微分方程（PDEs）的形式表达。本书的重点在于理解这些方程背后的物理完备性，而非单纯的求解技巧。我们将从拉普拉斯方程（静电势、稳态热传导）、波动方程（波的传播）和扩散方程（粒子输运、热耗散）的物理背景出发，分析它们的边值问题和初值问题。 我们引入了Green函数（格林函数）的概念，将其视为描述物理系统对点源响应的“基本单元”。这种方法使得求解复杂边界条件下任意源项驱动的PDE成为可能。本书将详细论述傅里叶级数和傅里叶变换在求解PDE时的强大作用，展示如何将空间或时间上的复杂微分运算转化为代数运算。最后，本书将触及更高级的课题，如流体动力学中的纳维-斯托克斯方程的数学难题，以及场论中规范不变性对微分方程形式的内在约束。 第六章：概率、统计与信息的数学结构 本书的最后一章探讨了现代物理学日益依赖的随机性与信息论的数学基础。概率论被置于测度论之上，重点研究随机变量的联合分布、条件概率以及大数定律和中心极限定理在统计物理中的实际意义。 我们探讨了马尔可夫过程和随机漫步的性质，这对于理解耗散系统和非平衡态统计物理至关重要。信息论部分将引入熵的概念，并将其与热力学中的玻尔兹曼熵进行对比，强调香农熵在描述信息不确定性上的普适性。此外，将简要介绍信息几何的基本思想，将其作为连接几何、概率和统计物理学的桥梁。 总结 本书为有志于深入研究理论物理、应用数学或高级工程科学的读者提供了一个坚实的数学基础。它侧重于数学工具背后的深刻物理含义和抽象结构，旨在培养读者运用严谨的数学语言来构建、分析和解决复杂物理问题的能力。它假定读者已具备基础的微积分和线性代数知识，并旨在引领读者跨越“应用计算”与“数学原理”之间的鸿沟。

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