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页数:132

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出版时间:1970-1

价格:18.00元

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isbn号码:9787305057083

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• 线性代数
• 矩阵
• 向量
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• 特征值
• 特征向量
• 线性方程组
• 向量空间
• 数学
• 高等数学

宇宙的织锦：对数学美学的深度探索 图书名称： 宇宙的织锦：对数学美学的深度探索 作者： 亚历山大·冯·赫尔姆霍茨 (Alexander von Helmholtz) --- 内容简介 《宇宙的织锦：对数学美学的深度探索》是一部宏大而细腻的著作，它超越了纯粹的符号运算和实用的技术应用，深入到数学概念的哲学根源、历史演变以及其在人类认知结构中所扮演的至高无上的角色。本书并非一本教科书，而是一次智力上的朝圣之旅，旨在揭示隐藏在数字、结构和形式背后的普适性真理与艺术之美。 本书的结构围绕三大核心支柱展开：形式的必然性（逻辑与公理的起源）、无限的肖像（微积分与拓扑学的形而上学意涵），以及和谐的共振（数学与自然科学、艺术哲学的交汇点）。 第一部：形式的必然性——从直觉到公理的搭建 本部分致力于探讨数学知识的基石——我们如何确信数学陈述的真实性。赫尔姆霍茨教授以严谨的批判精神，考察了欧几里得几何学从古代直觉构建到十八世纪非欧几何学兴起的漫长历程。 第一章：感知的空间与几何的起源 本章深入剖析了康德哲学中“先验直观”的遗产，并将其置于数学历史的语境中进行审视。作者详细论述了人类对空间的初始感知（如三维性、距离的保持）如何不可避免地引导我们构建出欧氏几何。然而，讨论并未止步于此。通过对罗巴切夫斯基和黎曼工作的细致梳理，作者阐明了逻辑一致性（Logical Consistency）如何成为比经验直觉更高级的裁判标准。非欧几何的出现，并非否定了欧氏几何的实用性，而是揭示了数学公理系统的选择性与自由性——我们可以选择不同的起点，但一旦确定，逻辑推导的路径便具有不容置疑的必然性。 第二章：数论的冥想：纯粹的结构 相较于几何学的具象性，数论被视为最纯粹的数学表达。本章探讨了素数的分布规律、丢番图方程的不可解性，以及费马大定理的百年征程。作者强调，数论的美在于其极端的“内向性”——它不需要外部世界的参照物，其真理完全由其自身的结构所定义。赫尔姆霍茨以伽洛斯群论为例，展示了抽象代数如何从解决具体方程的需要中“涌现”出来，最终成为描述一切对称性的通用语言。这一部分的叙事风格带有强烈的历史回溯感，追溯了皮塔哥拉斯的神秘主义传统如何被现代代数的严密性所继承和升华。 第二部：无限的肖像——变化与结构的描绘 本部分聚焦于数学如何处理“运动”、“连续性”和“复杂结构”这些难以捉摸的概念，重点分析了微积分的哲学基础与现代拓扑学的兴起。 第三章：流动的本体：连续性的悖论与解答 本章是全书的理论核心之一。作者没有陷入微积分早期对“无穷小”的争论，而是将其视为一种对“变化率”的直觉捕捉工具的形式化重构。通过对柯西极限理论和魏尔斯特拉斯 $epsilon-delta$ 论法的深入解读，赫尔姆霍茨展示了数学家如何通过严谨的定义，将连续运动这一日常经验，转化为可以被精确分析的对象。更进一步，本书探讨了黎曼积分与勒贝格积分的差异，指出后者在处理极度不规则函数时所展现出的优越性，这标志着数学家对“可测性”概念的深刻洞察。 第四章：无损的形变：拓扑学的柔软视角 拓扑学被作者誉为“对几何学的终极解放”。如果代数是关于量（Quantity）的科学，几何是关于度量（Measure）的科学，那么拓扑学则是关于不变性（Invariance）的艺术。本章细致地阐述了拓扑学如何通过研究咖啡杯和甜甜圈之间的等价性（拓扑等价），将我们的注意力从长度、角度等局部属性，转移到连通性、孔洞数目等整体结构上。作者特别分析了拓扑不变量（如欧拉示性数）的发现，认为它们代表了一种更深层次的、不受坐标系变换影响的宇宙结构信息。 第三部：和谐的共振——数学与世界的对话 最后一部分探讨了数学作为一种普遍语言，如何参与到对客观世界的描述与理解中去，以及它如何反哺人类的审美体验。 第五章：物理学的骨架：对称性与守恒 本章深入考察了数学结构在理论物理学中的核心地位。作者详细分析了诺特定理（Noether’s Theorem），阐述了物理学中的每一个守恒定律（如能量守恒、动量守恒）背后，都对应着一个特定的连续对称群。这种对应关系并非巧合，而是宇宙基本法则的内在结构所决定的。赫尔姆霍茨认为，物理定律之所以具有优雅性，正是因为它们严格遵循了最简洁的数学对称性原则。本章也简要触及了群论在量子力学中对粒子分类的指导作用。 第六章：数字的审美：数学中的秩序与偶然 《宇宙的织锦》的收官之章回归到美学层面。作者探讨了黄金分割、斐波那契数列在艺术、建筑乃至自然界中的反复出现，并批判了将这些现象过度神秘化的倾向。真正的数学美学不在于简单的比例，而在于复杂性中涌现的简洁结构。本书通过对分形几何的分析（如曼德博集合），展示了如何用极简的代数规则，生成无限精细和变幻莫测的视觉图像。这表明，数学不仅是描述世界的工具，它本身就是创造美的源泉，是连接客观逻辑与主观体验的桥梁。 --- 读者对象 本书适合所有对基础数学原理感到好奇，渴望超越教科书表面的读者。它面向哲学家、物理学家、工程师，以及任何希望理解人类最高级思维活动——数学——的深刻逻辑与令人震撼的美感的人士。阅读本书，无需深厚的公式基础，但需要一颗愿意深入探究“为什么”的求知之心。

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