Smooth manifolds (Lectures in geometry) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Mir Publishers

作者:M. M Postnikov

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1989

价格:0

装帧:Unknown Binding

isbn号码:9785030009100

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光滑流形导论：几何学中的严谨探索 在数学的宏伟殿堂中，几何学扮演着至关重要的角色，它不仅描绘了我们所处的空间，更是理解数学其他分支的基石。而光滑流形，作为现代几何学的一块璀璨宝石，提供了一种强大的框架，用以研究那些局部上看似欧几里得空间，但整体上可能具有复杂结构的几何对象。本书《光滑流形：几何学中的严谨探索》正是旨在为读者提供一个深入而全面的光滑流形理论入门。我们将跳出平面和三维空间的直观局限，踏入一个更加抽象但也更加普适的几何世界。 本书的核心在于“光滑”二字。在数学中，“光滑”意味着“可微”，而且是任意阶可微。这赋予了流形上定义的函数和向量场以良好的解析性质，使得我们可以运用微积分的强大工具来研究它们的性质。我们将在本书中严谨地构建光滑流形的定义，从最基础的拓扑空间出发，引入“局部同胚于欧几里得空间”的概念，并在此基础上定义“图册”和“光滑结构”，最终形成光滑流形这一核心概念。这个过程将不仅仅是概念的堆砌，更会强调这些定义背后的几何直觉和数学意义。 第一部分：概念的奠基 我们将从拓扑空间的复习开始。虽然本书并非拓扑学教材，但对开集、闭集、紧致性、连通性等基本拓扑概念的理解，是构建流形理论的基础。我们会简要回顾这些概念，并强调它们在流形中的作用，例如，开集将成为我们定义局部性质的“小窗口”。 接着，我们将引入度量空间的概念。虽然光滑流形本身不一定带有度量，但度量在后续的黎曼几何中扮演着核心角色。本书将简要介绍度量空间，并引出完备性等性质，为读者埋下伏笔。 随后，本书将真正踏入流形的核心——局部欧几里得空间。我们将通过具体的例子，例如球面、圆环面，来直观地理解“局部上像欧几里得空间”的含义。我们会引入坐标图 (charts) 的概念，如同为曲面铺上“地图”，允许我们在局部使用熟悉的欧几里得坐标来描述。 然而，仅仅拥有局部坐标是不够的。不同的局部坐标系之间必须兼容，才能在全局上形成一个一致的“光滑”结构。这就引出了图册 (atlas) 的概念。一个图册是由一系列相互兼容的坐标图组成的集合，它赋予了流形一个“光滑结构”。我们将详细讨论相容性条件，即不同坐标图之间通过转移映射 (transition maps) 连接，并且这些转移映射必须是光滑的。 光滑流形的正式定义将在此时建立。我们会清晰地阐述什么是光滑流形，并给出一些重要的例子，例如欧几里得空间本身（它当然是平凡的光滑流形）、球面、环面、射影空间等。理解这些例子将有助于读者建立对抽象定义的直观认识。 第二部分：深入性质的探索 在掌握了光滑流形的基本定义后，我们将开始探索其内在的几何性质。切空间 (tangent space) 是流形上的一个核心概念，它扮演着局部线性化的角色。对于流形上的每一点，我们都可以定义一个与之关联的切空间，这个切空间可以被看作是“穿过该点的所有曲线的速度向量”的集合。我们将从几种不同的角度来理解切空间：作为导子 (derivation) 的代数结构，作为线性映射，以及作为方向导数的集合。这些不同的视角将揭示切空间丰富的代数和几何内涵。 与切空间紧密相关的是向量场 (vector fields)。向量场是光滑地将流形上的每一点映射到其切空间的向量。向量场可以被看作是流形上的“速度场”或“力场”，它们描述了流形上的动态行为。我们将学习如何定义向量场，以及如何在向量场上进行运算，例如李括号 (Lie bracket)。李括号运算揭示了向量场之间的相互作用，它在微分几何和李群理论中有着极其重要的地位。 微分形式 (differential forms) 是另一种在流形上定义的分析对象。它们是切空间的对偶空间的函数。k-形式可以被看作是k个向量的“体积”或“取向”，并且可以被光滑地定义在流形上。我们将重点介绍外微分 (exterior differentiation) 算子，它类似于微积分中的微分算子，但作用在微分形式上。外微分算子具有非常优美的性质，例如德拉姆定理 (de Rham's theorem)，它将流形的拓扑性质与微分形式的代数性质联系起来，是代数拓扑和微分几何的交叉点。 嵌入定理 (embedding theorems) 将进一步拓展我们对光滑流形的理解。我们将探讨一个光滑流形是否可以被“嵌入”到某个欧几里得空间中，并保持其光滑结构。惠特尼嵌入定理 (Whitney embedding theorem) 将证明任何n维光滑流形都可以光滑地嵌入到 $mathbb{R}^{2n}$ 中，而惠特尼浸入定理 (Whitney immersion theorem) 则提供了更弱的条件。这些定理不仅在理论上有重要意义，也为研究流形的几何性质提供了新的视角。 第三部分：流形上的分析与几何 本书的最后部分将把我们带入黎曼几何 (Riemannian geometry) 的领域。黎曼几何是对光滑流形添加一个额外的结构——黎曼度量 (Riemannian metric)。黎曼度量允许我们在流形上定义长度、角度、曲率等概念，从而将光滑流形从一个抽象的集合变成一个可以进行几何测量的对象。 我们将学习如何定义黎曼度量，以及如何利用它来定义测地线 (geodesics)。测地线是黎曼流形上“最短路径”的推广，它们扮演着类似于直线在欧几里得空间中的角色。测地线的存在性和性质是理解黎曼流形几何结构的关键。 曲率 (curvature) 是黎曼几何的核心概念。我们将介绍里奇曲率 (Ricci curvature) 和斯奇曲率 (scalar curvature)，它们刻画了流形在不同方向上的弯曲程度。曲率的概念不仅在数学上有着深刻的意义，也在物理学中扮演着重要角色，例如在广义相对论中，时空的弯曲由物质能量分布决定，而这种弯曲就是通过黎曼几何来描述的。 最后，我们将简要介绍李群 (Lie groups)。李群是既是群又是光滑流形的数学对象，它们在物理学、几何学和代数等领域有着广泛的应用。李群的切空间上可以定义一个李代数 (Lie algebra)，它保留了李群的局部结构信息。 学习目标与读者对象 本书适合对数学充满热情，并具备扎实微积分和线性代数基础的本科生、研究生以及对几何学感兴趣的研究人员。我们的目标是： 建立坚实的概念基础：读者将能够清晰地理解光滑流形的定义、构造和基本性质。 培养严谨的数学思维：通过对定义和定理的深入探讨，读者将能够掌握现代几何学的数学语言和推理方法。 激发几何直觉：本书将通过丰富的例子和直观的解释，帮助读者建立对抽象几何概念的直观理解。 为进一步研究铺平道路：本书的内容是进入微分几何、代数拓扑、李群论以及理论物理等高级领域的重要基础。 《光滑流形：几何学中的严谨探索》不仅仅是一本教材，它更是一次邀请，邀请读者一同踏上一段探索数学之美的旅程。在这个旅程中，我们将借助严谨的数学语言，揭示宇宙空间和抽象结构的内在奥秘，感受几何学的无穷魅力。

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这是一本对学术同行来说几乎无可挑剔的教科书，但对于自学的爱好者而言，简直是一场对意志力的考验。作者的写作风格极其简洁，甚至到了惜墨如金的地步，每一个句子都承载了大量的数学信息，这在专业文献中是优点，但在入门阶段则成了障碍。我个人在尝试理解李导数和流的积分的精确定义时，数次不得不停下来，花费数倍时间去反推作者是如何从局部坐标图的变换规则中提炼出这种全局不变性的概念。书中几乎没有提供任何“暖场”或“预热”的叙述。它直接将读者扔进了高维微分的抽象海洋，期望读者能自行构建浮力。例如，在介绍切丛（Tangent Bundle）时，定义是精确的，但它与向量场的“运动轨迹”之间的那种形象关联，需要读者自己去费力连接。如果作者能在关键概念引入时，用更具启发性的语言来“描绘”这个概念，而非仅仅是“定义”它，相信能挽救不少在黎曼几何门槛前望而却步的优秀头脑。这是一部伟大的参考书，但称其为友好的“讲义”则稍显夸张。

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当我翻阅这本书的最后一章，我产生了一种复杂的情绪：既敬佩于其内容的广度和深度，又感到一种强烈的知识断裂感。这本书完美地完成了对“光滑流形”这一概念的建立和分析工具的系统性梳理，无论是关于张量场的讨论还是纤维丛的初步介绍，都保持了极高的标准。然而，对于那些期望看到流形理论如何直接应用于物理世界（比如广义相对论中的时空结构，或者经典力学中的辛几何表述）的读者来说，这本书的“应用篇幅”相对稀疏，或者说，它止步于提供构建理论框架的原材料，而很少展示如何用这些原材料建造起宏伟的结构。这种纯粹的数学基础构建，虽然重要，但有时会让人觉得有些“悬空”。我个人认为，如果在全书的结构中，能更早地、更明确地展示出这些抽象结构（如外微分、李群）是如何解决一些具体的、已经被历史检验过的几何问题的，那么学习的动力和方向感会更强。现在的结构更像是先教会你所有的字母和语法规则，然后才告诉你这些规则可以用来写史诗。

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这本著作，坦率地说，我感觉像是被邀请参加了一场智力上的盛宴，但我手中的餐具似乎总是少了一把关键的。从整体上看，作者在构建广义拓扑框架时的那种严谨性是毋庸置疑的，每一个定义和引理都经过了精心的打磨，力求滴水不漏。然而，对于我这样更倾向于通过直观几何图像来理解抽象概念的学习者来说，这种纯粹的、从公理出发的演绎推理路径，有时显得过于陡峭和冷峻。我花了大量时间试图在脑海中描绘出流形上的切空间是如何“真正”存在的，而不是仅仅将其视为一个线性代数对象被赋予了一个特殊的结构。书中对微分形式和外微分的介绍部分尤为精妙，数学上的优雅感十足，但对于初次接触De Rham上同调的读者，这些工具的动机和几何意义的铺陈略显不足，让人感觉我们是在学习一套强大的计算语言，却对它能“看见”的那些奇妙景象知之甚少。如果能在引入这些代数工具的同时，能穿插更多关于黎曼几何早期探索的轶事或者更具象的例子，或许能更好地抓住那些在纯粹逻辑美感之外寻求物理或视觉对应物的读者。总而言之，这是一部需要读者付出巨大心力去“解码”的经典，其深度毋庸置疑，但易读性上，确实对读者的背景知识提出了非常高的要求。

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我拿到这本书时，主要目的是想深入理解光滑结构和向量场在非平凡拓扑空间上的行为。不得不说，作者在处理流形上的张量分析部分，展现出了极其扎实和全面的功底，其对指数映射和对流坐标系的讨论，为后续处理更复杂的微分方程打下了坚实的基础。但令人略感遗憾的是，全书的叙事节奏似乎过于均匀，缺乏那种让人“豁然开朗”的转折点。每一个章节的过渡都像是在平稳地爬升一座精心修砌的阶梯，每一步都很稳健，但缺乏那种突然跃升到山顶时视野豁然开朗的震撼感。我特别希望看到更多的“反例”讨论，即哪些看似光滑的结构实际上无法被提炼成真正的光滑流形，或者在哪些低维拓扑空间中，某些看似普适的定理会因为维度限制而失效。这些负面的约束条件往往能更深刻地揭示概念的本质。此外，书中对覆盖空间和基本群的提及，似乎更多是作为一种工具性的引用，而不是作为研究流形拓扑特性的核心驱动力，这使得整个“几何”的色彩在某些代数章节中被冲淡了。对于那些渴望将拓扑学中的“洞”与微分几何中的“曲率”紧密联系起来的读者，可能需要借助其他补充材料来构建这种直觉。

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阅读体验上，这本书的排版和符号系统非常清晰，这是无可挑剔的。它遵循了现代数学著作的最高标准，逻辑推导清晰，引文准确无误。然而，我必须指出，这本书在某种程度上似乎“假设”了读者对拓扑学和线性代数已经拥有了几乎完美的掌握。具体来说，当涉及紧凑流形上的积分和上同调理论的某些边界情况时，涉及到的拓扑工具的引用速度极快，几乎没有回溯或复习。这使得我在处理那些需要跨学科知识整合的问题时，不得不频繁地从其他领域的书籍中检索知识点来填补空缺。这本书更像是一份高度浓缩的研讨班讲义，而非一份面向广泛工程或物理背景的入门教材。对我而言，它更像是一个知识库，而不是一个学习的向导。我需要一个愿意陪我多走几步，解释每一个代数“捷径”背后的几何直觉的伙伴，而这本书，则更像是一位站在终点线后，等待你自行跑完全程的权威教授。

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