新编线性代数 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:科学技术文献出版社

作者:刘汉宗

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isbn号码:9787502324230

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《数字筑基：算法与计算的数学原理》 引言 在信息爆炸的时代，数据已成为驱动社会进步的核心引擎。从精准医疗到智慧交通，从金融风控到科学研究，无处不在的数字背后，隐藏着一套严谨而强大的数学体系。本书《数字筑基：算法与计算的数学原理》正是为揭示这一体系的基石而生。它并非旨在教授高深的抽象理论，而是聚焦于那些支撑现代计算科学、人工智能、数据分析等前沿领域最根本的数学工具与思想。我们将深入探索数学如何通过严谨的逻辑和精妙的结构，转化为驱动计算机高效运作、理解海量信息、解决复杂问题的强大力量。 第一章：离散的语言——集合、逻辑与证明 计算的核心在于处理有限的、离散的信息。本章将从最基础的“集合”概念出发，阐述其定义、运算（并集、交集、差集、补集）以及在描述数据结构中的应用。我们将看到，无论是数据库的表，还是程序中的数据类型，本质上都可以看作是集合的特定形式。 随后，我们将进入“逻辑”的殿堂。命题逻辑的真值表、联结词（与、或、非、蕴含、等价）将帮助我们理解计算机程序中条件判断与逻辑运算的本质。谓词逻辑将进一步提升描述能力，引入量词（全称量词、存在量词），使我们能够严谨地表达关于一组对象的普遍性或存在性断言，这对于算法的正确性证明至关重要。 “证明”作为数学的灵魂，在本章中将以实用的视角呈现。我们将学习归纳法（数学归纳法）、反证法等基本证明技巧，并结合简单的例子，展示如何通过严密的逻辑推理来验证算法的正确性或性质。理解这些证明方法，不仅能帮助我们写出更可靠的代码，更能培养我们分析问题、解决问题的严谨思维。 第二章：结构的骨架——图论基础 现实世界中的许多问题，都可以抽象为“图”的形式，即由“顶点”（节点）和连接顶点的“边”组成的结构。本章将系统介绍图论的基本概念，包括无向图、有向图、权重图、路径、环、连通性等。 我们将深入探讨图的表示方法，如邻接矩阵和邻接表，并分析它们在存储效率和操作复杂度上的差异，这直接关系到算法的性能。 核心内容将围绕图的遍历算法展开，如深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。这些算法是许多图问题的基础，例如查找连通分量、最短路径（在无权重图或正权重图的情况下）等。我们将详细分析这些算法的原理、实现步骤以及它们在实际问题中的应用，例如社交网络分析、网络路由、地图导航等。 此外，本章还将触及一些重要的图问题，如最小生成树（Prim算法、Kruskal算法）和最短路径问题（Dijkstra算法），并解释它们在网络设计、资源分配等领域的意义。 第三章：计数的艺术——组合数学与概率基础 理解数据和算法的内在规律，离不开“计数”的技巧。本章将从组合数学的基石——排列与组合出发，讲解如何计算不同条件下元素的选取和排列方式。我们将学习二项式定理，理解其在展开式中的系数含义，并探讨组合数在算法复杂度分析中的应用。 在此基础上，我们引入“概率”的概念。概率论是理解随机性、进行不确定性建模的必备工具。我们将介绍概率的基本公理、条件概率、独立事件以及贝叶斯定理，并用直观的例子解释它们的含义。 重点将放在概率在算法分析中的应用。例如，随机化算法的性能分析，蒙特卡洛方法用于近似计算，以及概率在机器学习模型中的基础作用。我们将探讨如何通过概率模型来评估算法的平均性能、最坏性能以及其出错的可能性。 第四章：序列的韵律——数列、级数与递归 “数列”和“级数”是描述随时间变化或随规模增长的数据序列的数学语言。本章将回顾等差数列、等比数列等基本类型，并深入探讨它们的求和公式。 “递归”作为一种强大的问题求解思想，在本章中将得到详细阐述。我们将学习如何将复杂问题分解为规模更小的相同类型问题，并通过递归函数来实现。大量的例子将展示递归在算法设计中的优雅与高效，例如斐波那契数列的计算、阶乘的计算、以及更复杂的树形结构遍历。 同时，我们也将关注递归的“代价”，即递归深度和重复计算带来的效率问题。我们将介绍“记忆化”和“动态规划”的思想，如何通过存储中间结果来避免重复计算，从而显著提升递归算法的效率。这部分内容是优化算法性能的关键。 第五章：数据的变换——矩阵与向量空间入门 “向量”和“矩阵”是描述多维数据和线性变换的最基本工具。本章将从向量的概念出发，介绍向量的加法、数乘、点积（内积）等基本运算，以及向量的模长与方向。我们将看到，向量可以用来表示点、方向、或者一组数值。 “矩阵”将作为向量的容器和变换的描述者。我们将学习矩阵的加法、乘法，以及矩阵与向量的乘法，理解矩阵乘法的几何意义——线性变换。重点将放在矩阵在解决线性方程组问题上的应用，以及矩阵的转置、迹等基本性质。 本章还将初步介绍“向量空间”的概念。它提供了一个抽象的框架，来理解向量集合及其运算性质。我们将探讨基、维度等概念，并简要提及线性无关性，这些对于理解更复杂的数学模型至关重要。 第六章：信息的压缩与提取——数值分析基础 在实际计算中，我们常常面临近似计算和误差分析的挑战。本章将聚焦“数值分析”的基础知识，为理解和处理实际计算中的精度问题提供指导。 我们将介绍误差的来源，如截断误差和舍入误差，并学习如何度量和控制这些误差。重点将放在数值方法，例如求解方程的二分法、牛顿法，以及插值与逼近的方法，如多项式插值。 此外，本章还将触及数值线性代数的一些基本概念，例如矩阵的范数、条件数，以及求解线性方程组的直接法（如高斯消元法）和迭代法（如雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法）的原理，并分析它们的优缺点。这些方法是进行大规模数据处理和科学计算的基石。 第七章：模式的识别——基础统计与数据分析引入 数据分析的最终目的是从海量数据中提取有价值的信息和模式。本章将引入统计学的基本概念，为理解和描述数据提供工具。 我们将介绍数据的描述性统计量，如均值、中位数、众数、方差、标准差等，学习如何用它们来概括数据的中心趋势和离散程度。我们将探讨数据的分布，理解概率密度函数和累积分布函数，并介绍一些常见的概率分布，如正态分布、二项分布。 重点将放在如何运用这些统计概念来分析和理解数据。我们将学习如何进行假设检验，如何理解相关性和回归分析的基本思想，以及如何用图表（如直方图、散点图、箱线图）来可视化数据，从而揭示隐藏的模式和趋势。 结论 《数字筑基：算法与计算的数学原理》并非一本枯燥的理论手册，而是一本面向实践的指南。它旨在为您构建一个坚实的数学基础，使您能够更深入地理解算法的原理，更有效地设计和优化程序，更能把握数据驱动的时代脉搏。通过本书的学习，您将不仅仅是掌握一些数学公式，更是培养一种用数学思维去分析和解决问题的能力，从而在日新月异的技术浪潮中，成为一名更加自信和有力的探索者。

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在我看来，一本优秀的教材不仅仅是知识的载体，更应该是一份学习方法的指南。这本**《新编线性代数》**就体现了这一点。它非常强调线性代数中“结构”和“不变性”的核心思想。例如，在讲解特征值和特征向量时，它反复强调这是我们理解线性变换“本质”的关键——即在变换中保持方向不变的那些向量。这种提纲挈领的教学方式，让我对整个学科的认识从“解题技巧”提升到了“思维模式”的层面。此外，这本书在最后的复习章节中，设置了一些非常巧妙的“概念地图”和“知识链条”总结，清晰地展示了向量空间、矩阵、线性变换、特征分解这几个核心概念是如何相互关联的，这对于构建一个完整的知识体系非常有帮助。我不再是零散地记忆知识点，而是看到了一条清晰的主线。如果你想从根本上理解线性代数的美妙和强大，而不是仅仅应付考试，那么这本书在引导你建立正确数学观方面的努力是值得称赞的。它不仅仅是教你如何计算，更重要的是教你如何“思考”线性代数。

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我是一个工科背景的研究生，平时工作和科研中经常会遇到需要处理大规模矩阵运算和数据降维的问题，所以对线性代数的应用层面的要求比较高。坦白说，很多教材在讲解完理论基础后，就匆匆收尾了，留给读者的都是“自己去想怎么用”的空白。但这本**《新编线性代数》**的后半部分，简直是为我们这类应用型学习者量身定制的。它花了大量的篇幅来探讨奇异值分解（SVD）在图像处理和推荐系统中的实际应用，甚至还穿插了一些关于数值稳定性的讨论，这在理论教材中是很少见的。我尤其赞赏它在讲解最小二乘法时，不仅给出了严谨的推导，还结合了一个实际的工程案例，让我们清晰地看到了理论是如何指导实践的。阅读这本书的过程，更像是在跟随一位经验丰富的工程师在学习工具箱的使用，而不是单纯地啃理论。它不追求把每一个数学分支都挖到极致的深度，而是确保读者能够熟练掌握那些在现代科学计算中最核心、最实用的工具。这种务实的态度，让我对这本书的评价非常高，它真正实现了理论与实践的完美桥接。

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说实话，现在市面上很多教材都存在一个问题：要么过于强调纯数学的严谨性，导致内容晦涩难懂，要么就是为了追求新颖而忽略了数学的内在逻辑。**《新编线性代数》**在这一点上找到了一个非常微妙的平衡点。它的理论推导是完整的，并没有因为追求易读性而牺牲数学的精确性，但在关键转折点，作者总能适时地插入一些“为什么”的解释，帮助读者理解定理诞生的背景和必要性。比如，关于正交性和最小二乘法的讨论，它没有仅仅停留在欧几里得空间的基础概念上，而是自然地过渡到了内积空间的更广义的视角，这种设计既拓展了读者的视野，又保持了内容的连贯性。我特别欣赏作者在脚注中或者插页部分给出的一些历史背景介绍，这让冰冷的数学知识似乎拥有了温度和生命力，不再是孤立的公式集合。这本书的学术深度是足够的，足以支撑后续学习更高级的泛函分析或者数值分析，但它的表达方式又足够亲切，使得即便是自学者也能啃下来，这种平衡做得非常高明。

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初次接触线性代数时，我几乎被那些充斥的希腊字母和各种符号搞得晕头转向，感觉自己像是在学习一门全新的语言，而不是数学。直到我朋友推荐了**《新编线性代数》**，我的学习体验才有了质的飞跃。这本书最让我欣赏的是它的“循序渐进”的叙事节奏。作者似乎非常理解初学者的困境，他们没有急于求成，而是把基础概念掰开了揉碎了讲。比如，在引入线性变换时，它用了大量的图示来展示旋转、拉伸、投影这些操作是如何通过矩阵实现的，这些直观的画面感，帮我立刻建立了空间想象力，这比死记硬背矩阵乘法表要有效得多。而且，书中的习题设计也很有层次感，从基础的计算题到需要综合运用多个定理的综合题，难度递增自然，让我有一种“我真的在进步”的踏实感。读完这本书，我不仅掌握了求解线性方程组的方法，更重要的是，我开始能够“看懂”矩阵背后的几何含义了，这种理解上的突破，是其他几本我翻过的教材无法给予的。对于高中阶段的优秀学生或者刚进入大学的非数学专业学生来说，这本书无疑是打开线性代数世界的一把优雅的钥匙。

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这本**《新编线性代数》**，说实话，刚拿到手的时候，我还有点犹豫。毕竟市面上相关的教材汗牛充栋，每本都有自己的特色和侧重。但翻开目录，我就被它那种清晰的逻辑感吸引住了。它不像某些老教材那样，上来就堆砌一堆抽象的定义和冗长的定理证明，而是非常注重从几何直觉和实际应用的角度来引入概念。比如，讲向量空间时，它会用非常形象的例子来解释“张成”和“线性无关”这些看似高深的概念，让人一下子就能抓住问题的核心。我特别喜欢它在讲解矩阵运算和行列式那一部分的处理方式，不仅仅是公式的罗列，更深入地探讨了矩阵变换背后的几何意义，这对于理解特征值和特征向量至关重要。这本书的排版也相当友好，公式和文字的穿插得当，不会让人在阅读过程中感到视觉疲劳。对于我这种数学基础还算扎实，但在线性代数学习上总感觉抓不住重点的学生来说，这本书无疑是一剂良方，它真正做到了“新编”，不仅是内容上的更新，更是教学思路上的革新。如果非要提一个美中不足的地方，可能例题的难度梯度可以再平滑一些，但总体而言，它绝对是近年来我看到的线性代数教材中，最值得推荐的一本。

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差不多是一个月以前吧 我说 今天要干掉这本书。

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