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出版者:Springer

作者:James W. Vick

出品人:

页数:259

译者:

出版时间:1994-01-07

价格:USD 74.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387941264

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

• 数学
• 代数拓扑7
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《同调论：代数拓扑中的核心工具》 本书《同调论》旨在深入浅出地介绍代数拓扑学中一个至关重要的理论——同调论。作为研究空间拓扑性质的强大语言，同调论为我们提供了一系列代数不变量，能够精妙地区分形状各异却在拓扑上等价的空间，并揭示其深层的结构。本书将循序渐进地引导读者掌握这一理论的核心概念、构造方法以及其在各个数学分支中的广泛应用。 第一部分：基础概念与链复形 旅程始于代数拓扑学的基石——拓扑空间。我们将从基本概念出发，回顾同调论赖以建立的链复形（Chain Complex）的构造。链复形是一系列模（或群）通过边界算子（Boundary Operator）连接起来的代数结构，其关键在于边界算子的自伴随性质（即连续两个边界算子的复合为零）。理解链复形的内涵，包括链（Chain）、边界（Boundary）和循环（Cycle）的概念，是后续同调群构造的必要铺垫。我们将通过直观的例子，例如点、圆、球面等简单空间的链复形，帮助读者建立起对这一抽象概念的具象认识。 第二部分：同调群的构造与基本性质 在此基础上，本书将正式引入同调群（Homology Group）的构造。通过商群（Quotient Group）的运算，我们从链复形中的循环模除以边界模，得到了衡量空间“洞”的代数不变量——同调群。我们将详细阐述不同维度的同调群的意义：零维同调群反映空间的连通分支数；一维同调群捕捉空间中的“洞”（如圆的洞）；二维同调群则可以理解为空间表面的“空腔”等。 本书将重点介绍并推导同调论的关键性质，包括： 同伦不变性（Homotopy Invariance）： 证明同伦等价的空间拥有相同的同调群，这是同调论作为拓扑不变量的根本保证。 精确序列（Exact Sequence）： 精确序列是同调论中描述代数结构之间关系的有力工具。我们将详细介绍短精确序列（Short Exact Sequence）和长精确序列（Long Exact Sequence）的构造及其在计算同调群时的应用，特别是著名的五引理（Five Lemma） 和九引理（Nine Lemma），以及它们如何帮助我们递归地计算复杂空间的同调群。 凯莱-施瓦茨引理（Mayer-Vietoris Sequence）： 这是一个通过将一个空间分解为两个子空间的并集来计算其同调群的重要工具。我们将通过具体的例子，演示如何利用 Mayer-Vietoris 序列来计算复杂空间的同调群。 第三部分：奇异同调论与应用 我们将系统介绍奇异同调论（Singular Homology Theory），这是最常用且最强大的同调论构造方法之一。奇异同调论将拓扑空间映射到标准单形（Standard Simplex）的链复形上，通过对这些映射的代数分析来定义同调群。我们将深入探讨奇异链复形、奇异边界算子以及由此衍生的奇异同调群。 本书还将重点关注同调论在以下几个核心领域的应用： 空间分类： 利用同调群来区分拓扑上不可区分的空间，例如，我们将看到如何利用同调群证明圆环（Torus）和球面（Sphere）在拓扑上是不同的。 不动点定理（Fixed Point Theorem）： 布劳威尔不动点定理（Brouwer Fixed Point Theorem）等著名定理的证明，同调论提供了优雅且深刻的证明路径。 向量丛（Vector Bundles）与示性类（Characteristic Classes）： 同调论在向量丛理论中扮演着核心角色，示性类是其重要的研究对象，它们是向量丛的拓扑不变量，由同调论的方法构造和计算。 第四部分：进一步的探索 为了给读者提供更广阔的视野，本书的最后部分将简要介绍一些更高级的主题，为读者继续深入学习提供方向： 胞腔同调论（Cellular Homology）： 介绍在 CW 复形（CW Complex）上构造胞腔同调论，展示其在计算上的效率优势。 系数域（Coefficient Field）的影响： 探讨同调群系数域的选择（例如，整系数、模 $p$ 系数）对同调群结构的影响。 科文同调论（Cochain Complex）与上同调群（Cohomology Group）： 简要介绍对偶的链复形构造——科文链复形，以及由此定义的上同调群，并提及它们与同调群之间的对偶性。 《同调论》旨在培养读者严谨的数学思维，深刻理解代数与拓扑之间的桥梁。本书不仅是代数拓扑领域的研究者和学习者的必备参考，也为几何学、微分几何、代数几何等相关领域的探索者提供强大的理论支撑。通过对本书的学习，读者将能够掌握一种强大的数学语言，去分析和理解更复杂、更抽象的数学对象。

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这本《代数拓扑导论》简直是为我量身定做的入门教材。我之前对拓扑学只有一些模糊的认识，特别是同调论这块，总觉得像空中楼阁，概念抽象得让人抓不住重点。这本书的叙述方式非常清晰，作者似乎非常懂得初学者的困惑点在哪里。它没有急于抛出复杂的定义和定理，而是先通过一系列精心设计的几何直观例子，比如圆环、球面上的洞，来引导我们理解“洞”在代数上究竟意味着什么。特别是对链复形和边界算子的讲解，配图极其到位，每一步的逻辑推导都像是牵着读者的手，缓缓地走过一片迷雾。我特别欣赏作者在引入薛华姆引理（Schur's Lemma）或者迈耶-维托里斯序列（Mayer-Vietoris Sequence）时，总能先从一个非常基础的、可以触摸到的例子开始，然后再抽象化。这种“从具体到抽象”的教学方法，让我对这些看似高深的代数工具产生了强烈的亲切感。读完前几章，我感觉自己终于有了一个坚实的支点，不再惧怕那些复杂的群论符号了。这本书的习题设置也很有层次感，从基础的计算到需要深入思考的证明题都有覆盖，确保了理论学习和实际操作的完美结合。

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这本《范畴论：现代代数的基础》的阅读体验，简直就像进行了一场精妙的哲学思辨。它并非那种直接提供解决具体问题的工具箱，而更像是一套关于“结构”和“关系”的终极语法。作者的叙事风格非常内敛、高度抽象，充斥着大量的函子、自然变换和万有性质的描述。坦白说，一开始我读得非常吃力，因为这本书要求读者彻底抛弃具体的集合观念，转而用更高级的视角去看待数学的构造。它似乎在回答一个终极问题：“什么是数学对象之间的‘共同模式’？”书中对极限和余极限的讨论，用一种极其优雅的方式统一了积、和、直和等概念，让人拍案叫绝。这本书的价值不在于让你马上能解决一道习题，而在于它极大地拓展了你的数学思维边界。它教会你如何从最宏观的层面去欣赏代数结构的美感。对于那些希望深入理解现代代数几何、拓扑学或者高阶理论计算机科学的读者来说，这本范畴论的书是不可绕过的关卡，它像一把钥匙，能开启许多更深奥领域的门。

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我手里这本《概率论与随机过程基础》简直是教科书界的一股清流。在众多枯燥的概率论著作中，它成功地找到了一个完美的平衡点：既保证了理论的严谨性，又不牺牲日常应用的直观性。我尤其喜欢作者处理随机变量和矩生成函数时的那股“娓娓道来”的劲头。他仿佛不是在陈述定理，而是在向你解释自然界中随机性是如何运作的。书中的例子非常贴近生活和工程实际，比如关于排队论的经典模型、布朗运动的路径分析，都配有详尽的数学建模过程和结果解释。与其他侧重于纯粹测度论的教材不同，这本书更偏向于应用统计和时间序列分析的读者。它对马尔可夫链的讲解尤其精彩，从有限状态空间到无限状态空间的过渡处理得非常平滑，让你能清晰地看到随机系统随时间演化的内在规律。读完这本书，我感觉自己对“不确定性”的理解从“一种模糊的运气成分”上升到了“一种可被量化和预测的结构”，这对于任何涉及数据分析或金融建模的人来说，都是一次质的飞跃。

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《流形上的微分几何》这本书，说实话，初读的时候给我带来了巨大的震撼，但这种震撼更多是源于其内容的广度和深度。它不是一本轻松愉快的读物，更像是一部结构精巧的史诗。作者的笔法极其凝练、精确，每一个词语的选择都仿佛经过了最严格的筛选，不容许一丝一毫的模糊。对于那些已经有扎实微积分基础的读者来说，这本书会像一把锋利的凿子，将微分形式、外微分、李导数这些概念雕琢得棱角分明。我尤其佩服作者在处理纤维丛和联络理论时的宏大视角，他将这些看似孤立的数学工具，巧妙地编织成一张统一的几何语言网，展现了现代几何学的强大威力。唯一的挑战可能在于，它的节奏非常快，几乎没有喘息的机会。当你还在消化完李括号的定义时，下一页可能就已经进入到霍奇理论的范畴了。对于没有足够耐心和毅力的读者来说，可能会感到有些吃力，需要反复阅读和对照参考资料。但如果你渴望直面现代几何学的核心思想，并准备好接受一次智力上的高强度训练，那么这本书绝对是无与伦比的宝藏。

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我最近翻阅的这本《信息论与编码》可以说是通信工程领域的经典之作。它的独特之处在于，作者非常注重从信息熵的直觉起源出发，逐步构建起香农的伟大理论体系。书中的开篇部分，通过对信息量进行精确测度的过程，令人信服地展示了信息论的必要性和基础性。我特别喜欢它在讲解信道容量和信源编码定理时的那种坚韧的逻辑链条，每一步推导都充满了数学的严谨和工程的务实。不同于一些侧重于纯粹的信息源编码的教材，这本书花了大量的篇幅来讨论信道编码，特别是对线性分组码和卷积码的介绍详实而深入，配图清晰地展示了编码器的结构和译码器的决策过程。作者在阐述编码增益和误码率之间的权衡时，展现了高超的洞察力，让读者明白理论上的极限是如何指导实际系统设计的。对于电子信息、计算机科学的学生来说，这本书不仅是知识的传授，更是一种思维方式的训练，让你学会用“概率模型”和“信息量”的语言去分析和优化任何涉及数据传输和存储的系统。

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