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出版者:Cambridge University Press

作者:P. J. Hilton

出品人:

页数:508

译者:

出版时间:1968-01-01

价格:USD 55.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780521094221

丛书系列:

图书标签:

• 代数拓扑7
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• 同调论
• 数学
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《拓扑学入门：从点集到同调》 本书旨在为读者提供一个坚实的拓扑学基础，特别是聚焦于代数拓扑的核心分支——同调论。我们从最基本的点集拓扑概念出发，逐步引入同伦、同调等抽象而强大的工具，最终为理解高维空间的结构和性质奠定坚实的基础。 第一部分：点集拓扑的基石 在开始代数拓扑的探索之前，理解其发生的“空间”至关重要。本部分将详细介绍点集拓扑学的基本概念，包括： 集合论基础： 复习集合、函数、关系、拓扑空间的基本定义，包括开集、闭集、邻域、基、可数性等。 连续性与同胚： 深入探讨连续函数的性质，并引入同胚的概念，理解拓扑等价性的含义。 紧致性与连通性： 详细阐述紧致性和连通性这两个刻画拓扑空间重要性质的概念，并通过大量实例展示它们的深刻内涵和应用。 度量空间与完备性： 介绍度量空间的结构，以及完备性在分析和拓扑学中的重要作用。 拓扑空间的构造： 讨论子空间拓扑、积空间拓扑和商空间拓扑等构造方法，以及它们在构建复杂空间时的灵活性。 第二部分：同伦论的初步探索 在建立起对拓扑空间的直观认识后，我们开始引入代数拓扑的核心工具——同伦论。这一部分将关注如何用代数不变式来区分拓扑空间： 链复形与链群： 介绍链复形的构造，以及与之相关的链群，为定义同调群奠定结构基础。 同伦的概念： 严格定义同伦，并阐述同伦等价性的含义，理解它在拓扑学中的核心地位。 基本群： 引入基本群（或称覆叠空间的基本群），这是一个重要的代数不变量，能够区分一些简单空间。我们将通过计算一些基本空间的覆盖群来加深理解。 覆叠空间： 详细讨论覆叠空间的概念、性质及其与基本群的关系，这是理解同伦的重要工具。 链复形的同伦不变量性： 证明链复形的同伦不变量性，这是将代数结构与拓扑空间联系起来的关键步骤。 第三部分：同调论的精妙构建 本部分将进入同调论的核心。我们通过更抽象的代数结构来刻画拓扑空间，揭示其更深层次的“洞”和“连通性”： 奇异同调： 详细介绍奇异同调的定义，包括奇异单纯复形、链复形以及同调群的计算方法。我们将通过计算一些简单空间的同调群来直观理解其含义。 同调群的性质： 探讨同调群的各种重要性质，例如它在同胚下的不变性，以及它如何捕捉空间的“洞”。 链映射与链同调： 定义链映射，并证明同伦等价的映射诱导同调群上的同构，这是同调论作为拓扑不变量的基石。 多项式同调： 介绍多项式同调群的构造，以及其作为一种重要的代数拓扑不变量的计算和应用。 精确序列： 深入讲解短精确序列和长精确序列的概念和构造，以及它们在计算同调群时的强大威力。 Mayer-Vietoris序列： 详细阐述 Mayer-Vietoris序列的构造和应用，这是一个强大的工具，能够利用空间的分解来计算其同调群。 胞腔同调： 介绍胞腔同调的构造，以及它与奇异同调的等价性，并展示其在计算某些空间的同调群时更简洁高效的优势。 第四部分：深入与应用 在掌握了同调论的基本工具后，本部分将进一步探讨同调论的更高级概念和应用： 系数域的选取： 讨论在不同系数域（如整数、有理数、有限域）下，同调群的变化以及它们的意义。 对偶性： 介绍 Poincaré 对偶等重要的对偶性概念，展示拓扑空间不同部分之间的内在联系。 环结构： 引入同调环的概念，理解同调群上的乘法运算如何为空间提供更丰富的代数结构。 纤维丛与 $E_2$ 谱序列： 简要介绍纤维丛的概念，以及 $E_2$ 谱序列在计算同调群中的作用，为后续深入学习打下基础。 应用简介： 概述同调论在其他数学领域（如微分几何、代数几何、理论物理）中的应用，激发读者的进一步探索兴趣。 本书的编写风格力求清晰易懂，理论讲解与实例计算相结合。每个概念的引入都伴随着直观的解释和具体的例子，同时我们也提供了一系列练习题，帮助读者巩固所学知识。我们相信，通过学习本书，读者将能够深刻理解同调论的优雅之处，并掌握分析和区分拓扑空间的强大工具。

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这本书的深度和广度令人赞叹，它似乎囊括了代数拓扑自诞生以来的几乎所有核心思想，并且以一种令人难以置信的简洁方式呈现出来。不同于市面上那些只关注计算技巧的教材，此书真正深入到了“为什么”——那些看似纯粹的代数构造背后蕴含的深刻几何意义被挖掘得淋漓尽致。作者在处理复杂定理的证明时，展现了大师级的洞察力，许多证明步骤被重构得比原始文献更加清晰有力，读起来有一种酣畅淋漓的快感。我发现，即便是我已经相对熟悉的部分内容，通过这里的阐述，也获得了全新的理解层次。特别是关于纤维丛和特征类的章节，作者巧妙地将微分几何的直觉融入进来，使得抽象的代数结构不再是冰冷的符号堆砌，而是具有鲜活形态的数学对象。对于有志于从事研究的读者而言，这本书的参考文献和历史背景介绍部分也是宝贵的财富，它指引着我们去追溯那些奠基性的工作。

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这本书的封面设计充满了古典的数学美学，厚重的纸质和精美的装帧让人一眼就能感受到其学术分量。当我翻开第一页时，就被它清晰、严谨的逻辑结构所吸引。作者在引言部分便为我们勾勒出了一幅宏伟的代数拓扑图景，文字功底深厚，行文流畅，即便是初次接触这个领域的读者，也能从中感受到一种循序渐进的引导力。书中对基本概念的引入非常耐心，像是带着你一步步攀登一座知识的高峰，每一步都有清晰的标记和注释。我尤其欣赏作者在解释抽象概念时所采用的类比和直观的几何图像，这些辅助工具极大地降低了理解难度，使得那些原本感觉遥不可及的理论变得触手可及。它绝不仅仅是一本教科书，更像是一位经验丰富的导师，在你思维的每一个转折点都提供了必要的支持和启发。阅读过程中，我感觉自己仿佛置身于一个精心设计的迷宫，每解开一个谜题，都能看到更广阔的天地，这种探索的乐趣是其他同类著作难以比拟的。

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坦率地说，我曾被这个领域的一些入门材料劝退，它们要么过于注重枯燥的集合论基础，要么直接跳跃到高深的范畴论，让人找不到北。然而，这本专著的叙事节奏掌握得极其老道。它没有急于展示华丽的工具箱，而是首先花了大量篇幅建立起稳固的同调基础，特别是关于链复形和蛇形引理的详尽讨论，为后续的复杂构造打下了坚实的地基。作者对细节的关注到了苛刻的地步，每一个定义、每一个引理的提出都有其明确的动机，绝无半点冗余。阅读这本书的过程更像是在学习一种全新的“思考方式”，它训练的不是记忆力，而是逻辑的构建能力和抽象的驾驭能力。当我合上书本，我发现自己看待代数结构的角度已经发生了根本性的变化，那种原本笼罩在神秘光环下的理论，此刻已然化作了清晰可见的逻辑骨架。

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这是一本值得反复研读的经典之作。如果说初读时，我关注的是如何理解每一个定理的表述和证明；那么在第二次翻阅时，我的注意力则转向了作者构建整个理论体系的宏观策略上。它展示了一种令人惊叹的数学视野：如何将看似不相干的代数工具（如群论、模块论）优雅地嫁接到几何问题上，从而揭示出宇宙中隐藏的某种不变性。书中对“截面”与“上同调”之间联系的论述尤其精妙，它没有生硬地堆砌技术术语，而是通过一系列精巧的构造，将抽象的代数对偶性可视化。这本书的语言风格是极其凝练的，每一个句子都信息量饱满，需要细细品味。对于那些希望超越基础课程、真正掌握现代数学语言的人来说，这本书提供了一个无与伦比的起点和一座坚实的灯塔。它所蕴含的数学智慧，足以让读者受益终生。

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这本书的排版和印刷质量达到了教科书的顶级标准。页边距适中，公式的渲染清晰锐利，没有丝毫模糊不清的迹象，这在处理大量重叠符号和复杂下标时至关重要。更难能可贵的是，书中穿插的许多“思考题”或“探索性练习”并非那种标准的计算题，而是引导性的问题，旨在激发读者对概念深层联系的思考。它们大多没有标准答案，但作者在后记中对其中一些问题的处理方向进行了隐晦的提示，这种教学方法极大地鼓励了主动探索的精神。我发现，仅仅是尝试解答其中几个更有挑战性的问题，就足以巩固并深化对前几章内容的理解。这种将学习过程设计为主动建构而非被动接收的理念，使得这本书的阅读体验非常具有“参与感”，而不是简单的知识灌输。

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