具体描述
《3D数学基础：图形和游戏开发（第2版）》详细阐述了在计算机图形学中与数学相关的基本解决方案，主要包括笛卡儿坐标系、矢量、多个坐标空间、矩阵简介、矩阵和线性变换、矩阵详解、极坐标系、三维旋转、几何图元、二维图形的数学主题、力学知识以及三维曲线等内容。此外，该书还提供了相应的示例，以帮助读者进一步理解相关方案的实现过程。
作者简介
目录信息
1.1 一维数学
1.2 二维笛卡儿空间
1.2.1 示例：假设的Cartesia城市
1.2.2 任意二维坐标空间
1.2.3 使用笛卡儿坐标指定二维中的位置
1.3 三维笛卡儿空间
1.3.1 新增维度和轴
1.3.2 在三维中指定位置
1.3.3 左手与右手坐标空间
1.3.4 本书中使用的一些重要约定
1.4 一些零散的基础知识介绍
1.4.1 求和与求积的表示法
1.4.2 区间符号
1.4.3 角度、度数和弧度
1.4.4 三角函数
1.4.5 三角函数的恒等式
1.5 练习
第2章 矢量
2.1 向量和其他无聊东西的数学定义
2.2 矢量的几何定义
2.3 使用笛卡儿坐标指定矢量
2.3.1 作为位移序列的矢量
2.3.2 零矢量
2.4 矢量与点
2.4.1 相对位置
2.4.2 点与矢量之间的关系
2.4.3 一切都是相对的
2.5 负矢量
2.5.1 正式线性代数规则
2.5.2 几何解释
2.6 标量和矢量的乘法
2.6.1 正式线性代数规则
2.6.2 几何解释
2.7 矢量的加法和减法
2.7.1 正式线性代数规则
2.7.2 几何解释
2.7.3 从一点到另一点的位移矢量
2.8 矢量大小
2.8.1 正式线性代数规则
2.8.2 几何解释
2.9 单位矢量
2.9.1 正式线性代数规则
2.9.2 几何解释
2.10 距离公式
2.11 矢量点积
2.11.1 正式线性代数规则
2.11.2 几何解释
2.12 矢量叉积
2.12.1 正式线性代数规则
2.12.2 几何解释
2.13 线性代数恒等式
2.14 练习
第3章 多个坐标空间
3.1 为什么需要多个坐标空间？
3.2 一些有用的坐标空间
3.2.1 世界空间
3.2.2 对象空间
3.2.3 相机空间
3.2.4 直立空间
3.3 基矢量和坐标空间转换
3.3.1 双重视角
3.3.2 指定坐标空间
3.3.3 基矢量
3.4 嵌套坐标空间
3.5 针对直立空间的再解释
3.6 练习
第4章 矩阵简介
4.1 矩阵的数学定义
4.1.1 矩阵维度和表示法
4.1.2 方形矩阵
4.1.3 作为矩阵的矢量
4.1.4 矩阵转置
4.1.5 矩阵与标量相乘
4.1.6 两个矩阵相乘
4.1.7 矢量和矩阵相乘
4.1.8 行与列矢量
4.2 矩阵的几何解释
4.3 线性代数的宏大图景
4.4 练习
第5章 矩阵和线性变换
5.1 旋转
5.1.1 在二维中的旋转
5.1.2 围绕主轴的三维旋转
5.1.3 围绕任意轴的三维旋转
5.2 缩放
5.2.1 沿主轴缩放
5.2.2 任意方向的缩放
5.3 正交投影
5.3.1 投影到主轴或主平面上
5.3.2 投影到任意线或平面上
5.4 反射
5.5 错切
5.6 组合变换
5.7 变换的分类
5.7.1 线性变换
5.7.2 仿射变换
5.7.3 可逆变换
5.7.4 保持角度的变换
5.7.5 正交变换
5.7.6 刚体变换
5.7.7 变换类型总结
5.8 练习
第6章 矩阵详解
6.1 矩阵的行列式
6.1.1 关于2×2和3×3矩阵的行列式
6.1.2 子矩阵行列式和余子式
6.1.3 任意n×n矩阵的行列式
6.1.4 行列式的几何解释
6.2 逆矩阵
6.2.1 经典伴随矩阵
6.2.2 逆矩阵—正式线性代数规则
6.2.3 逆矩阵—几何解释
6.3 正交矩阵
6.3.1 正交矩阵—正式线性代数规则
6.3.2 正交矩阵—几何解释
6.3.3 矩阵的正交化
6.4 关于4×4齐次矩阵
6.4.1 关于四维齐次空间
6.4.2 关于4×4平移矩阵
6.4.3 一般仿射变换
6.5 关于4×4矩阵和透视投影
6.5.1 针孔相机
6.5.2 透视投影矩阵
6.6 练习
第7章 极坐标系
7.1 关于二维极坐标空间
7.1.1 使用二维极坐标定位点
7.1.2 别名
7.1.3 关于二维中笛卡儿坐标和极坐标之间的变换
7.2 为什么有人会使用极坐标？
7.3 关于三维极坐标空间
7.3.1 圆柱坐标
7.3.2 球面坐标
7.3.3 在三维虚拟世界中有用的一些极坐标约定
7.3.4 球面坐标的别名
7.3.5 球面坐标和笛卡儿坐标之间的转换
7.4 使用极坐标指定矢量
7.5 练习
第8章 三维旋转
8.1 “定向”含义探微
8.2 矩阵形式
8.2.1 矩阵的选择
8.2.2 方向余弦矩阵
8.2.3 矩阵形式的优点
8.2.4 矩阵形式的缺点
8.2.5 矩阵形式小结
8.3 欧拉角
8.3.1 欧拉角约定
8.3.2 其他欧拉角约定
8.3.3 欧拉角的优点
8.3.4 欧拉角的缺点
8.3.5 欧拉角小结
8.4 轴-角和指数映射表示方式
8.5 四元数
8.5.1 四元数表示法
8.5.2 这四个数字的意思
8.5.3 四元数变负
8.5.4 单位四元数
8.5.5 四元数的大小
8.5.6 四元数的共轭和逆
8.5.7 四元数乘法
8.5.8 四元数的“差”
8.5.9 四元数点积
8.5.10 四元数的对数、指数和标量乘法
8.5.11 四元数指数
8.5.12 四元数插值
8.5.13 四元数的优缺点
8.5.14 作为复数的四元数
8.5.15 四元数概要
8.6 方法比较
8.7 表示方式之间的转换
8.7.1 将欧拉角转换为矩阵
8.7.2 将矩阵转换为欧拉角
8.7.3 将四元数转换为矩阵
8.7.4 将矩阵转换为四元数
8.7.5 将欧拉角转换为四元数
8.7.6 将四元数转换为欧拉角
8.8 练习
第9章 几何图元
9.1 表示技术
9.2 直线和光线
9.2.1 光线
9.2.2 直线的特殊二维表示
9.2.3 表示方式之间的转换
9.3 球体和圆形
9.4 包围盒
9.4.1 关于AABB的表示方式
9.4.2 计算AABB
9.4.3 关于AABB与包围球
9.4.4 变换AABB
9.5 平面
9.5.1 平面方程：平面的隐式定义
9.5.2 使用3个点定义一个平面
9.5.3 超过3个点的“最佳拟合”平面
9.5.4 点到平面的距离
9.6 三角形
9.6.1 表示法
9.6.2 三角形的面积
9.6.3 重心空间
9.6.4 计算重心坐标
9.6.5 特殊点
9.7 多边形
9.7.1 简单多边形和复杂多边形
9.7.2 凸多边形和凹多边形
9.7.3 三角剖分和扇形分割
9.8 练习
第10章 三维图形的数学主题
10.1 图形工作原理
10.1.1 两种主要的渲染方法
10.1.2 描述表面特性：BRDF
10.1.3 颜色和辐射度测量简介
10.1.4 渲染方程
10.2 关于三维视图
10.2.1 指定输出窗口
10.2.2 像素宽高比
10.2.3 视锥体
10.2.4 视野和缩放
10.2.5 正交投影
10.3 坐标空间
10.3.1 模型、世界和相机空间
10.3.2 裁剪空间和裁剪矩阵
10.3.3 裁剪矩阵：准备投影
10.3.4 裁剪矩阵：应用缩放并准备裁剪
10.3.5 屏幕空间
10.3.6 坐标空间概述
10.4 多边形网格
10.4.1 索引三角网格
10.4.2 表面法线
10.5 纹理映射
10.6 标准局部照明模型
10.6.1 标准照明公式：概述
10.6.2 镜面反射分量
10.6.3 漫反射分量
10.6.4 环境光和发光分量
10.6.5 照明方程：综合考虑各分量
10.6.6 标准模型的局限性
10.6.7 平面着色和Gouraud着色
10.7 光源
10.7.1 标准抽象光类型
10.7.2 光衰减
10.7.3 关于Doom风格体积光
10.7.4 预先计算的照明
10.8 骷髅动画
10.9 凹凸映射
10.9.1 切线空间
10.9.2 计算切线空间基矢量
10.10 实时图形管道
10.10.1 缓冲区
10.10.2 传递几何体
10.10.3 顶点级别的操作
10.10.4 裁剪
10.10.5 背面剔除
10.10.6 光栅化、着色和输出
10.11 一些HLSL示例
10.11.1 贴花着色和HLSL基础知识
10.11.2 基础的每个像素Blinn-Phong照明
10.11.3 使用Gouraud着色算法
10.11.4 凹凸映射
10.11.5 蒙皮网格
10.12 深入阅读建议
10.13 练习
第11章 力学1：线性运动学和微积分
11.1 概述
11.1.1 忽略的东西
11.1.2 关于宇宙的一些有用的谎言
11.2 基本数量和单位
11.3 平均速度
11.4 瞬时速度和导数
11.4.1 极限参数和导数的定义
11.4.2 导数示例
11.4.3 通过定义计算导数
11.4.4 导数的表示法
11.4.5 一些求导法则和快捷方式
11.4.6 泰勒级数的一些特殊函数的导数
11.4.7 链式法则
11.5 加速度
11.6 恒定加速度下的运动
11.7 积分
11.7.1 积分的例子
11.7.2 导数与积分之间的关系
11.7.3 微积分小结
11.8 匀速圆周运动
11.8.1 平面内的匀速圆周运动
11.8.2 三维中的匀速圆周运动
11.9 练习
第12章 力学2：线性和旋转动力学
12.1 牛顿的3个基本定律
12.1.1 牛顿的前两个定律：力与质量
12.1.2 惯性参考系
12.1.3 牛顿第三定律
12.2 一些简单的力定律
12.2.1 重力
12.2.2 摩擦力
12.2.3 弹簧力
12.3 动量
12.3.1 动量守恒
12.3.2 质心
12.4 冲击力和碰撞
12.4.1 完全非弹性碰撞
12.4.2 一般碰撞响应
12.4.3 关于Dirac Delta
12.5 旋转动力学
12.5.1 旋转运动学
12.5.2 关于二维旋转动力学
12.5.3 关于三维旋转动力学
12.5.4 与旋转的碰撞响应
12.6 实时刚体模拟器
12.6.1 物理引擎状态变量
12.6.2 高级概述
12.6.3 欧拉积分
12.6.4 旋转的积分
12.7 深入阅读建议
12.8 练习
第13章 三维曲线
13.1 参数多项式曲线
13.1.1 参数曲线
13.1.2 多项式曲线
13.1.3 矩阵表示法
13.1.4 两种简单的曲线
13.1.5 单项式端点
13.1.6 速度和切线
13.2 多项式插值
13.2.1 艾特肯的算法
13.2.2 拉格朗日基多项式
13.2.3 多项式插值汇总
13.3 埃尔米特曲线
13.4 贝塞尔曲线
13.4.1 关于de Casteljau算法
13.4.2 伯恩斯坦基多项式
13.4.3 贝塞尔导数及其与埃尔米特形式的关系
13.5 细分
13.5.1 细分单项式曲线
13.5.2 细分贝塞尔曲线
13.6 样条曲线
13.6.1 游戏规则
13.6.2 节点
13.7 埃尔米特和贝塞尔样条曲线
13.8 连续性
13.8.1 参数连续性
13.8.2 几何连续性
13.8.3 曲线平滑度
13.9 自动切线控制
13.9.1 Catmull-Rom样条
13.9.2 TCB样条
13.9.3 端点条件
13.10 练习
第14章 后记
14.1 接下来做什么
14.2 练习
附录A 几何测试
A.1 在二维隐式直线上的最近点
A.2 参数化光线上的最近点
A.3 平面上的最近点
A.4 圆或球体上的最近点
A.5 轴向对齐的包围盒中的最近点
A.6 相交测试
A.7 在二维中两条隐式直线的交点
A.8 在三维中两条光线的交点
A.9 光线和平面的交点
A.10 轴向对齐的包围盒与平面的交点
A.11 个平面的交点
A.12 光线与圆或球体的交点
A.13 两个圆或球的交点
A.14 球体与轴向对齐的包围盒的交点
A.15 球体与平面的交点
A.16 光线与三角形的交点
A.17 两个AABB的交点
A.18 光线与AABB的交点
附录B 练习答案
B.1 第1章
B.2 第2章
B.3 第3章
B.4 第4章
B.5 第5章
B.6 第6章
B.7 第7章
B.8 第8章
B.9 第9章
B.10 第10章
B.11 第11章
B.12 第12章
B.13 第13章
参考文献
· · · · · · (收起)
读后感
评分
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用户评价
这本书的阅读体验有点像在一位经验丰富的导师的陪同下，进行一次结构化的数学漫游。它的章节组织逻辑性极强，从最基础的二维向量开始，逐步搭建起三维空间的概念框架，然后才引入更复杂的变换。我最喜欢的是它强调“一致性”的教学方法，例如，在介绍完向量的内积和外积的几何意义后，它立刻会展示这些运算在计算光照强度和碰撞检测中的应用。这种“理论与应用无缝衔接”的处理方式，极大地增强了学习的动力，让人不会觉得数学是孤立存在的知识点。对于我这种非科班出身的开发者来说，以前总觉得数学是实现功能的“拦路虎”，但这本书成功地将数学语言转化为了我们熟悉的图形语言，让构建虚拟世界的每一步都变得有理有据，充满了逻辑的美感。
评分作为一名已经有些年头的图形程序员，我原以为市面上大多数教材对我来说已经不够新鲜了，但《3D数学基础（第2版）》还是成功地给我带来了不少启发。第二版相比第一版，在如何处理现代GPU管线和并行计算的背景下，对某些优化策略的讨论更加深入了。我特别关注了它对矩阵分解和坐标系变换效率的分析，书中对比了几种不同的变换顺序对性能的影响，这在追求极致渲染帧率的AAA级项目中是至关重要的细节。此外，它对透视投影和正交投影的数学建模的严谨性，让我重新审视了我们在处理深度缓存和视锥体剔除时的精度要求。以往我可能只是粗略地知道怎么设置视锥体参数，但这本书详细推导了这些参数背后的几何关系，这对于调试那些难以捉摸的裁剪错误（Clipping Errors）非常有帮助。总而言之，它不仅仅是基础知识的复习，更像是对工程实践中那些“最优解”背后的数学逻辑进行了一次高质量的学术探讨。
评分这本书简直就是为我这种数学基础有点生疏，但又迫切想进入3D编程领域的新手量身定做的“拐杖”。坦白讲，一开始我对“四元数”这块内容是抱着一种逃避的心态去看的，总觉得这玩意儿比矩阵还玄乎。然而，作者的叙述方式非常具有耐心，他没有直接抛出复杂的公式，而是先从欧拉角的万向锁问题入手，一步步引导你认识到四元数在解决旋转连续性和避免计算死循环上的绝对优势。那种感觉就像有人在你面前铺设了一条清晰的路径，把你从一片迷雾中引了出来。我尤其欣赏它对“插值”概念的讨论，不论是线性插值还是球面线性插值，它都配有清晰的几何图示，让你能直观地感受到物体运动轨迹的平滑度差异。毫不夸张地说，这本书让我对3D变换的理解从“黑箱操作”变成了“完全透明”，现在写代码时，我能更自信地预测和控制物体的空间行为，而不是仅仅依赖于引擎默认设置。
评分要说这本书的不足，也许对于那些追求极致性能优化而只关心汇编层面的极客来说，它在最后关于SIMD指令集优化的探讨可能会显得有些“蜻蜓点水”。然而，对于绝大多数希望扎实掌握3D数学原理，以便能够独立设计、修改或调试复杂图形算法的开发者而言，这本书的定位是非常精准的。它详尽地覆盖了从基础的几何代数到高级的空间定位技术，其清晰的图示和丰富的实例，足以让读者在不依赖大量外部资料的情况下，建立起一个坚不可摧的数学基石。我个人认为，任何一个希望在实时渲染、物理模拟或者VR/AR领域有所建树的人，都应该把这本书当作案头的参考手册，因为它提供的不仅仅是公式，而是一种看待和解决空间问题的全新思维模式。
评分我最近刚啃完这本《3D数学基础：图形和游戏开发（第2版）》，说实话，它真的帮我把之前那些零散的线性代数和几何知识点串起来了。我一直对游戏开发里那些炫酷的视角转换和物体运动背后的数学原理感到好奇，但传统的教材要么过于理论化，要么就是只停留在代码实现的层面，完全不解释“为什么”。这本书的厉害之处就在于，它把向量、矩阵、四元数这些抽象的概念，非常直观地和3D环境中的实际问题联系起来了。比如，当它讲到变换矩阵的时候，它不仅仅是告诉你怎么乘，而是通过一个可视化的例子，让你明白旋转、缩放和平移是如何在同一个4x4的结构里被优雅地编码和组合的。我特别喜欢它在讲解光照模型时，对法线向量和光源方向的几何解释，这让我终于理解了为什么物体在不同角度下会有不同的高光效果，而不是简单地套用一个公式了事。对于想从“会用”到“精通”图形编程的同行来说，这本书的深度和广度都拿捏得恰到好处，读完之后，再去看那些图形API的文档，感觉思路一下子就清晰多了，不再是雾里看花了。
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