具体描述
本卷是这本《集合论导引》的开卷，分为三章，是后续两卷的基础。第1章主要是引进集合论的基本公理、基本概念、基本方法，并给出典型的可数集合的例子，包括自然数集合、整数集合、有理数集合以及彻底有限集合等。第2章主要是引进选择公理以及由此建立起来的基数运算律和一些典型组合实例。第3章专门引进实数集合并对它进行系统分析。本卷将建立一系列基本概念，为全书作铺垫。
作者简介
冯琦，中科院数学与系统科学研究院研究员，中国科学院大学岗位教授。1988年在美国宾州州立大学获博士学位。曾任新加坡国立大学讲师、高级讲师，并获永久教职。1997年底从新加坡国立大学辞职到中科院数学所任研究员。曾任中科院数学所副所长(1999-2002)。曾任德国柏林洪堡大学MerCator客座教授。主要从事数理逻辑和公理化集合论研究。在关于实数集正则性研究领域曾同国际上著名的数学家Magidor, Woodin两人一道做出过开创性的奠基性的工作；在无穷组合理论方面做出过非常优秀的结果；在大基数和印证原理研究方面做出过一系列的非常精彩的工作；在连续统假设的研究工作中同国际上著名的数学家Woodin合作做出过十分复杂的工作；在内模型理论研究领域同国际上著名的数学家Jensen 合作构造出一个相当复杂的内模型。2000年获国家基金委杰出青年基金资助。2003年入选中科院百人计划。曾是国家基金委重点项目主持人。曾任国际符号逻辑协会东亚分会理事长，并于2004年年底当选为国际符号逻辑协会理事。
目录信息
《现代数学基础丛书》序
序言
引言 1
第1章 传递集合 5
1.1 集合论语言及形式理论 5
1.1.1 集合论语言 6
1.1.2 集合论存在性公理 11
1.2 基本概念 15
1.2.1 关系和函数 15
1.2.2 势比较 18
1.2.3 集合论形式推理 18
1.3 自然数集合 20
1.3.1 最小无穷传递集合 20
1.3.2 自然数之序 23
1.3.3 第一递归定义定理 27
1.3.4 自然数算术运算 32
1.3.5 有限与无限 38
1.4 整数集与有理数集 43
1.4.1 整数集合 43
1.4.2 有理数集合 50
1.4.3 有理数线性序 54
1.5 第二递归定义定理 58
1.6 集合Vw与彻底有限集合 62
1.7 序数 68
1.7.1 超限归纳法 71
1.7.2 超限递归定义 72
1.7.3 集合累积层次 76
1.8 秩序 79
1.8.1 秩序集 79
1.8.2 序数集合与序数函数 83
1.8.3 序数算术运算 91
1.8.4 快速增长数论函数层次 100
1.9 基数 105
1.9.1 基数之和与积 110
1.9.2 序数乘积空间上的典型秩序 111
1.10 传递化 112
1.10.1 传递集合之刚性 112
1.10.2 有秩关系 116
1.11 练习 121
第2章 不可数基数 134
2.1 选择公理 134
2.2 基数无穷和与无穷积不等式 142
2.2.1 基数无穷和 142
2.2.2 基数无穷乘积 145
2.2.3 基数不等式 146
2.3 滤子与理想 154
2.3.1 非荟萃集理想 159
2.3.2 荟萃子集可分裂性 167
2.3.3 广义无界闭子集与荟萃子集 171
2.4 奇异基数假设分析 182
2.4.1 银杰定理 182
2.4.2 嘎尔文-海纳定理 186
2.5 树 192
2.5.1 树特性 193
2.5.2 苏斯林树 195
2.5.3 马丁公理 197
2.6 划分定理 204
2.6.1 小势划分定理 204
2.6.2 大势划分定理 212
2.7 练习 214
第3章 实数集合 218
3.1 实数轴 218
3.2 实数有序域结构 220
3.3 连续统假设 223
3.4 实数轴拓扑结构 226
3.5 实数子集正则性 232
3.5.1 贝尔性质 232
3.5.2 勒贝格可测性 237
3.5.3 完备子集特性 242
3.6 贝尔空间与波兰空间 248
3.6.1 闭集树表示 251
3.6.2 博雷尔集 255
3.6.3 解析子集 258
3.6.4 投影集层次 262
3.6.5 贝尔空间博弈论 268
3.7 非标准实数直线 281
3.8 苏斯林直线 288
3.9 练习 292
索引 295
《现代数学基础丛书》已出版书目
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读后感
用户评价
《集合论导引》这本书，在我看来，是一次对数学严谨性与趣味性的完美融合。作者在讲解基本概念时，非常注重逻辑的连贯性和清晰度，每一个定义、每一个定理都像是精心雕琢过的宝石，闪耀着智慧的光芒。我尤其赞赏书中对不同集合论系统的介绍，虽然我不是专业人士，但作者的描述让我能大致了解不同公理体系的差异和各自的特点，这对理解数学的多元化发展非常有帮助。书中在引入无穷集合的概念时，花了很大的篇幅来解释康托尔的对角线论证，这个论证的过程极其精妙，第一次让我直观地感受到了“无穷”的不可思议。作者通过大量的图示和类比，将这个抽象的证明过程变得生动易懂，仿佛在我脑海中构建了一个清晰的逻辑迷宫，而我跟着作者的指引，一步步地找到了出口，并且对整个迷宫的结构有了深刻的认识。这本书让我明白，数学并非是死记硬背的公式和定理，而是一个充满探索和发现的逻辑世界。它的阅读体验远超我之前的想象，那种在智力挑战中获得的满足感，是其他任何学科都无法比拟的。
这本书简直是我的数学启蒙之光！拿到《集合论导引》的时候，我还在为抽象的数学概念感到头疼，但这本书用一种极其友善且深入浅出的方式，一点点地剥开了集合论的神秘面纱。作者似乎深谙初学者的心理，从最基础的集合定义、元素、子集这些最简单的概念开始，一步步引导，仿佛一位耐心的老师，生怕我们落下任何一个细节。书中大量的例子，无论是生活中的物品分组，还是更抽象的数学对象，都恰到好处地帮助我理解那些抽象的符号和规则。我尤其喜欢它在介绍幂集和笛卡尔积时的讲解，清晰得让我恍然大悟。之前觉得这些概念就像天书一样，现在回想起来，它们其实是构建更复杂数学理论的基石，而这本书让我看到了这些基石是如何被稳固地搭建起来的。它没有直接抛出晦涩的定理，而是先从直观的理解入手，然后才逐渐引入形式化的定义和证明。这种循序渐进的学习方式，让我对数学的信心倍增，也激发了我进一步探索更深层次数学问题的兴趣。这本书的排版也很舒服，字体大小适中，章节划分清晰，读起来一点也不费力，完全不会因为内容的严谨性而显得枯燥乏味。我常常会因为一个巧妙的例子而会心一笑，也会因为一个清晰的证明而感到释然。这本书的价值，远不止于它传授的知识本身，更在于它培养了我对数学的感知力，让我看到了数学之美，也让我敢于去触碰那些曾经让我望而却步的数学领域。
这本书给我最大的震撼，在于它揭示了数学语言的强大力量。《集合论导引》以其独特的视角，将我们从日常语言的模糊和不确定中解脱出来，进入一个由精确定义和严谨逻辑构成的世界。作者在介绍集合运算，如并集、交集、差集时，不仅给出了形式化的定义，还用各种生动的比喻来解释这些运算的含义，比如将集合比作班级、社团，运算比作成员的加入、退出、共同参与等，这些比喻非常贴切，让我一下子就抓住了核心思想。更重要的是，这本书让我看到了如何用集合论的语言来描述和解决现实世界的问题。书中有些例子，虽然看似简单，但却展示了集合论在计算机科学、逻辑学等领域的广泛应用，这让我意识到，学习集合论不仅仅是为了掌握一套抽象的数学工具，更是为了获得一种理解和分析世界的全新思维方式。这本书的出版，对于那些希望深入理解现代数学基础，或者对逻辑思维感兴趣的读者来说，无疑是一笔宝贵的财富。
《集合论导引》这本书，给我的感觉就像是在一座宏伟的知识殿堂里，由一位经验丰富的建筑师，耐心地带领我一步步打下坚实的地基。作者在介绍集合的包含关系、相等关系时，细致入微，从不同的角度解释了同一种数学思想，让我即使在初次接触时，也能准确无误地理解其内在含义。我尤其喜欢书中关于“空集”的讨论，这个看似简单到微不足道的概念，在不同的语境下却有着深远的意义，作者通过不同的例子，阐释了空集在集合论中的特殊地位和作用，让我对“无”有了全新的认识。这本书的逻辑结构非常严谨，从基础概念的引入，到复杂定理的推导，都层层递进，毫不突兀。作者在讲解证明时，也力求简洁明了，避免使用过于晦涩的术语，而是通过清晰的步骤和推理，引领读者一步步走向结论。这种写作风格，让我感觉自己不仅仅是在阅读一本数学书，更像是在参与一场精彩的逻辑推理过程，每一次的理解都让我充满了成就感。
《集合论导引》这本书，给我的感觉就像是打开了一扇通往数学宇宙的大门。作者在介绍一些基础性证明技巧时，比如直接证明、反证法，都做得非常到位，清晰地展示了这些证明方法的逻辑脉络和应用场景。我尤其喜欢书中关于“良序原理”的讨论，作者通过一系列的引导性问题，层层深入地揭示了良序原理的深刻内涵及其在数学中的重要地位，让我对数学的公理化体系有了更直观的认识。这本书的语言风格简洁明快，没有多余的修饰，但每一个字都精准地传达了数学的思想。同时，作者在引用其他数学家成果时，也显得十分尊重，并恰如其当地插入了一些历史背景，让整个阅读体验更加充实和有趣。这本书的内容深度与广度都恰到好处，既能满足对集合论有初步了解的读者，也能为深入研究者打下坚实的基础。
《集合论导引》这本书，是一本真正意义上的“敲门砖”。它以一种近乎艺术化的方式，将集合论这一看似枯燥乏味的学科，变得生动而富有吸引力。作者在介绍集合的运算性质时，并没有停留在简单的列举，而是深入分析了这些性质的证明过程，并且强调了它们在构建更复杂数学结构时的重要性。我印象特别深刻的是关于“德摩根定律”的讲解，作者用生活中的例子，比如“没有人喜欢下雨”与“每个人都喜欢晴天”的逻辑关系，来解释这两个定律，一下子就让我理解了集合运算之间的对偶性。这种将抽象数学概念与日常经验相结合的教学方法，极大地降低了学习门槛，也让我更加深刻地体会到数学在现实生活中的普遍性。这本书的语言风格也非常独特，既有科学的严谨，又不失文学的韵味，读起来仿佛是在欣赏一首优美的数学诗篇。
说实话，一开始我对《集合论导引》并没有抱太大的期望，觉得集合论这种东西，无非就是一些符号的堆砌，枯燥乏味，但这本书彻底颠覆了我的认知。作者在处理逻辑和证明方面展现出了惊人的技巧，将原本可能令人望而生畏的数学证明变得如同读故事一般引人入胜。那些看似复杂的公理和定理，在作者的笔下，仿佛都拥有了生命，它们之间的联系和推演过程，竟然可以如此流畅和合乎逻辑。我特别欣赏书中对“选择公理”等关键概念的探讨，作者并没有简单地给出定义，而是深入分析了其重要性、争议性以及对后续数学发展的影响，这种宏观的视角让我对集合论有了更深层次的理解，不再仅仅局限于某个具体的技巧或证明。而且，书中穿插的不少历史轶事和数学家的思想碎片，也为这本理论性极强的书籍增添了人文色彩，让我感觉自己仿佛在与伟大的数学家们进行跨越时空的对话。这种将理论与历史、人文巧妙结合的写作方式，使得阅读过程充满了惊喜和启发，也让我更加深刻地体会到数学的魅力所在。总的来说，这本书不仅仅是一本教科书，更像是一本引导读者进入数学殿堂的指南，它用智慧和匠心，为我们铺就了一条通往理解数学本质的道路。
在我看来，《集合论导引》最令人称道之处，在于其对数学思维方式的培养。作者在处理任何一个概念时，都不仅仅是告诉你“是什么”，更会告诉你“为什么是这样”。例如，在讲解集合的分类时，作者会引导读者思考，为什么我们需要对集合进行不同的分类？不同分类方式的意义何在？这种追根溯源的教学方式，让我逐渐养成了独立思考和深入探究问题的习惯。书中关于“映射”的章节，对我触动很大。作者通过对函数、关系等概念的深入阐释，让我理解了映射是如何将一个集合的元素与另一个集合的元素联系起来，以及这种联系在数学中扮演的关键角色。这种从宏观到微观，再从微观回到宏观的讲解方式，让我对集合论的理解更加全面和深刻。这本书不仅仅是传授知识，更是启迪智慧，让我看到了数学的逻辑之美和创造之美。
这是一本让我对数学产生全新认识的书。《集合论导引》在处理逻辑推理和形式化语言方面，展现了非凡的功力。作者在讲解集合的并集、交集等基本运算时，不仅提供了详细的定义和性质，还通过大量的例子，展示了这些运算在解决实际问题中的应用，让我看到了数学的实用价值。我尤其欣赏书中关于“集合的等价关系”的论述，作者通过细致的分析，解释了等价关系的三个基本性质（自反性、对称性、传递性）是如何构建起数学世界中重要的分类和划分体系的。这种抽丝剥茧般的讲解方式，让我对数学的严谨性和逻辑性有了更深刻的理解。这本书的优点还在于它能够激发读者的主动思考，作者在提出问题时，往往会留有余地，引导读者自己去探索答案，而不是直接给出结论。这种互动式的学习方式，让我感觉自己不仅仅是一个被动的接收者，而是一个积极的参与者，在与作者的智慧进行碰撞。
这本书给我最深的印象，是它关于“无限”的哲学思辨。《集合论导引》并没有将无限仅仅视为一个数学上的概念，而是将其置于更广阔的哲学视野下进行探讨。作者在讲解不同无穷基数的大小比较时，用了一些非常巧妙的比喻，比如用“康托尔的酒店”来解释可数无穷和不可数无穷的区别，这些比喻虽然简化了严谨的数学证明，但却极大地帮助了我理解这些抽象的概念。它让我意识到，数学不仅仅是冷冰冰的数字和公式，更蕴含着深刻的哲学思考。这本书的优点还在于它充分考虑了读者的接受能力，在讲解每一个新概念时，都会提供充分的背景知识和铺垫，不会让读者感到突兀。同时，书中还保留了数学的严谨性，每一个证明都经过了仔细推敲，确保了逻辑的无懈可击。这种理论深度和趣味性的结合，使得《集合论导引》成为一本既有学术价值，又能引发读者思考的优秀著作。
大型汉化，导言非常好
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