Mathematical Olympiads 2000–2001 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Andreescu, Titu

出品人:

页数:282

译者:

出版时间:2003-10

价格:389.00元

装帧:

isbn号码:9780883858103

丛书系列:

图书标签:

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深入探索纯粹数学的魅力：一套精选的数学竞赛历程回顾 书名：《纯粹数学的试炼：精选国际与国家级数学竞赛精粹（1990-2000）》 引言：通往数学真理的阶梯 本书并非对特定年份（如2000-2001年）竞赛的直接记录，而是对上一个黄金十年——1990年至2000年间，世界范围内最具挑战性和代表性的数学奥林匹克竞赛的深刻剖析与精选汇编。这段时期，是数学思维从经典走向现代、从基础技巧向深刻洞察力转变的关键阶段。我们聚焦于那些塑造了当代数学竞赛格局、对年轻数学家提出最尖锐问题的试题，旨在提供一个连贯而深入的学习体验，而非仅仅是问题的罗列。 第一部分：代数——结构的诗篇 本部分系统地梳理了1990年代代数领域中出现的标志性难题。我们着重探讨了函数方程在各个竞赛中的演变。从经典的Cauchy型方程的严格解法，到涉及更复杂函数域（如有理函数、多项式）的非线性方程，我们详细展示了如何运用代数操作技巧，如代换法、反演法以及对函数特性的深入分析（如单调性、周期性）来锁定唯一解或解集。 不等式的艺术与技巧： 1990年代是不等式证明大放异彩的十年。本书深入分析了如何灵活运用均值不等式（AM-GM）的变体，特别是那些涉及到多变量、高次幂的复杂形式。我们特别收录并解析了数个利用Schur不等式的高级推广形式来解决几何或数论背景下的代数不等式的问题。对于那些看似无法下手的问题，我们详细阐述了变量分离与重排的技巧，以及如何通过构造特定的函数或选择恰当的权重来构建一个更易于处理的框架。案例研究着重于那些需要结合放缩法与极端值原理才能证明的深奥不等式。 多项式与组合恒等式： 在这十年间，对多项式根的性质以及代数恒等式的发现成为了考察的重点。我们展示了如何运用Vieta's formulas进行巧妙的参数构建，以及如何利用多项式除法和模运算来简化高次方程的求解。此外，对于涉及整数解的代数丢番图问题，我们强调了如何结合模运算（Modulo Arithmetic）和二次剩余的概念来快速排除大量不可能的解，从而聚焦于少数几个有潜力的整数对。 第二部分：几何——空间与结构的直觉 几何部分聚焦于非欧几里得空间背景下的问题处理和传统欧氏几何的深化。 平面几何的复兴与整合： 1990年代的平面几何试题往往要求参赛者将多种工具融会贯通。我们详细回顾了圆幂定理、相似变换以及反演变换在解决共圆性、共线性和共点性问题中的关键作用。大量的篇幅用于解析那些表面上是纯几何，但实际上需要巧妙引入三角恒等式（如正弦定理、余弦定理的巧妙应用）进行代数化的题目。我们展示了如何通过构造辅助线，将复杂的多边形分解为可处理的三角形组，并利用面积关系进行巧妙的平衡。 立体几何与空间关系： 面对三维空间问题，本书强调了向量代数和坐标几何在简化计算中的优势。然而，我们同样强调了纯粹的几何直觉的重要性。我们对涉及多面体截面、球体与多面体的相交问题进行了深入分析，特别是那些考察对二面角、三面角性质理解的题目。解析了如何利用三面角的余弦定理来解决立体图形中的距离和角度问题。 第三部分：数论——整数的内在规律 数论部分是本书的另一大亮点，反映了1990年代对古典数论主题（如可除性、同余）的现代化处理方式。 丢番图方程与可除性： 我们系统回顾了费马大定理的思想如何在地方性竞赛中得到应用。核心内容集中在原根、指标（Index）的概念在求解指数同余方程中的应用。对于更基础的可除性问题，我们展示了如何运用裴都的定理（Pell's Equation）的思想来处理涉及平方和或立方和的可除性限制。 同余关系与中国剩余定理： 本部分强调了模运算的层次性。除了基础的中国剩余定理（CRT）的应用，我们还探讨了如何处理涉及多重模数的复杂同余系统，特别是当模数之间存在公约数时，如何进行有效的等价转化和系统化求解。 算术函数与素数分布的初步接触： 尽管高深的解析数论不在奥赛核心，但本书收录了几个需要对欧拉函数 $phi(n)$ 和狄利克雷 $sigma(n)$ 函数性质有深刻理解的题目。我们展示了如何利用这些函数的乘法性质，通过分解数字的素因子结构来计算特定函数值或证明其存在性。 第四部分：组合学——计数与结构 组合学部分侧重于证明存在性、计算特定结构的数量，以及逻辑推理的严谨性。 计数原理的精妙运用： 本部分详细阐述了双边计数法（Double Counting）在解决涉及二分图或复杂集合关系问题中的威力。我们对比了容斥原理在处理“至少一个”和“恰好 $k$ 个”情况时的不同策略。对于涉及路径、网格或树结构的计数，我们深入分析了生成函数的初步应用，展示了如何通过简单的幂级数展开来提取序列的系数，从而得到计数公式。 图论基础与染色问题： 1990年代图论开始在奥赛中占据重要地位。我们回顾了欧拉路径、哈密顿回路的判定性条件，并重点解析了图的染色问题，特别是如何利用对立论证（Adversarial Argument）来证明某些图结构不具备特定染色数。对鸽巢原理（Pigeonhole Principle）的推广应用（如Erdős–Szekeres定理的初级版本）在集合构造问题中的应用被详尽解析。 结论：跨越世纪的思维遗产 本书精选的1990年至2000年的竞赛题目，代表了一代数学家的思维高峰。通过对这些经典问题的系统化重构和深度解析，读者不仅能掌握解决这些难题的工具，更能培养出独立发现问题核心结构的能力。本书旨在成为一本面向未来数学家的参考书，它不局限于某一特定年份的知识点，而是构建了一个坚实的、跨越了二十世纪末的数学思想基石。每道题目的解题思路都力求清晰、严谨，并提供至少一种替代性的、更具洞察力的解法，确保学习过程的丰富性和挑战性。

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这部书的排版和印刷质量简直是教科书级别的典范，让我爱不释手。那种厚实的纸张，拿在手里就能感受到作者和出版方对知识传递的尊重。内页的布局非常清晰，数学符号的呈现精准无误，即使是极其复杂的积分和不等式，也能一眼看出其结构和逻辑。而且，这本书的装帧设计非常经典，那种沉稳的蓝色调，配上烫金的书名，放在书架上简直就是一件艺术品。我花了很长时间去研究那些证明过程，发现即便是最晦涩的定理，通过书中的图示和步骤分解，也变得异常直观。作者在讲解难题时的那种细腻，仿佛一位经验丰富的老教授在手把手地引导你，而不是冷冰冰地抛出答案。光是阅读这本书的物理呈现，就已经是一种享受，它成功地将一本严肃的数学专著变成了一种可以被珍藏和反复翻阅的宝物。对于我这样一个重视阅读体验的人来说，一本好书不仅内容要好，它的物质形态同样重要，而这本在视觉和触觉上的完美呈现，无疑为它的价值增添了巨大的砝码。

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我最近开始系统性地复习高等代数的基础概念，这本书在处理群论和环论的入门部分展现出了惊人的深度与广度。它并没有采取传统教材那种自上而下的定义堆砌方式，而是巧妙地通过一系列精心设计的练习题，引导读者自己去发掘和构建抽象结构。其中有一章节，关于伽罗瓦理论的引言部分，处理得尤为精妙，它没有一开始就陷入复杂的拉格朗日定理，而是先从简单的多项式求根问题入手，层层递进，将群的对称性概念自然地引入，让“抽象”不再是一个令人望而生畏的词汇。我发现自己不仅仅是在学习知识点，更是在学习一种数学思维——如何从具体问题中提炼出普遍规律。对于那些希望从应用数学转向纯数学领域的读者来说，这本书提供了一个绝佳的过渡平台，它要求读者不仅要“会做题”，更要“理解为什么这样做”。这本书的价值在于它培养了读者对数学本质的洞察力，而非仅仅是应试技巧。

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我购买了许多关于数论的参考书，但真正能让我感到醍醐灌顶的却屈指可数。这本书在素数分布和丢番图方程的章节处理上，展现出了一种令人敬佩的清晰度和组织性。作者对于解析数论中那些高度依赖分析工具的部分，处理得极其优雅，例如对黎曼 zeta 函数的早期介绍，它避免了过度复杂的复变函数背景，而是通过实分析的方法给出了一个可理解的框架。让我印象特别深刻的是书中对费马大定理证明思路的概述，它没有直接给出安德鲁·怀尔斯那般复杂的证明，而是通过回顾库默尔等先驱者的工作，清晰地展示了数学家们是如何一步步逼近这个难题的，这对于理解数学史和研究方法论非常有启发性。这本书不仅仅是提供了一套解题公式，它更像是一幅宏大的数论地图，标注了各个分支的来龙去脉，让你在迷失方向时，总能找到可靠的参照点。

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这本书的语言风格，用一个词来形容就是“严谨而不失温度”。我曾尝试阅读一些国外原版教材，它们往往在专业术语的翻译上显得生硬晦涩，但这本书的译文（假设是译本）却达到了信达雅的境界。对于那些晦涩的逻辑连接词和假设条件，作者总能找到最符合中文表达习惯且最精确的说法。在涉及集合论和逻辑推理的部分，例如对良序原理的讨论，这本书的处理方式既尊重了其公理化的基础，又通过一系列富有启发性的例子，说明了它在实际证明中的强大威力。阅读过程中，我很少需要停下来查阅术语，这极大地保证了阅读的流畅性，使得我可以长时间沉浸在对数学美感的探索中。这本书成功地架起了一座桥梁，连接了严格的数学逻辑与普通读者的理解能力，让那些原本只属于少数专家的智慧结晶，变得触手可及。

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作为一个资深的竞赛教练，我一直在寻找那种既能提升学生解题速度，又能深化其几何直觉的资料。这本书中的欧几里得几何与三角学部分，简直是为提高奥赛选手能力而量身打造的利器。它收录的许多经典几何构造题，其解法都超越了教科书的范畴，需要运用到复杂的射影几何概念，比如对偶性原理在解决共轭点线问题时的应用。更妙的是，书中对某些看起来非常复杂的空间几何问题，采用了坐标系变换和向量分析相结合的方式，使得原本需要大量繁琐计算的步骤被极大地简化。我尤其欣赏作者在讲解极值问题时所展示的技巧，他们常常能通过一个巧妙的变量代换或视角转换，将一个看似无解的优化问题，瞬间转化为一个简单的三角函数求最值问题。这本书的题目难度分布非常合理，从易到难，循序渐进地将读者的思维从二维平面提升到了三维甚至更高维度的抽象空间。

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