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出版者:

作者:帕尔申

出品人:

页数:284

译者:

出版时间:2009-1

价格:68.00元

装帧:

isbn号码:9787030234889

丛书系列:国外数学名著系列（影印版）

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• 代数几何
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代数几何IV：几何体与模空间的精妙构建 本书深入探索代数几何的核心领域，特别聚焦于各种几何体的结构、性质及其重要的模空间。从对射影空间中簇的刻画出发，逐步引入更复杂的几何对象，如曲面、三维簇以及一般化的代数簇，并着重研究它们在代数运算下的不变量与变换。本书将带领读者领略代数几何在几何分析、微分几何乃至理论物理等前沿领域中的强大应用。 第一部分：射影簇的几何分析 本部分将对射影空间中的代数簇进行细致的分析，从最基础的定义出发，逐步构建起对其几何性质的深刻理解。 簇的定义与性质： 我们将首先阐述代数簇的严格定义，包括仿射簇和射影簇。重点将放在射影簇，这是本书后续内容的基础。我们将讨论闭子集的拓扑结构（Zariski拓扑）以及由理想定义的簇的稠密性、连通性等基本性质。 理想与簇的对应： 深入探讨理想（Ideals）与代数簇之间的精确对应关系。我们将引入素理想（Prime Ideals）和极大理想（Maximal Ideals），并阐述它们与簇的不可约分支（Irreducible Components）和闭点（Closed Points）的关系。Hilberts Nullstellensatz（希尔伯特零点定理）的证明及其几何意义将是本部分的重头戏。 光滑性与奇点： 簇的几何性质很大程度上取决于其光滑性。我们将定义光滑点（Smooth Points）和奇点（Singular Points），并介绍切空间（Tangent Spaces）的概念，以刻画局部几何结构的性质。局部环（Local Rings）在描述奇点方面扮演着关键角色，我们将深入研究其结构。 维数理论： 簇的维数（Dimension）是其几何复杂度的重要度量。我们将介绍多种定义簇维数的方法，例如Trancendence Degree（超越次数）和Kruhl Dimension（克鲁尔维数），并证明它们之间的等价性。簇的维数在理解其几何对象的“大小”以及代数运算的复杂度上至关重要。 代数簇的切空间与法空间： 详细研究代数簇在光滑点上的切空间，以及由此引出的法空间。这将为后续理解几何体的曲率、法向量等微分几何概念奠定基础。 第二部分：几何体的分类与不变量 本部分将超越射影簇的普适性描述，开始关注具体的几何体，尤其是曲面，并引入分类理论的核心概念——不变量。 代数曲面的分类： 从代数簇的特殊情形——代数曲面（Algebraic Surfaces）出发，我们将对其进行初步的分类。我们将引入一些基本的不变量，如Genus（亏格）、Kodaira Dimension（小平维数）等，并初步介绍Deligne-Mumford分类理论的框架。 不变量的理论： 深入理解不变量（Invariants）在代数几何中的重要性。不变量是那些在代数簇经过态射（Morphisms）变换后保持不变的代数对象。我们将讨论多项式不变量、上同调不变量（Cohomology Invariants）以及它们在区分不同几何体方面的作用。 黎曼-赫尔曼盖茨定理的代数几何版本： 尽管黎曼-赫尔曼盖茨定理（Riemann-Roch Theorem）通常与黎曼曲面相关，其代数几何的推广对于理解线上（Line Bundles）的性质以及它们的截面空间（Sections）的维度至关重要。我们将详细阐述该定理在代数簇上的应用。 李群与李代数的几何： 某些几何对象与李群（Lie Groups）和李代数（Lie Algebras）有着深刻的联系。我们将探索代数李群（Algebraic Lie Groups）以及由它们诱导的李代数的几何结构，并介绍其在代数几何中的一些基础应用。 第三部分：模空间的构建与研究 模空间（Moduli Spaces）是代数几何中最为强大和抽象的工具之一，它将一系列具有相似结构的几何对象“收集”起来，形成一个新的几何空间，使得我们能够研究这些几何对象的“形变”和“分类”。 模空间的初步概念： 介绍模空间的思想，即如何将一组同构的代数簇“点化”，使得模空间上的点对应于这些代数簇。我们将讨论模空间存在的困难，以及如何通过“堆栈”（Stacks）等更一般的概念来克服这些困难。 模空间的例子： 给出一些具体的模空间例子，例如： 模曲面（Moduli of Curves）： 模曲面是具有固定亏格的代数曲线的模空间，它是代数几何中最经典、也是最深刻的模空间之一。我们将介绍其基本性质，以及Teichmüller空间与模曲面之间的关系。 模束（Moduli of Bundles）： 对于给定的代数簇，其上的向量丛（Vector Bundles）的模空间也是一个重要的研究对象。我们将介绍模束的构造，以及它们与引力子（Instantons）等物理概念的联系。 模空间的几何性质： 一旦模空间被成功构建，其自身的几何性质就变得尤为重要。我们将讨论模空间的维数、奇异性、紧化（Compactification）等问题。例如，Willerton-Kontsevich的模空间紧化猜想（Kontsevich’s Compactification Conjecture）及其对弦理论的意义。 模空间上的上同调理论： 研究模空间上的上同调理论（Cohomology Theories），例如Weil上同调（Weil Cohomology）和Chow环（Chow Rings）。这些上同调群为我们提供了研究模空间全局几何性质的有力工具。 模空间的退化与形变： 模空间的存在使得我们能够研究代数簇的退化（Degeneration）和形变（Deformation）。例如，我们如何理解一个亏格为2的曲线如何退化成两个亏格为1的曲线的连接？这些问题在低维拓扑和弦理论中有着广泛的应用。 第四部分：高维簇与现代代数几何的视角 本部分将进一步将前述的概念推广到更高维的代数簇，并引入现代代数几何的一些关键视角。 高维簇的分类： 介绍高维代数簇的分类理论，这比曲面分类要复杂得多。我们将引入Fano簇（Fano Varieties）、K3簇（K3 Varieties）等特殊类型的簇，并简要介绍Mori极小模型纲领（Mori Minimal Model Program）的宏伟目标，即对所有光滑射影簇进行分类。 相交理论（Intersection Theory）： 在研究高维簇时，相交理论变得至关重要。我们将介绍Chow环以及在模空间上定义交点数（Intersection Numbers）的方法。这将是理解簇的几何性质以及它们之间相互作用的关键。 模型范畴（Model Categories）与导出范畴（Derived Categories）： 介绍现代代数几何中常用的范畴理论工具。导出范畴是研究态射和上同调的有力框架，而模型范畴则为研究同调代数（Homological Algebra）提供了更为通用的视角。 代数几何在理论物理中的应用： 简要概述代数几何在弦理论（String Theory）、量子场论（Quantum Field Theory）等理论物理领域中的应用。例如，Calabi-Yau流形（Calabi-Yau Manifolds）在紧致化弦理论中的作用，以及模空间在计算弦理论对偶性中的角色。 本书的编写旨在为读者提供一个坚实的代数几何基础，特别是在几何体结构与模空间理论方面。通过对这些核心概念的深入探讨，读者将能够理解代数几何在现代数学和物理研究中的重要地位，并为进一步的深入研究打下坚实的基础。

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这本书的装帧和排版倒是相当古典和严谨，纸张质量也很好，拿在手里颇有分量感，这与它内容的厚重感是相符的。从读者的角度来看，如果说有什么需要改进的地方，那就是某些关键概念的引入顺序似乎可以更加循序渐进一些。某些高级工具的首次出现显得有些突兀，需要读者跳出当前的章节，去参照书后附带的参考书目进行补充阅读。不过，考虑到本书所涉猎的主题的内在复杂性，这也许是不可避免的取舍。它更像是一位博学的老教授在向同行介绍他多年研究的心得，语言风格上少了一些迎合初学者的耐心，多了一些对数学之美的纯粹表达。我个人认为，对于那些热衷于追根溯源、渴望一窥现代代数几何“骨架”的读者来说，这本书的价值是无可估量的。

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老实说，我花了相当长的时间才完全消化掉这本书的前几章，坦率地讲，这绝对不是一本可以轻松翻阅的消遣读物。它对读者的预备知识要求极高，仿佛是为已经站在数学前沿的学者们量身定制的“武林秘籍”。不过，一旦你适应了它的节奏，你会发现它在某些特定领域——比如关于模空间理论的深入探讨——几乎是无可替代的参考资料。书中对某些经典问题的处理方式，与我之前阅读的其他教材截然不同，它侧重于构建一个统一的、高度抽象的框架来统摄分散的知识点，这种视野上的提升是革命性的。特别是关于局部/整体性质如何通过更高级的同调理论联系起来的那几节，简直是教科书级别的典范，我甚至会忍不住停下来，用纸笔重现那些关键的证明步骤，以确保自己真正掌握了其核心思想，而不是仅仅“看懂”了符号的排列组合。

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我尝试用这本书来辅助我理解我正在研究的一个关于奇异点解析性的问题，结果发现它提供的视角相当独特且高效。这本书没有浪费笔墨在不必要的历史回顾上，而是专注于构建一个功能强大的、现代化的理论框架。它的叙事方式是高度综合性的，将数论、拓扑学、甚至某些分析方法的思想巧妙地熔铸在一起，形成了一种极具战斗力的数学语言。我发现自己不得不频繁地使用旁边的笔记本，画下各种纤维丛和映射的示意图，试图将那些纯粹代数的构造“可视化”。这本书的魅力在于它的自洽性和完备性，它建立的系统是一个坚不可摧的逻辑城堡，虽然建造起来不易，但一旦建成，它能抵御住绝大多数数学质疑的冲击。对于那些渴望掌握代数几何“最高阶技巧”的读者，这本书是必经之路。

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这本书给我的感觉是沉重而扎实的，它不像某些轻快的入门书籍那样试图用大量的例子和直观的类比来“软化”理论的棱角，而是直截了当地将读者推向代数几何的核心战场。阅读它就像攀登一座陡峭的山峰，山路崎岖，时常需要回头审视来时的路，但一旦站上了顶峰，视野的开阔感却是无以言表的。我最欣赏它对某些深刻定理——那些在其他教材中可能被轻描淡写地提及——进行了近乎冗长的、但极其详尽的分解和论证。这种详尽并非啰嗦，而是对精确性的执着追求，确保了任何一个细微的逻辑跳跃都被充分填补。对于希望进行原创性研究的博士生来说，这本书与其说是一本教科书，不如说是一部工具箱，里面装满了构建和分析复杂几何对象的必备“精密仪器”。

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这部著作的深度和广度实在是令人叹为观止，它像一幅结构精密的星图，将抽象的代数概念与具象的几何结构紧密编织在一起，让人在阅读过程中仿佛置身于一个由方程和曲线构筑的宏伟殿堂之中。我尤其欣赏作者在阐述那些高深莫测的理论时所展现出的那种清晰度和逻辑的严谨性。那些复杂的构造，比如簇的定义、相交理论的精妙推导，在作者的笔下不再是令人望而却步的符号堆砌，而是成为了可以被逐步理解和欣赏的美丽结构。对于那些已经对基础代数拓扑和概型论有所涉猎的研究者来说，这本书无疑提供了一个进阶的视角，它不仅仅是在罗列定理，更是在引导读者去思考“为什么是这样”的深层数学哲学。书中对范畴论在几何中的应用有着独到的见解，使得原本看似生硬的抽象工具，焕发出解决实际几何难题的强大生命力。阅读过程虽然需要极大的专注力，但每攻克一个难关，所获得的智力上的满足感是无与伦比的。

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