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出版者:

作者:Arnold, Vladimir I.; Itenberg, Ilia; Kharlamov, Viatcheslav

出品人:

页数:109

译者:Gould, Gerald G.

出版时间:2013-5

价格:$ 45.14

装帧:

isbn号码:9783642362422

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 几何
• 代数几何
• Real algebra
• Algebraic geometry
• Real varieties
• Polynomial equations
• Semi-algebraic geometry
• Model theory
• Quantifier elimination
• Optimization
• Complexity
• Computational algebra

《实代数几何：几何与代数的交织》 一、引言：开启一个连接几何与代数的崭新视角 实代数几何，一个融合了几何的直观性和代数的严谨性的迷人领域，为我们理解和描述现实世界中的空间结构提供了强大的工具。它不仅仅是关于曲线和曲面的描绘，更是关于那些由多项式方程定义的几何对象的深层性质的探索。本书《实代数几何》旨在带领读者深入这个精彩的世界，揭示代数结构如何精确地编码几何的特征，以及几何的直观性如何启发代数的创新。我们所处的宇宙，从原子尺度到宇宙尺度，都隐藏着可以通过代数语言描述的模式和关系。实代数几何正是理解这些模式、预测其行为、甚至操纵这些结构的关键钥匙。 这本书的诞生，源于对代数与几何之间深刻而持久的联系的着迷。我们相信，通过系统地介绍实代数几何的基本概念、核心理论和重要应用，能够为读者打开一扇通往更广阔数学视野的大门。无论是对数学初学者，还是对资深研究者，本书都力求提供一个清晰、全面且引人入胜的学习体验。我们将从最基础的概念出发，逐步构建起整个理论体系，并辅以大量的例子和练习，帮助读者更好地掌握所学知识。 二、核心概念：代数多项式与几何形状的对话 实代数几何的核心在于理解由实系数多项式方程组定义的几何对象，即“代数簇”。这些方程组就像一份精确的蓝图，勾勒出这些几何对象的轮廓和性质。例如，一个简单的二次方程 $x^2 + y^2 = r^2$ 在二维平面上定义了一个圆，而更复杂的方程组则可以描绘出更精妙、更高维的形状，如椭圆、抛物线、双曲线，乃至更抽象的代数曲面和簇。 本书将首先深入探讨多项式环和理想的理论。多项式环是构建代数几何的基石，而理想则扮演着“约束”多项式的角色，从而精确地定义了代数簇的几何结构。我们将学习如何运用格勒布纳基（Gröbner basis）等工具来分析和简化多项式方程组，这相当于为我们提供了一套标准化的方法来理解和操作复杂的代数关系。通过这些工具，我们可以有效地判断方程组是否有解，以及解的几何形状。 另一方面，函数的性质也与几何密切相关。在代数几何中，我们关注定义在代数簇上的多项式函数。这些函数就像是“地图”，能够测量和描述簇上的各种属性，例如点的坐标、距离、曲率等。我们将探索函数域的概念，它提供了一种从代数角度研究几何对象的方法。函数的零点集和极点集，以及它们所构成的结构，都是代数几何研究的重要对象。 三、拓扑与分析的桥梁：实代数几何的独特魅力 与复代数几何不同，实代数几何更加关注实数域上的几何对象。这引入了许多新的挑战和独特的性质。例如，实数域的有序性（大于、小于）引入了“实”的概念，使得我们不仅仅是在复数的全局中考察对象，更是在实数域的局部和全局属性上进行分析。 本书将详细介绍实代数簇的拓扑性质。例如，奈尔马克的（Nash）紧化定理，以及阿蒂亚-马克的（Atiyah-MacDonald）关于实代数闭包的概念，都将帮助我们理解实代数簇的拓扑结构。实代数簇的连通性、紧致性、以及其上的“实点”的分布，都是其重要的几何特征。我们将看到，代数结构如何精确地决定了这些拓扑属性。 此外，微积分中的分析方法在实代数几何中也扮演着至关重要的角色。函数的导数、积分等概念，可以用来研究代数簇的微分结构。例如，通过计算导数，我们可以确定代数簇的切空间，从而理解其局部平滑程度。对于非光滑的奇点，我们将学习如何利用更精妙的分析工具来刻画和分类它们。这些分析技术使得我们能够从动态和变化的角度来理解几何对象。 四、核心定理与理论：构筑实代数几何的理论框架 本书将系统地介绍实代数几何中的一些核心定理和理论，这些理论构成了整个学科的脊梁。 希尔伯特零点定理（Hilbert’s Nullstellensatz）的实数推广： 这是代数几何的基石之一。我们将深入探讨其在实数域上的形式，以及它如何连接多项式理想与代数簇的几何形状。这个定理深刻地揭示了代数（理想）与几何（簇）之间的对偶关系。 实代数几何中的 Artin-Mazur 定理： 这个定理是关于实代数簇的覆盖的。它揭示了实代数簇的覆盖结构与其拓扑性质之间的深刻联系。 Semi-algebraic Sets 和 O-minimal Structures： 这部分内容将介绍更广义的“半代数集”，它们是由代数不等式定义的集合。O-minimal structure 是一个强大的模型论概念，它为研究半代数集提供了丰富的工具，并揭示了许多关于实代数几何的基本性质。我们将探索其在理解实数域的复杂性以及控制代数簇的行为方面的作用。 实代数闭包与实闭域： 我们将讨论实闭域的概念，以及如何通过实代数闭包来研究实数域上的代数对象。这为我们提供了一个更普遍的框架来思考实代数几何。 实代数簇的同调论与上同调论： 借鉴代数拓扑的工具，我们将探讨实代数簇的同调和上同调群，这些群能够捕捉到簇的全局拓扑信息。例如，我们将学习如何利用这些工具来研究簇的“孔洞”和“连接性”。 五、应用领域：从理论走向实践 实代数几何的理论深度不仅体现在其数学的优美性，更在于其广泛而深刻的应用。本书将通过具体的例子，展示实代数几何在多个领域中的强大力量。 机器人学与计算机视觉： 在机器人路径规划、运动学分析以及三维重建等问题中，常常需要求解由代数方程定义的几何约束。实代数几何提供的方法能够有效地处理这些问题，从而实现机器人的精确运动和场景的精确还原。例如，通过分析机器人关节的运动方程，可以确定其可能的运动轨迹和工作空间。 计算机辅助设计（CAD）与计算机图形学： 在设计复杂的曲面和形状时，代数方程扮演着核心角色。实代数几何的技术能够帮助我们在计算机中精确地表示、操作和渲染这些几何模型，从而实现高度逼真的视觉效果。从汽车的车身设计到建筑物的建模，都离不开代数几何的支撑。 优化理论： 在许多优化问题中，我们寻求满足一系列代数约束的最优解。实代数几何的方法可以帮助我们分析这些约束的几何意义，从而设计出更高效的优化算法。例如，在求解凸优化问题时，其可行域常常由代数不等式定义。 理论物理： 在弦理论、量子场论等前沿物理研究中，也出现了实代数几何的身影。例如，在研究黑洞的几何结构，或者探索高维空间中的物理现象时，代数几何的工具都发挥着重要的作用。 生物信息学： 在分析复杂的生物分子结构，如蛋白质折叠，或者基因网络的相互作用时，代数方法和几何分析也逐渐被引入。 六、学习路径与致谢 本书的结构设计循序渐进，从基础概念到高级理论，再到实际应用，力求为读者提供一个扎实的学习路径。每个章节都包含丰富的例证和练习题，旨在帮助读者巩固所学，并激发进一步的探索欲望。我们鼓励读者积极思考，将理论知识与实际问题相结合，从而真正掌握实代数几何的精髓。 编写一本涵盖如此广泛内容的著作，离不开许多数学家的杰出工作和深远影响。本书在内容组织和理论阐述上，借鉴了众多经典文献和前沿研究成果。特别要感谢那些致力于将代数与几何相结合，并不断拓展其边界的数学先驱们。 七、结论：一个充满活力的数学分支 实代数几何，作为数学领域一个充满活力且不断发展的分支，正以前所未有的速度吸引着研究者的目光。它不仅为我们理解数学本身提供了深刻的洞察，更在解决现实世界中的复杂问题方面展现出巨大的潜力。本书《实代数几何》希望能成为您探索这个迷人世界的起点，为您打开通往新思维和新发现的大门。我们相信，通过学习本书，您将能够深刻地理解代数与几何之间精妙的联系，并运用这些强大的工具来解决您所面临的挑战。

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我用了整整一个学期的时间来啃这本书，说实话，感受极其复杂。它绝不是那种可以轻松翻阅的“读物”，而是一部需要反复研磨的“工具书”。作者的叙事风格非常直接，几乎没有冗余的客套话，上来就是硬核的定理和证明。这对于已经具备扎实基础的研究生来说，无疑是极大的效率提升，每一个论断都直指核心，逻辑链条清晰可见，让人可以迅速抓住问题的关键所在。然而，对于我这种在学习过程中会不断产生“为什么会这样？”疑问的学习者而言，书中对某些基础背景知识的默认假定略显仓促。例如，在讨论某些构造时，对于其中涉及的交换代数或范畴论的背景知识，作者只是轻描淡写地带过，迫使我不得不频繁地停下来，查阅其他参考资料进行补充。这虽然在一定程度上锻炼了我的自主学习能力，但也着实拖慢了整体的阅读进度。书中的证明往往是教科书式的典范，严密无懈可击，但有时候我会期待能有一些更“灵活”或者“非标准”的视角来理解某个概念的本质，这一点上，本书的风格略显保守和传统。尽管如此，其内容的广度和深度是毋庸置疑的，它为我后续的课题研究奠定了坚实的方法论基础。

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这本书的价值在于它对“实数”这一基础的、却又极其微妙的数学对象，所展现出的几何意义的深度挖掘。它清晰地阐释了为什么在复数域上成立的许多优美性质，在实数域上会突然变得复杂甚至失效。作者在处理诸如“非负多项式是平方和”这类关键命题时，展现出了惊人的洞察力，将解析学中的平滑性要求与代数结构中的有限性要求巧妙地结合起来。我欣赏它对历史脉络的尊重，书中不时穿插的一些历史注脚，简要介绍了某个定理的发现背景和早期学者的争论，这使得冰冷的数学定理背后有了人文学科的温度。它迫使你思考：当我们从代数描述转向几何直观时，实数域的完备性（或者说不完备性）究竟带来了哪些本质性的限制？虽然这本书的某些章节略显陈旧，缺乏对后现代几何学分支的最新整合，但对于理解“根基”而言，它是无可替代的。它教会我的，不仅仅是如何证明某个定理，更是如何用一种“实数”的眼光去看待几何问题。

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翻开这本书时，我立刻被其散发出的那种学术的“重量感”所吸引。这绝对不是一本轻松的读物，它要求读者全神贯注，甚至需要准备好应对多次的挫败感，因为很多核心定理的证明需要极强的空间想象力和逻辑推理能力。我发现自己经常需要对照书后的习题来检验对前文概念的掌握程度，因为作者的讲解往往只是提供了一个清晰的框架，具体的“力气活”——也就是那些细微的代数操作和边界条件的检查——需要读者自己去完成。这本书的编排结构非常有利于构建知识体系，它不像某些教材那样将知识点碎片化，而是围绕几个核心的“不变量”或“不变式”展开，所有讨论都围绕如何从实数域的角度去定义和研究这些几何对象。这种高度统一的视角，极大地帮助我构建了一个宏观的理解框架。不过，对于非英语母语的读者来说，书中某些术语的翻译和使用习惯可能需要适应，偶尔会出现一些略显拗口的表达，这在处理复杂的数学定义时，确实会造成一些阅读上的小障碍，需要多次回读才能确保理解无误。

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这本书给我最深刻的印象是它在“具体性”和“抽象性”之间找到了一种微妙的平衡。许多关于实代数几何的论述，往往容易陷入纯粹的拓扑结构探讨，使得几何直观性丧失殆尽。然而，这部作品非常巧妙地将工具集聚焦在了那些可以被明确“写”出来的多项式描述上。例如，书中对“分离性”和“实闭性”的讨论，并非仅仅停留在公理层面，而是深入到如何利用实数域的特定性质来构造出满足特定条件的拓扑空间。我特别喜欢它对“量化消除”原理的系统性介绍，这无疑是连接逻辑与几何的桥梁，其讲解逻辑严密，层层递进，让原本感觉遥不可及的理论变得触手可及。美中不足的是，在涉及到一些现代研究的热点，如算法复杂性或高维结构的可视化方面，内容略显单薄，似乎更侧重于十九世纪末至二十世纪中叶的经典框架构建。对于希望了解当前研究前沿的读者来说，可能需要结合近期的综述文献。总而言之，它更像是一份厚重的基石蓝图，而非一座现代化的摩天大楼。

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这本书的封面设计着实引人注目，那种深邃的蓝色调配上简洁有力的几何图形，让人一眼就能感受到一种严谨而又充满活力的气息。内页的排版也极为考究，字体选择恰到好处，疏密有致，即便是面对如此深奥的数学主题，阅读起来也算是一种享受。从目录来看，涵盖了拓扑学、代数几何的基础概念，以及一些较为前沿的实数域上的几何结构探讨。我特别欣赏作者在引入新概念时所采用的循序渐进的方式，仿佛一位经验丰富的向导，带着读者一步步深入迷宫，而不是简单地抛出一堆公式。书中大量的图示和实例是其一大亮点，它们有效地将抽象的理论具象化，极大地降低了初学者的理解门槛。特别是关于“实闭域”和“半代数集”的章节，作者通过精妙的图示，将原本枯燥的代数描述转化为直观的几何图像，让人豁然开朗。不过，对于那些完全没有代数拓扑背景的读者来说，初期可能需要额外的时间去消化前几章的内容，但一旦跨过这道坎，后续的探索将会变得异常顺畅和迷人。总而言之，这是一本在视觉和结构上都精心打磨过的教材，对于系统学习相关领域的学习者来说，无疑是一个非常可靠的起点。

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