Algebra for College Students pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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isbn号码:9780023108617

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• 代数
• 大学代数
• 高等数学
• 数学教材
• 基础代数
• 函数
• 方程
• 不等式
• 多项式
• 数学学习

探索广阔的数学世界：超越大学代数的航程 引言：数学的力量与视野的拓展 本书旨在带领读者踏上一段引人入胜的数学探索之旅，其深度与广度远超传统大学一年级代数课程所涵盖的范畴。我们聚焦于那些构建现代科学、工程学、经济学乃至计算机科学基石的高级数学概念。这不是一本关于如何解二次方程或掌握函数基础的教材，而是一部深入剖析数学结构、逻辑推理及其在真实世界中应用的指南。我们将挑战读者现有的数学认知，引导他们以更抽象、更严谨的视角审视数学的本质。 第一部分：离散数学与计算思维的基石 本部分着重于离散数学（Discrete Mathematics）的核心领域，这些领域是理解算法、数据结构和现代密码学的关键。我们首先深入集合论（Set Theory），但其深度远超简单的并集和交集。我们将探讨集合的超限性（Transfinite Numbers）、选择公理（Axiom of Choice）及其哲学意义，以及构建数学所有对象的冯·诺依曼（Von Neumann）序数模型。 随后，我们将进入数论（Number Theory）的殿堂。这里的重点不再是欧几里得算法的简单应用，而是深入到解析数论（Analytic Number Theory）的前沿。我们将详细阐述黎曼$zeta$函数（Riemann Zeta Function）的性质，探讨其与素数分布的深刻联系，并尝试理解黎曼猜想（Riemann Hypothesis）的复杂结构及其对加密学（Cryptography）的潜在影响。莫比乌斯反演公式（Möbius Inversion Formula）、二次互反律（Quadratic Reciprocity Law）及其高阶推广将作为核心工具进行探讨。 逻辑与证明方法构成了离散数学的骨架。我们将超越基本的命题逻辑，深入到一阶谓词逻辑（First-Order Predicate Logic），探讨其完备性（Completeness）与紧致性（Compactness）定理。在证明论方面，我们将研究构造性数学（Constructive Mathematics）与直觉主义逻辑（Intuitionism）的视角，并详细分析哥德尔不完备性定理（Gödel's Incompleteness Theorems）的深远哲学意义，理解任何形式化系统的内在局限性。 第二部分：线性代数的高级抽象与应用 虽然大学代数通常会接触矩阵和向量，但本书的线性代数（Linear Algebra）部分将直接迈向其现代、抽象的表达形式。我们将用向量空间（Vector Spaces）和线性变换（Linear Transformations）的视角来重塑所有概念。域（Fields）的概念将被推广，我们将在有限域（Finite Fields，如伽罗瓦域$mathbb{F}_p$）上进行计算，这对于编码理论（Coding Theory）和现代密码学至关重要。 特征值（Eigenvalues）和特征向量（Eigenvectors）的讨论将超越简单的对角化，聚焦于更一般的若尔当标准型（Jordan Canonical Form），并探讨当特征域不是代数闭域时矩阵理论的复杂性。此外，本书将深入泛函分析（Functional Analysis）的边缘，探讨无限维向量空间，特别是希尔伯特空间（Hilbert Spaces）的概念，这为量子力学的数学表述打下基础。我们将详细讲解拉普拉斯算子（Laplace Operator）在这些空间上的谱理论（Spectral Theory）。 第三部分：微积分的严格化与深度拓展 本书对微积分的探讨，将立足于实分析（Real Analysis）的严格基础之上，而非仅仅是计算导数和积分的“技巧”。我们将从头开始构建$mathbb{R}$的结构，通过$epsilon-delta$语言精确定义极限、连续性、导数和积分。 里曼积分（Riemann Integral）的局限性将被清晰指出，随后我们将全面介绍勒贝格积分（Lebesgue Integration）。勒贝格理论是现代概率论和偏微分方程（Partial Differential Equations, PDE）分析的绝对核心。我们将详细研究测度论（Measure Theory）的基础，包括$sigma$-代数、可测函数以及收敛定理（如单调收敛定理和支配收敛定理）的强大威力。 在微分方面，我们将探讨多变量微积分的高级形式，重点是微分形式（Differential Forms）和德拉姆上同调（de Rham Cohomology）。这将使我们能够以统一的几何语言来表达格林、斯托克斯和高斯定理，为理解拓扑学中的几何结构提供必要的工具。 第四部分：代数结构的深层结构 本部分将系统性地梳理抽象代数（Abstract Algebra）的核心结构，但其重点在于探索这些结构的内在联系和高级应用。 我们将超越群、环和域的初步介绍，深入研究群论（Group Theory）的结构定理，如庞加莱-波莱特定理（Poincaré–Birkhoff–Witt Theorem）的背景，以及伽罗瓦理论（Galois Theory）的精髓。我们将详尽展示伽罗瓦理论如何通过研究域的自同构群，优雅地证明五次及以上多项式方程不存在一般代数解（即不可解性问题）。 在环论方面，我们将探讨交换代数（Commutative Algebra），介绍诺特环（Noetherian Rings）、素理想（Prime Ideals）和局部化（Localization）的概念。这些工具是现代代数几何（Algebraic Geometry）的基石，使我们能够将代数问题转化为几何对象的性质研究。 结论：通往更高级数学的桥梁 本书旨在为读者提供一个坚实的平台，使其能够自信地进入拓扑学、复分析、微分几何或数学物理等更专业的领域。我们提供的不是一套即用的计算公式，而是一套严谨的思维框架和一套能够分析复杂系统的数学语言。成功掌握这些内容，意味着读者已经从“应用代数”的层面，跃升至“理解数学结构”的层面。

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