Intermediate algebra pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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isbn号码:9780673188090

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• 代数
• 中级代数
• 数学
• 高等教育
• 教材
• 学习
• 方程
• 函数
• 多项式
• 因式分解

好的，以下是一份关于一本名为《高级代数（Advanced Algebra）》的图书简介，该书内容与《Intermediate Algebra》不重叠，并且力求详尽、专业，避免任何AI痕迹。 --- 《高级代数：结构、理论与应用（Advanced Algebra: Structures, Theories, and Applications）》 书籍概览与定位 《高级代数：结构、理论与应用》是一部面向高年级本科生、研究生，以及有志于深入数学、理论物理、计算机科学（尤其是密码学和算法设计）领域的专业人士的权威教材。本书旨在系统性地、严格地构建现代抽象代数的核心框架，超越初级代数（如《中级代数》）中对实数、复数域上方程求解和函数性质的考察，直接深入到群、环、域的公理化结构及其内在逻辑。 本书的撰写遵循现代数学的严谨性标准，强调理论的证明、概念的辨析以及结构间的相互联系。它不仅仅是一本公式汇编，更是一部引导读者领略代数美感、培养抽象思维能力的深度读物。 --- 第一部分：群论基础与深入 本部分是全书的基石，侧重于群的定义、基本性质的证明，并引导读者探索更复杂的群结构和应用。 第一章：群的公理化定义与基本性质 基础回顾与提升： 从集合、二元运算的性质出发，严谨定义群的四个公理（封闭性、结合律、单位元、逆元）。 子群与陪集： 详细探讨子群的判别法（两步检验法、单一检验法），拉格朗日定理的严格证明及其在有限群阶数分析中的应用。介绍左右陪集的概念、性质及其在群划分中的作用。 正规子群与商群（因子群）： 深入分析正规子群的特征性质（如：左陪集等于右陪集）。重点阐述商群的构造过程，确保读者理解商群运算的良定义性。 第二章：群同态与同构 同态与同构的严格定义： 阐述映射如何保持代数结构，定义核（Kernel）与像（Image）的概念及其与正规子群的直接关联。 同构定理（第一、第二、第三同构定理）： 这是群论的核心部分。本书将提供详细的证明步骤，并配以大量的具体例子（如模运算群、矩阵群）来展示定理的应用场景。 群的分类： 探讨交换群的结构，介绍利用同构定理对有限生成阿贝尔群（Finitely Generated Abelian Groups）进行分类的初步概念。 第三章：群的作用与重要应用 群在集合上的作用（Group Action）： 定义群作用、轨道（Orbits）和稳定子（Stabilizers）。利用群作用理论，严格证明庞加莱-伯恩赛德引理（Burnside's Lemma）及其在计数问题中的应用（例如，计算不同着色的立方体数量）。 Sylow 定理： 本章的难点与重点。详细构建Sylow $p$-子群存在的证明（通常使用群作用方法）。分析Sylow定理推论在确定有限群结构上的强大威力。 直接积与半直积： 区分直积（Direct Product）与半直积（Semi-Direct Product）。通过实例展示如何利用半直积来构造更复杂的群结构，例如二面体群 $D_n$ 的结构分解。 --- 第二部分：环论的深度探索 本部分将代数结构从群的“加法”结构扩展到具有“乘法”结构的环，关注运算之间的交互关系。 第四章：环的公理化基础与基本结构 环的定义与示例： 定义环、交换环、单位环（Ring with Unity）。分析不同类型的环，如矩阵环、多项式环 $R[x]$。 子环、理想（Ideals）与商环： 深入研究理想的性质，强调理想在环结构中扮演的角色，类似于群中的正规子群。严格定义商环的构造，并阐述环同态与第一同构定理在环论中的对应形式。 整环与域： 明确区分零因子、整环（Integral Domains）和域（Fields）。重点讨论有限整环必然是域的结论。 第五章：特殊类型的环与理想 主理想环（PIDs）与唯一分解整环（UFDs）： 引入整除性概念，定义不可约元素和素元素。明确UFD的定义（所有非零、非单位元素都可以唯一地分解为素元素的乘积，不计顺序和单位）。 主理想的性质： 证明$mathbb{Z}$（整数环）和$F[x]$（域上的多项式环）是主理想环。 欧几里得整环（EDs）： 引入除法算法（Division Algorithm）和范数函数（Norm Function）。证明每一个欧几里得整环都是主理想环（ED $implies$ PID）。 第六章：多项式环与域的扩张 多项式环的性质： 证明在域 $F$ 上，$F[x]$ 上的除法算法、带余除法。利用余数定理和因子定理来分析多项式的根。 域的构造： 研究如何从一个环构造一个域（例如，从 $mathbb{Z}$ 构造 $mathbb{Q}$）。 域的扩张（Field Extensions）： 定义域的扩张 $[K:F]$。引入代数数与超越数。重点探讨代数扩张的概念及其在求解经典几何问题（如化圆为方、三等分角）中的决定性作用。 --- 第三部分：伽罗瓦理论的巅峰（Galois Theory） 本部分是全书的高潮，将群论、环论和域论的工具整合起来，以代数的语言解释了为什么五次及以上的一般多项式方程不可用根式求解。 第七章：正规扩张与伽罗瓦群 伽罗瓦扩张的定义： 定义正规扩张（Normal Extensions）和可分扩张（Separable Extensions）。重点研究伽罗瓦扩张的特征。 伽罗瓦群的定义与性质： 定义域扩张 $K/F$ 上的伽罗瓦群 $Gal(K/F)$，阐明其元素是保持 $F$ 中元素不变的 $K$ 上的自同构。 基本定理的引入： 详细阐述伽罗瓦基本定理（Fundamental Theorem of Galois Theory）的陈述——它在子域和子群之间建立了完美的对偶对应关系。 第八章：根式解与伽罗瓦群的结构 可解群（Solvable Groups）： 定义由换位子子群构成的群列。阐述一个群是可解群的充要条件。 阿贝尔-拉宾诺维奇定理： 严格证明“一个多项式方程有根式解，当且仅当其伽罗瓦群是可解群。” 五次方程的不可解性： 利用阿贝尔-拉宾诺维奇定理，结合五次对称群 $S_5$ 事实上不是可解群这一事实，完成对一般五次方程无通用根式解的证明。 --- 本书的特色与教学方法 1. 严格的证明导向： 所有关键定理均提供完整、清晰的证明链条，而非仅给出结论。 2. 结构化学习路径： 内容组织遵循“群 $ ightarrow$ 环 $ ightarrow$ 域 $ ightarrow$ 伽罗瓦理论”的经典递进路线，确保知识的层层积累。 3. 丰富的例题与练习： 每章末尾附有不同层次的习题，从概念验证到需要深入推导的综合性问题，旨在固化读者的理解。 4. 理论与历史背景结合： 在引入伽罗瓦理论时，会穿插相关的历史背景，激发读者对数学思想演变的兴趣。 《高级代数》是通往现代数学研究的桥梁，它要求读者具备坚实的逻辑基础和对抽象概念的驾驭能力，是代数学习的下一阶段的必备参考书。

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