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isbn号码:9780070293526

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• 应用数学
• 离散数学
• 集合论
• 函数
• 极限
• 导数
• 积分

《解析几何与微积分基础》 本书旨在为读者提供一个坚实的数学基础，特别侧重于解析几何和微积分的核心概念。我们相信，清晰的数学思维和严谨的逻辑推导是理解更高级数学和科学领域的重要基石。本书的编写旨在循序渐进地引导读者掌握这些基础知识，并培养其解决问题的能力。 第一部分：解析几何——空间中的几何语言 解析几何是连接代数和几何的桥梁，它使用坐标系统来描述和分析几何图形。在本部分，我们将从最基础的笛卡尔坐标系出发，逐步深入到各种重要的几何对象。 第一章：二维平面上的点和直线 直角坐标系： 我们将详细介绍直角坐标系的构建原理，如何用一对数（坐标）来唯一确定平面上的一个点。这为后续的代数表示几何对象奠定了基础。 距离公式： 基于勾股定理，我们将推导出两点之间的距离公式，这是许多几何计算的起点。 斜率： 斜率是衡量直线倾斜程度的重要概念，我们将探讨其定义、几何意义以及如何通过两点计算斜率。 直线的方程： 我们将学习不同形式的直线方程，包括点斜式、斜截式、两点式、截距式以及一般形式。理解这些方程的相互转换，以及它们如何反映直线的几何特性，是解析几何的核心。 平行线与垂直线： 通过斜率的性质，我们将清晰地阐述平行线和垂直线之间的代数条件。 点到直线的距离： 学习如何计算一个点到给定直线的垂直距离，这在几何优化和定位问题中具有重要应用。 直线与直线的位置关系： 分析两条直线相交、平行或重合的条件，以及求解交点的方法。 第二章：圆、椭圆、双曲线与抛物线——圆锥曲线的世界 圆锥曲线是解析几何中最为重要的几何图形之一，它们由平面与一个圆锥相交而形成。本书将分别介绍这四种曲线的定义、标准方程及其几何性质。 圆： 圆的标准方程及其几何意义。我们将探讨圆心、半径的概念，以及如何通过圆心和半径来确定一个圆。 椭圆： 椭圆的定义（两定点距离之和为常数），焦点、长轴、短轴、离心率等概念。我们将推导其标准方程，并分析其形状特征。 双曲线： 双曲线的定义（两定点距离之差的绝对值为常数），焦点、实轴、虚轴、渐近线、离心率等概念。我们将推导其标准方程，并分析其形状特征，特别是渐近线的作用。 抛物线： 抛物线的定义（到定点和定直线的距离相等），焦点、准线、对称轴等概念。我们将推导其标准方程，并分析其形状特征，理解抛物线的反射性质。 圆锥曲线的平移与旋转： 探讨圆锥曲线在坐标系中发生平移和旋转后的方程变化，以及如何通过配方法等技巧识别和化简二次曲线方程。 第三章：三维空间中的几何 在本章，我们将空间的概念扩展到三维。 三维直角坐标系： 介绍三维空间中的直角坐标系，以及如何用三个坐标来定位一个点。 三维空间中的距离公式： 推导三维空间中两点之间的距离公式。 平面方程： 学习平面方程的不同形式，如点法式方程和一般式方程，以及法向量的概念。 直线方程（参数方程与对称方程）： 在三维空间中，我们通常使用参数方程和对称方程来描述直线。我们将详细讲解如何建立和理解这些方程。 直线与平面的位置关系： 分析直线与平面相交、平行或包含的条件，以及求解交点或判断位置关系的方法。 曲面方程： 介绍一些常见的三维曲面方程，如球体、椭球面、抛物面和双曲面等，并初步探讨它们的几何形状。 第二部分：微积分基础——变化与无穷的数学 微积分是研究变化率和累积量的数学工具，它在科学、工程、经济等众多领域有着不可替代的作用。本书的微积分部分将聚焦于其核心概念：极限、导数和积分。 第四章：极限与连续性 极限是微积分的基石，它描述了一个函数或数列在趋向某个值时的行为。 数列的极限： 引入数列的概念，并定义数列收敛和发散的意义。通过直观的例子，理解数列极限的含义。 函数的极限： 定义函数的极限，包括左极限和右极限。我们将通过代数和几何的方式来理解函数极限的概念。 极限的性质与运算法则： 学习极限的四则运算法则，以及如何利用这些法则来计算各种函数的极限。 重要的极限： 介绍一些常见的、重要的极限，如 $ lim_{x o 0} frac{sin x}{x} $ 等，它们在后续的导数计算中至关重要。 无穷小与无穷大： 解释无穷小和无穷大的概念，以及它们在极限计算中的作用。 连续性： 基于极限的概念，我们定义函数的连续性。理解连续性的几何意义（图形没有中断），并学习判断函数连续性的方法。 介值定理与最值定理： 介绍这两个重要的连续函数性质定理，它们在证明和应用中具有重要价值。 第五章：导数——变化率的度量 导数是微积分的核心概念之一，它衡量一个函数在某一点的瞬时变化率。 导数的定义： 通过平均变化率的极限，我们引入导数的定义。导数可以被理解为曲线在某一点的切线斜率。 基本函数的导数： 学习幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本函数的导数公式。 导数的运算法则： 掌握导数的加、减、乘、除法则，以及链式法则，这些法则使我们能够计算复杂函数的导数。 高阶导数： 介绍二阶导数、三阶导数等概念，并探讨它们在描述函数变化趋势中的作用。 隐函数求导： 学习如何对隐函数求导，这在处理一些难以显式表示的函数时非常有用。 导数的几何意义： 深入理解导数作为切线斜率的几何意义，并学习如何利用导数求解切线方程。 导数的物理意义： 解释导数在物理学中的应用，如速度是位移的导数，加速度是速度的导数。 第六章：导数的应用——分析函数行为 导数不仅是计算工具，更是分析函数行为的强大手段。 单调性与极值： 利用导数的符号来判断函数的单调性（递增或递减）。通过导数等于零的点（驻点）和二阶导数，来确定函数的局部最大值和最小值。 凹凸性与拐点： 利用二阶导数的符号来判断函数的凹凸性。拐点是函数凹凸性发生变化的点。 函数图像的绘制： 综合利用导数信息，包括单调性、极值、凹凸性和拐点，来绘制函数的完整图像。 洛必达法则： 学习利用导数来求解不定型极限的方法——洛必达法则。 优化问题： 将导数应用于解决实际问题中的优化问题，如求最大利润、最小成本等。 牛顿迭代法： 介绍一种利用导数来逼近方程根的数值方法。 第七章：积分——累积与面积的度量 积分是与导数互逆的概念，它用于计算累积量，如面积、体积、功等。 不定积分： 定义不定积分作为导数的反运算，引入原函数和积分常数。 基本积分公式： 学习常用函数的积分公式，它们是计算不定积分的基础。 积分的线性性质： 掌握积分的线性性质，即积分的加减法和常数倍法则。 换元积分法： 学习利用变量替换来简化被积函数，从而求解积分。 分部积分法： 学习将复杂被积函数分解为两个函数乘积的积分方法。 定积分： 定义定积分作为黎曼和的极限，它表示曲线下方（或上方）的面积。 牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本定理）： 理解微积分基本定理，它将定积分的计算与不定积分联系起来，极大地简化了定积分的计算。 定积分的应用： 几何应用： 计算平面图形的面积，包括直线与曲线围成的面积、曲线之间的面积。 物理应用： 计算变力做功，计算物体的质心等。 体积计算： 学习利用旋转体体积公式（圆盘法、圆环法）和截面法计算三维物体的体积。 本书的编写风格力求清晰、严谨，并且注重数学概念的直观理解。每个章节都包含丰富的例题和练习题，旨在帮助读者巩固所学知识，并提升解题能力。我们希望通过本书，读者能够对解析几何和微积分建立起深刻的认识，为进一步学习更高级的数学和科学知识打下坚实的基础。

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这本书的排版和视觉设计，说实话，是我阅读过的数学教材里最舒适的之一。我通常对那种黑白分明、密密麻麻的公式堆砌感到头晕目眩，但《有限数学与微积分》在这一点上做得非常出色。它大量运用了彩色图表和示意图，特别是在讲解概率论和统计推断的部分，那些关于正态分布曲线的阴影区域划分，或者蒙特卡洛模拟的随机点阵，都因为色彩的辅助而变得清晰易懂。更重要的是，它在公式的呈现上非常克制。作者似乎深谙一个道理：一个公式，如果不能通过一个好的图示或一个具体的例子来支撑，它就只是一堆无意义的符号。书中很多关键的定理，都会用一个小小的“案例快照”来配合说明，这些快照往往取材于商业分析、金融建模或者运营管理，这让我在翻阅时，总能找到一个锚点，将抽象的数学概念固定在具体的场景里。这种设计哲学，极大地提升了阅读的连贯性和愉悦感，也使得长时间的学习后，眼睛不容易感到疲劳，这在面对厚厚的数学书时，是一个非常重要的体验加分项。

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我对这本书的微积分部分的观感，与我过去接触的那些标准微积分教材有着本质的区别。通常的微积分教材，总是把极限和导数的严格证明放在一个非常突出的位置，虽然重要，但对于初学者来说，很容易在那些 $epsilon-delta$ 的泥沼里迷失方向。然而，这本书在处理微积分时，似乎是特地为那些需要快速掌握应用技巧的人设计的。它的重点似乎更偏向于“如何使用”而非“为何如此”。比如在讲解定积分的应用时，它几乎是无缝地衔接到经济学中的消费者剩余和生产者剩余的计算上，几乎没有过多的冗余的理论铺垫，直接展示了如何通过面积的计算来量化经济效益。我尤其欣赏它在处理“优化问题”时的章节结构，它将多元函数的偏导数和拉格朗日乘数法，非常巧妙地融入到资源分配和成本最小化的实际案例中。阅读过程中，我几乎没有感觉到那种为了证明而证明的疲劳感，更多的是一种“哦，原来这个工具可以这样用”的顿悟。这种实用主义的倾向，使得微积分不再是高悬在空中的纯数学概念，而是成为了解决实际管理和决策问题的有力武器，这对于我这种更倾向于应用导向的学习者来说，简直是福音。

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我必须承认，这本书在处理“概率论与统计”这块内容时，展现出一种令人耳目一新的深度和广度。很多同类型的教材会把概率部分处理得相对肤浅，仅仅停留在基本的排列组合和古典概型上，但《有限数学与微积分》却勇敢地深入到了更贴近现代商业智能分析的领域。它不仅仅满足于解释“掷骰子”的概率，而是花了大量篇幅去介绍贝叶斯定理及其在条件概率更新中的应用，这一点对我个人理解风险评估非常有帮助。例如，它用一个关于市场调研中假阳性/假阴性结果的分析，生动地说明了贝叶斯推断的强大之处。另外，书中对回归分析的介绍也处理得非常到位，它没有过度纠缠于最小二乘法的纯代数推导，而是将重点放在了如何解读回归系数的实际意义，以及如何判断模型的拟合优度（比如 $R^2$ 的含义），这让我感觉自己不仅仅是在学习数学，更是在学习如何对数据进行“批判性”的解读。这种将数学工具箱与现代数据驱动决策思维相结合的教学思路，是这本书最核心的价值所在。

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这本《有限数学与微积分》的教材，老实说，在拿到它之前，我对“有限数学”这个概念一直是有点模糊的。我一直以为，数学要么就是纯理论的深渊，要么就是应用到极致的工程计算。这本书的开篇就很有意思，它并没有直接扑进那些复杂的公式里，而是花了相当大的篇幅去构建一个“离散世界”的逻辑框架。举例来说，它对图论的引入非常直观，通过对网络连接和路径优化的讨论，让我一下子明白了什么是“有限”的约束条件下的最优解。我记得在讲到组合爆炸问题时，作者没有简单地给出阶乘的公式，而是用了一个非常贴近日常生活的例子——假设一个小型物流公司如何规划最优配送路线，这种讲解方式，比起教科书上那种冷冰冰的符号堆砌，更能激发我去思考背后的数学原理。而且，书中对矩阵运算的讲解，也明显偏向于实际应用，比如如何用矩阵来建模简单的经济投入产出模型，而不是仅仅停留在代数变换的层面。这种注重“应用场景”的叙事方式，极大地降低了我对这部分内容的畏惧感，感觉自己不是在学一门抽象的学科，而是在掌握一套解决现实问题的工具箱。如果说传统微积分是教你如何处理无限的、平滑的变化，那么这本书就是在告诉我，在处理有限的、颗粒化的决策时，该如何运用数学的严谨性。

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关于本书的练习题部分，我体验下来感觉是一个精心设计的“螺旋上升”的学习路径。起初的练习题，通常会紧跟着每个小节的例题，旨在巩固新学的定义和基本运算，这些题目数量适中，难度梯度平缓，主要用来确保基础概念的无误掌握。然而，当进入到章节末尾的综合练习时，难度和复杂度会有一个显著的提升，而且这些大题往往是跨章节、跨知识点的混合应用题。举例来说，一个最终测试题可能要求你先用线性规划的思想确定一个生产约束条件，然后用微积分的知识来找到成本函数的最优解，最后再结合概率模型来评估决策的潜在风险。这种设计非常有效地避免了“学完就忘”的现象，因为它强迫你在解决一个完整问题时，必须调动和整合先前学过的所有相关工具。虽然做这些综合题需要花费更多的时间和精力，但完成之后带来的成就感和对知识体系的融会贯通感，是那种简单计算题无法比拟的。总而言之，这本书的练习体系，真正做到了从基础巩固到高阶应用思维的全面培养。

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