Theory of Association Schemes (Springer Monographs in Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Paul-Hermann Zieschang

出品人:

页数:283

译者:

出版时间:2005-12-01

价格:USD 129.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9783540261360

丛书系列:

图书标签:

• Association Schemes
• Combinatorial Theory
• Graph Theory
• Algebraic Combinatorics
• Mathematics
• Springer Monographs
• Discrete Mathematics
• Design Theory
• Coding Theory
• Polynomials

《关联模式理论》 前言 关联模式是代数组合学中的一个核心概念，在设计理论、编码理论、图论、统计学以及机器学习等领域都扮演着至关重要的角色。本书旨在系统地介绍关联模式的理论基础、基本性质、构造方法以及在不同学科中的应用。我们希望通过本书，为读者提供一个深入理解关联模式的全面视角，并激发进一步的研究兴趣。 第一章 导论 本章将首先介绍关联模式的起源和发展历程，阐述其在数学研究中的地位和重要性。我们将通过直观的例子，如公平设计（balanced incomplete block designs）和图论中的正则图，引出关联模式的概念。同时，我们将初步探讨关联模式与矩阵代数、群论等数学分支的紧密联系，为后续深入的学习打下基础。 第二章 关联模式的定义与基本性质 本章将严格定义关联模式。一个关联模式是一个有限的集合 $X$ 以及在 $X$ 上的若干个二元关系（或等价地说，在 $X imes X$ 上的若干个子集），这些关系满足特定的组合条件。我们将详细阐述这些条件，包括： 自反性: 每个关系都包含所有 $(x,x)$ 对。 对称性: 如果 $(x,y)$ 在某个关系中，那么 $(y,x)$ 也在该关系中。 结构常数: 对于任意一对关系，以及任意一个元素 $x$，与 $x$ 有特定关系 $i$ 的元素 $y$（即 $(x,y) in R_i$），这些 $y$ 中与 $x$ 有特定关系 $j$ 的元素（即 $(y,z) in R_j$），其数量仅取决于关系 $i$ 和 $j$ 以及元素 $z$ 与 $x$ 的关系 $k$（即 $(x,z) in R_k$）。这个数量被称为结构常数，通常表示为 $p_{ijk}$。 我们将介绍关联模式的参数，包括集合的大小 $|X|$ 以及关联模式的类型（例如，称关联模式为 $v$ 点 $b$ 块的关联模式，如果它有 $b$ 个关系）。我们将深入研究这些参数之间的代数关系，例如，通过分析关联模式的关联代数（adjacency algebra）的维度和结构，推导出参数必须满足的必要条件。 第三章 关联代数 关联代数是理解关联模式结构的关键工具。本章将详细介绍关联模式的关联代数。对于一个关联模式 $(X, {R_i}_{i=0}^{d-1})$，我们定义 $d$ 个 $ |X| imes |X|$ 的关联矩阵 $A_i$，其中 $(A_i)_{xy} = 1$ 如果 $(x,y) in R_i$，否则为 0。这些关联矩阵构成了关联模式的代数表示。 我们将证明，这些关联矩阵的线性组合形成一个代数，称为关联代数。我们将研究关联代数的基，例如单位矩阵 $J$（全 1 矩阵）和 $A_0 = I$（单位矩阵）。我们将推导关联矩阵的幂，并展示它们如何与关联模式的结构常数相关联。此外，我们将引入特征值和特征向量的概念，并探讨关联模式的特征值结构如何反映其组合性质。 第四章 关联模式的构造方法 构造新的关联模式是关联模式研究的重要组成部分。本章将介绍几种常见的关联模式构造方法： 直积（Direct Product）: 如果我们有两个关联模式，它们的直积可以构造一个新的、更大的关联模式。我们将详细阐述直积的定义以及由直积产生的新的关联模式的参数。 张量积（Tensor Product）: 类似于直积，张量积也是构造大型关联模式的有力工具。我们将介绍张量积的定义以及其性质。 群代数（Group Algebra）: 如果一个群 $G$ 的一个子群 $H$ 在 $G$ 上作用，并且这个作用是自由且传递的，那么我们可以基于群的陪集构造关联模式。我们将介绍这种构造方法，以及如何利用群的性质来计算关联模式的结构常数。 对称性（Symmetry）: 对于某些关联模式，存在自同构群，它们可以用来构造新的关联模式或分析现有关联模式的对称性。 第五章 特殊类型的关联模式 本章将聚焦于一些特殊的、性质更强的关联模式，它们在理论和应用中具有更广泛的影响： 度量关联模式（Metric Association Schemes）: 度量关联模式是指关联模式的结构常数满足一定的度量性质。我们将讨论度量关联模式的定义、性质以及与距离空间的关系。 正则关联模式（Regular Association Schemes）: 正则关联模式是指所有关联矩阵的行和（或列和）都是相同的。我们将探讨正则关联模式的性质以及它们与图论中正则图的联系。 费马关联模式（Fermat Schemes）: 费马关联模式是一类重要的度量关联模式，它们与有限域上的多项式有关。我们将介绍费马关联模式的构造和性质。 霍普夫关联模式（Hoppf Schemes）: 霍普夫关联模式是另一类重要的关联模式，它们与有限域上的线性子空间有关。 第六章 关联模式的应用 关联模式的抽象理论在众多应用领域都取得了显著成果。本章将介绍关联模式在以下几个关键领域的应用： 设计理论（Design Theory）: 关联模式是设计理论中的基本构造块，例如，公平设计（balanced incomplete block designs）可以被看作是某种类型的关联模式。我们将展示如何使用关联模式来构造和分析各种设计。 编码理论（Coding Theory）: 关联模式在纠错码的设计和分析中扮演着重要角色，特别是与关联模式相关的星座图（association schemes related to constellations）可以用来设计具有良好性能的编码。 图论（Graph Theory）: 许多重要的图类，如强正则图（strongly regular graphs），是关联模式的特例。我们将探讨关联模式与图谱理论（spectral graph theory）之间的联系。 统计学（Statistics）: 在实验设计和回归分析中，关联模式可以用来构建复杂的实验方案，并对数据进行有效的分析。 机器学习（Machine Learning）: 关联模式可以用来表示数据中的结构和关系，从而应用于特征选择、数据挖掘和模式识别等任务。 第七章 进一步的研究方向 本章将对关联模式的研究进行展望，介绍当前的研究热点和未来的发展方向。我们将讨论一些尚未完全解决的难题，例如： 分类问题: 许多类型的关联模式的分类问题仍然是开放的。 大数定律和概率极限理论: 研究关联模式上的随机变量的渐近行为。 与代数几何的联系: 探索关联模式与代数几何中的某些结构之间的潜在联系。 在计算复杂性理论中的应用: 研究关联模式在解决某些计算问题中的潜力。 附录 本书的附录将包含一些有用的补充材料，例如： 基本概念回顾: 对代数、组合学和群论中的一些基本概念进行回顾。 常用符号表: 总结本书中使用的常用符号。 参考文献: 提供进一步阅读的详细文献列表。 结论 《关联模式理论》提供了一个关于关联模式的全面而深入的介绍，涵盖了其基础理论、构造方法以及广泛的应用。本书旨在为数学和相关领域的学生、研究人员以及实践者提供宝贵的资源。我们希望通过本书，能够激发读者对这一迷人领域的进一步探索和研究。

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我花了整整一个下午的时间，沉浸在对这本经典著作的深度阅读中，它给我的感觉就像是走进了一个由逻辑和规则精心编织而成的迷宫，而作者就是那个指引你找到最优路径的无形向导。书中对矩阵代数在图论问题中的应用处理得非常细腻，特别是关于特征值和特征向量如何编码图的全局属性时，那种优雅的数学表达令人叹服。我发现，作者在阐述那些高阶的代数构造时，并没有采用过于花哨的辞藻，而是保持了一种近乎冷峻的清晰度，这使得即便是最复杂的定理推导过程，也变得逻辑可循。比如，书中关于黎曼球面上特定点的对称性分析，涉及到一些非常深奥的拓扑概念，但作者巧妙地将其嵌入到组合框架内，使得读者不必成为专业的拓扑学家也能领会其核心思想。这本书的阅读体验是极具挑战性的，它要求读者不仅要熟练掌握预备知识，更要有强大的抽象思维能力来跟上作者的思维跳跃。读完后，我感觉自己对“结构”这个概念有了更深层次的理解，这是一种超越物理形态的、纯粹的数学实在。

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这是一本需要反复咀嚼才能品出真味的数学精品。与市面上很多追求快速入门的教材不同，这本书的态度是庄重而耐心的，它似乎并不急于将所有结论摆在面前，而是鼓励读者亲身参与到概念的构建过程中。我个人对书中关于“对称群”的阐述印象最为深刻，作者没有停留在群作用的表面描述，而是深入探讨了在模空间意义下，如何量化和分类这些对称性。书中引入的一些构造性证明方法，比如利用有限域上的多项式来构建特定的设计，其精妙程度让人拍案叫绝。它迫使我重新审视我过去对线性代数和抽象代数基础知识的理解，发现这些看似陈旧的工具，在面对现代组合优化问题时，依然能焕发出惊人的活力。对于一个有着丰富研究经验的读者来说，这本书更像是一本“工具箱的说明书”，它清晰地标明了每件工具（即每种数学结构）的最佳使用场景和局限性，而非仅仅是罗列工具本身。

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坦率地说，初次接触这本书时，我被其深厚的学术底蕴所震撼，这绝非一本轻松的读物，它更像是一本供专业人士深入研讨的参考手册。书中对代数组合结构之间相互关系的梳理，显示出作者非凡的洞察力，尤其是在处理那些涉及编码理论与密码学交汇点的部分时，其理论深度达到了令人望而生畏的程度。我特别留意了关于“强正则图”的章节，作者不仅给出了定义和例子，更重要的是，他详尽地探讨了满足特定参数集的图存在的充要条件，这种严谨的“存在性”讨论，是衡量一本优秀理论著作的关键标准。阅读过程中，我常常需要停下来，在笔记本上自行验证一些关键引理的中间步骤，因为作者的叙述方式是高度浓缩的，每一个符号和每一个限制条件都承载着重要的数学意义。这本书的排版和符号系统处理得非常专业，虽然内容艰深，但清晰的结构有效地减轻了阅读的认知负担，使得我的注意力可以完全集中在数学逻辑本身。

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这本书在我的书架上已经静静地躺了一段时间，每一次翻开，都会有新的领悟。它最吸引我的一点是其视角的前瞻性，它不仅仅是在总结既有的成果，更是在为未来的研究指明方向。书中对高维空间中点集分布问题的几何化处理，尤其出色，它将组合问题转化为了对特定代数流形上点的计数问题，这种跨学科的融合展现了数学的统一之美。我特别欣赏作者在全书不同章节之间建立的微妙的、非显性的联系，例如，在讨论完某种特定类型的代数环后，你会在后面的章节发现，这些环的结构被用来作为构建某种设计矩阵的蓝图，这种浑然天成的连接感，是真正大师级作品的标志。对于希望在这片领域做出实质性贡献的研究者来说，这本书提供的不仅是理论框架，更是一种挑战极限、寻求更深层规律的学术精神。它要求读者保持谦逊和警觉，因为每一个细微的代数差异都可能导致截然不同的组合后果。

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这本关于群论和组合设计理论的书籍简直是为那些对代数结构和对称性之美有着深刻追求的数学家量身定做的。作者的行文风格极其严谨，仿佛在带领读者进行一次精密的数学攀登，每一步论证都像建筑师在规划宏伟的结构一样精确无误。书中对于正交阵列和拉美斯基图（Ramsey Graphs）的探讨，不仅仅是简单的理论介绍，更像是一场关于信息压缩和编码效率的哲学思辨。我尤其欣赏它在介绍特定设计（比如平衡不完全区组设计 BIDs）时，所展现出的那种从具体实例逐步抽象到普遍原理的教学智慧。对于初次接触这个领域的读者来说，开篇的背景铺垫可能略显陡峭，但一旦跨过前三章的门槛，后续章节中关于代数几何在组合学中应用的论述，会让人感受到数学语言在描述复杂现实时的强大穿透力。那些关于有限域上代数结构的讨论，清晰地揭示了看似不相关的数学分支之间是如何通过巧妙的构造联系起来的。这本书的价值在于它提供的不仅仅是知识点，更是一种看待数学结构、理解信息复杂性的全新视角。

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