Topology - Volume I pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Academic Pr / PWN

作者:Kazimierz Kuratowski

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1966-06

价格:USD 91.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780124292017

丛书系列:

图书标签:

• 拓扑学
• 点集拓扑
• 代数拓扑
• 拓扑空间
• 连续函数
• 同伦
• 基本群
• 覆盖空间
• 拓扑流形
• 数学

《拓扑学（卷一）：结构与连续性》 本书是《拓扑学》系列的开篇之作，旨在为读者建立扎实的拓扑学基础，深入探索空间结构的本质以及连续性在不同数学领域中的关键作用。本书内容详实，逻辑严谨，从最基础的集合论概念出发，逐步构建起抽象的拓扑空间，并在此基础上引出诸多重要的拓扑性质和构造。 核心内容概述： 1. 拓扑空间的引入与基本概念： 集合与关系： 本章将回顾并巩固读者对集合、子集、并集、交集、差集、笛卡尔积等基本集合运算的理解，为后续拓扑结构的定义打下坚实基础。同时，对关系，特别是等价关系和偏序关系进行深入探讨，这些概念在定义拓扑空间和理解其性质时至关重要。 开集与闭集： 这是拓扑学中最核心的概念之一。本书将详细阐述开集的定义，以及由开集生成的闭集、开核、闭包等基本拓扑构造。我们将通过丰富的例子，例如实数集上的标准拓扑，展示不同类型集合（开集、闭集、既开又闭的集合）的特征，并强调开集族所赋予的“邻域”概念，这是理解连续性与收敛性的关键。 邻域系统与公理化定义： 除了通过开集族来定义拓扑，本书还将介绍另一种重要的公理化方法——邻域系统。通过点与点邻域之间的关系，可以等价地定义一个拓扑。我们将对比这两种定义方式的优劣，并展示如何在这两者之间进行转换。 拓扑空间的例子： 为了让抽象的概念具象化，本书将列举大量具体的拓扑空间例子。这包括实数线上的标准拓扑、欧几里得空间中的标准拓扑、离散拓扑、平凡拓扑、有限集合上的各种拓扑、以及排序集上的序拓扑等。通过对这些例子的深入分析，读者将能更直观地理解拓扑空间的结构和性质。 2. 拓扑空间的性质与分类： 可分化公理： 本章将重点介绍区分度公理（T0, T1, T2/ Hausdorff, T3/ Regular, T4/ Normal）以及它们之间的层级关系。这些公理描述了空间中点的“可区分性”，例如 Hausdorff 空间允许任意两个不同点找到不相交的邻域。我们将证明这些公理之间的蕴含关系，并给出满足不同公理但又不满足更强公理的例子。这些性质对于理解函数的连续性和空间的“光滑性”至关重要。 紧致性： 紧致性是拓扑学中一个非常重要的性质，它抓住了有限性在拓扑环境下的推广。本书将从开覆盖的定义出发，深入探讨紧致集的刻画，包括 Heine-Borel 定理在度量空间中的应用，以及紧致集在连续映射下的保持性。我们将讨论紧致性与序列紧致性、可数紧致性等概念的关系，并说明紧致性在分析学中的重要作用。 连通性： 连通性描述了空间的“整体性”或“不可分割性”。我们将定义连通空间和路径连通空间，并证明它们之间的关系。本书将展示许多连通空间的例子，如区间、实数线，以及一些不连通的空间，如离散拓扑下的集合。连通性也将在研究函数的连续性和不动点定理时发挥作用。 完备性（在度量空间背景下）： 虽然完备性更多是度量空间的概念，但它与拓扑结构紧密相关。本书将简要介绍柯西序列和完备度量空间的定义，并说明完备性在不动点定理（如 Banach 压缩映射定理）中的核心地位。 3. 拓扑构造与函数： 子空间拓扑： 给定一个拓扑空间和一个子集，我们如何在这个子集上定义一个自然的拓扑？本书将介绍子空间拓扑的构造方法，并讨论子空间拓扑继承的性质，例如如果父空间是 Hausdorff 的，那么子空间也是 Hausdorff 的。 乘积拓扑： 当我们考虑多个空间的乘积时，如何在其上定义一个“好的”拓扑？本书将引入乘积拓扑的构造，并讨论其性质。乘积拓扑在许多领域都有广泛应用，例如分析学中的函数空间和几何学中的流形。 连续映射： 连续性是连接不同拓扑空间的重要桥梁。本书将从开集的预像为开集的定义出发，介绍连续映射的性质，包括连续映射的复合性、紧致集的像仍为紧致集、连通集的像仍为连通集等。我们还将讨论同胚的概念，它定义了拓扑等价性，使得我们可以将具有相同拓扑结构的客体视为相同的。 紧致化： 对于某些拓扑空间（如不含最大元的偏序集），存在一个“紧致化”的操作，将其转化为一个紧致空间。本书将介绍 Alexandroff 紧致化等构造方法，并展示其理论意义。 学习目标： 通过学习本书，读者将能够： 理解并熟练运用拓扑空间的基本定义和构造。 掌握区分度公理、紧致性、连通性等核心拓扑性质的涵义和判断方法。 能够分析和构造不同的拓扑空间，并理解它们之间的关系。 深刻理解连续映射在拓扑学中的作用，以及同胚的意义。 为进一步学习微分拓扑、代数拓扑、微分几何以及分析学中的相关概念打下坚实的基础。 本书的语言力求清晰严谨，数学符号规范一致。每章末尾都附有练习题，旨在帮助读者巩固所学知识，并引导他们进行更深入的思考。我们相信，《拓扑学（卷一）：结构与连续性》将是所有对数学结构、空间性质和连续性概念感兴趣的读者的一份宝贵资源。

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我特别欣赏作者在选择例子时所展现出的智慧。书中穿插了大量经典的数学例子，这些例子往往能够生动地说明抽象的拓扑概念。比如，在讲解稠密集和可分空间时，作者会引用实数集和有理数集之间的关系，这让我能够从熟悉的数学对象中理解新的概念。我喜欢这种将抽象理论与具体实例相结合的方式，它让我的学习过程更加生动有趣，也让我的理解更加深入。

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《Topology - Volume I》的排版设计也值得称赞。清晰的字体、合理的章节划分，以及大量的图示，都极大地提升了阅读体验。我发现作者在讲解某些概念时，会配上精心绘制的图表，这些图表不仅仅是装饰，更是理解复杂概念的关键。例如，在讲解同胚映射时，书中就展示了如何将一个圆盘连续地变形为一个正方形，这个过程在图上就显得非常直观。我本人也是一个视觉型学习者，这些图示对我来说非常有帮助，它们将抽象的数学语言转化为更易于理解的视觉信息。

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对于像我这样的非专业读者来说，《Topology - Volume I》无疑是一本极具挑战性的读物，但同时也是一本充满回报的书。每一次的深入学习，都让我对数学的理解更上一层楼。我常常会花上几个小时去钻研书中的一个定理，去理解其背后蕴含的深刻思想。虽然过程有时会感到吃力，但当最终领悟时，那种成就感是难以言喻的。我喜欢这种“痛并快乐着”的学习体验，它让我更加珍惜知识的来之不易。

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我是一个喜欢在阅读过程中进行思考和提问的人。《Topology - Volume I》在这一点上也做得很好。作者在叙述时，有时会提出一些引导性的问题，或者暗示一些尚未解决的难题，这激发了我的探索欲。我常常会在阅读过程中停下来，自己思考这些问题，或者尝试着去证明作者给出的提示。即使有时无法立刻得到答案，这种思考的过程本身也让我受益匪浅，它锻炼了我的逻辑思维和解决问题的能力。

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这本书给我的另一个深刻印象是它在论证上的严密性。拓扑学的魅力不仅在于它的抽象性，更在于它背后严谨的逻辑推理。作者在每一个定理的证明过程中，都力求清晰、完整，并且思路清晰。我尤其记得有一次，我花了很长时间去理解一个关于紧致空间的定理，书中给出的证明层层递进，每一步都建立在前一步的基础上，最终才能得出结论。这个过程让我感到非常振奋，仿佛是在攀登一座知识的高峰，每解决一个难题，都能看到更广阔的风景。我喜欢这种挑战，也享受这种“豁然开朗”的感觉。

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这本书的深度和广度也令我印象深刻。虽然名为“Volume I”，但它所涵盖的内容却相当丰富。从度量空间到拓扑空间，从分离公理到可数公理，再到紧致性、连通性等等，几乎涵盖了点集拓扑学的核心内容。每一章都独立成篇，又相互关联，构成了一个完整的知识体系。我尤其喜欢书中在讲解完一个重要的概念后，会立刻给出相关的定理和推论，这能够帮助我巩固所学，并进一步理解这些概念的意义和应用。

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这本书的名字，Topology - Volume I，光是看这个名字就让我对它充满了期待。我一直对数学的抽象美学着迷，而拓扑学作为几何学的一个分支，研究的是空间在连续变形下不变的性质，这本身就充满了无穷的魅力。我之所以选择这本书，是因为我听说它在拓扑学的领域中拥有着举足轻重的地位，是许多数学专业学生和研究人员的入门必读。我个人对空间、形状以及它们之间关系的探讨有着浓厚的兴趣，尤其是那些在光滑变换下依然能够保持的“韧性”特质，比如连通性、孔洞的数量等等。我常常在思考，生活中那些看起来毫不相干的事物，比如一个甜甜圈和一个茶杯，为何在数学的视角下却拥有着相同的“拓扑结构”？这种对本质的洞察，对我来说，是一种智力上的极大满足。

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总而言之，《Topology - Volume I》是一本让我受益匪浅的书。它不仅为我打开了拓扑学的大门，更让我对数学的魅力有了更深的认识。这本书以其严谨的论证、清晰的讲解、丰富的例子和精美的排版，成为我书架上不可或缺的一员。我非常期待未来能够继续深入研究拓扑学的其他分支，而这本书无疑为我打下了坚实的基础。我一定会向我的朋友们推荐这本书，尤其是那些对数学、对空间、对抽象思维感兴趣的人。

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翻开《Topology - Volume I》，我最先感受到的是一种严谨与深邃。书中从最基础的概念讲起，比如集合论中的一些基本概念，点集拓扑的基础，这些都为后续更复杂的讨论奠定了坚实的基础。我个人非常欣赏作者循序渐进的叙述方式，它不会让你在开始时就感到不知所措，而是巧妙地引导你一步步进入拓扑学的奇妙世界。我特别喜欢书中对于“邻域”、“开集”、“闭集”等核心概念的阐释，作者用了很多生动的例子来解释这些抽象的概念，例如将空间想象成一张弹性的橡皮膜，我们可以拉伸、扭曲它，但不能撕裂或粘合。这种形象化的比喻，让原本枯燥的定义变得容易理解，也让我对拓扑学的直观感受有了更深的体会。

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我对书中讨论的“同胚”和“同态”概念尤为感兴趣。同胚是拓扑学中最核心的概念之一，它描述了两个空间之间一种“保留拓扑性质”的映射关系。换句话说，如果两个空间同胚，那么它们在拓扑上是“等价”的，所有的拓扑性质都相同。我对这种“不变性”的追求深感着迷，它让我在理解数学对象时，能够抓住其最本质的特征，而忽略那些表面的、可变的细节。例如，一个杯子和一个甜甜圈，它们在拓扑学上是同胚的，因为它们都只有一个孔洞。这种视角让我重新审视我们周围的世界，发现隐藏在日常事物中的数学规律。

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