Introduction to Finite Fields and their Applications pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:Rudolf Lidl

出品人:

页数:432

译者:

出版时间:1994-08-26

价格:USD 110.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780521460941

丛书系列:

图书标签:

• 密码学
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• 有限域
• 代数
• 编码理论
• 密码学
• 计算机科学
• 离散数学
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• 算法

《有限域及其应用导论》 本书旨在为读者提供一个关于有限域理论及其广泛应用的全面而深入的介绍。我们从有限域的基本定义和性质出发，逐步构建起一套严谨的数学框架，并在此基础上探讨其在信息科学、密码学、编码理论等多个前沿领域的实际应用。本书力求在理论深度与实践关联之间找到一个平衡点，既能让读者掌握扎实的数学基础，又能清晰地理解有限域在解决现实问题中的强大威力。 第一部分：有限域的理论基础 本部分将奠定读者理解有限域所需的数学根基。我们将从抽象代数中的基本概念入手，包括群、环和域，为有限域的引入做好铺垫。 第一章：代数预备知识 群论基础： 本章将回顾群的基本定义、子群、陪集、正规子群、商群、同态和同构等核心概念。我们将强调群在理解域的结构中所起的作用，例如域的乘法群。 环论基础： 读者将学习环的定义、理想、商环、整环、主理想整环（PID）和唯一因子分解整环（UFD）等概念。我们将重点关注多项式环，因为它们是构造有限域的关键工具。 域的初步认识： 介绍域的基本性质，包括域的定义、子域、域扩张以及特征等概念。我们将阐述域的抽象性及其在代数体系中的重要地位。 第二章：有限域的构造与性质 有限域的存在性： 本章的核心内容将是证明有限域的存在性。我们将详细阐述伽罗瓦域 $GF(p^n)$ 的构造过程，其中 $p$ 为素数，$n$ 为正整数。我们将证明对于任意给定的 $p$ 和 $n$，伽罗瓦域 $GF(p^n)$ 是唯一（同构意义下）存在的。 伽罗瓦域的结构： 我们将深入分析 $GF(p^n)$ 的加法群和乘法群的结构。读者将了解到 $GF(p^n)$ 的加法群是一个 $n$ 维的向量空间，而其乘法群是一个循环群。循环群的性质将在后续章节中发挥重要作用。 迹与范数： 引入迹 (trace) 和范数 (norm) 两个重要的映射，它们分别将 $GF(p^n)$ 中的元素映射到 $GF(p)$。我们将证明这些映射的线性性质以及它们在研究域扩张和根式构造中的应用。 多项式在有限域中的性质： 讨论在有限域上定义的多项式的性质，特别是不可约多项式的概念。我们将证明不可约多项式在构造有限域中的核心作用，以及如何通过寻找不可约多项式来实例化特定的伽罗瓦域。 第三章：有限域的扩张与伽罗瓦理论 域扩张： 本章将系统介绍域扩张的概念，包括代数扩张和超越扩张。我们将重点关注有限域的扩张，并介绍其子域的结构。 伽罗瓦扩张： 引入伽罗瓦群的概念，并深入探讨伽罗瓦扩张的性质。我们将展示有限域的扩张总是伽罗瓦扩张，并建立域扩张的塔与伽罗瓦群之间的深刻联系。 共轭类： 分析有限域中元素的共轭类，这对于理解元素的性质以及构造数学对象至关重要。 有限域的自同构群： 详细研究有限域的自同构群，并证明该自同构群就是由迹映射定义的伽罗瓦群。这一结果是理解有限域结构的关键。 第二部分：有限域在应用中的体现 在掌握了有限域的理论基础之后，本部分将聚焦于有限域在信息科学、通信、密码学和编码理论等领域的实际应用，展示理论的强大生命力。 第四章：有限域在编码理论中的应用 纠错码简介： 介绍纠错码的基本思想，即通过增加冗余信息来检测和纠正数据传输或存储过程中产生的错误。 线性分组码： 详细介绍线性分组码的构造和译码原理，包括生成矩阵和校验矩阵。 BCH码： 重点讲解BCH码，这是一种强大的多重错误纠正码。我们将展示如何利用有限域的代数性质来构造BCH码的生成多项式，并介绍其高效的译码算法，例如戈菲尔帕尔斯 (Gore-Paley) 算法。 里德-所罗门码： 介绍里德-所罗门 (Reed-Solomon, RS) 码，这是另一类非常重要的纠错码，广泛应用于CD、DVD、QR码等领域。我们将说明RS码与BCH码的联系，并重点介绍其在处理突发错误方面的优势，以及其生成多项式的构造方式。 其他编码： 简要介绍其他与有限域相关的编码，如循环码、交织码等，以拓展读者的视野。 第五章：有限域在密码学中的应用 公钥密码系统基础： 介绍公钥密码系统的基本原理，包括公钥和私钥的概念，以及加密、解密和数字签名的过程。 离散对数问题 (DLP)： 讲解离散对数问题，并阐述其在公钥密码系统中的困难性。我们将说明在有限域上定义的离散对数问题是许多现代密码系统的理论基础。 有限域上的离散对数难题： 深入讨论在 $GF(p^n)$ 上计算离散对数的难度，以及为什么这种难度被用于构建安全可靠的密码系统。 椭圆曲线密码学 (ECC)： 介绍椭圆曲线密码学的基本概念，并说明其如何在有限域上实现，以及为什么ECC能够以更短的密钥长度提供与传统公钥密码系统相当甚至更强的安全性。我们将讨论点加法运算在有限域上的实现。 其他密码学应用： 简要提及有限域在对称密码（如AES）、哈希函数等方面的应用。 第六章：其他应用领域 伪随机数生成器： 讨论如何利用有限域的线性递归序列来生成高质量的伪随机数，这些伪随机数在模拟、测试和加密中具有重要作用。 序列密码： 介绍基于有限域的序列密码，它们通过复杂的线性反馈移位寄存器 (LFSR) 来生成加密流。 置乱与混淆： 探讨有限域在数据置乱、排列和混淆等操作中的应用，这些操作在数据保护和信息隐藏中发挥着作用。 有限几何： 简要介绍有限几何的概念，并说明有限域如何为有限几何的构造提供基础。 读者对象： 本书适合具有一定高等代数和离散数学基础的本科生、研究生以及从事相关研究和开发的工程技术人员。对于对理论数学感兴趣的读者，本书也提供了深入探索有限域理论的绝佳机会。 学习方法建议： 本书包含了大量的定义、定理和证明。为了更好地掌握有限域的知识，我们建议读者在阅读过程中： 动手实践： 积极动手计算，例如构造小的伽罗瓦域，计算域中的元素运算，分解多项式等。 理解证明： 仔细理解每个定理的证明过程，并尝试用自己的语言复述。 解决习题： 书后提供的习题旨在帮助读者巩固所学知识，并拓展应用思路。 结合应用： 在学习理论的同时，思考其在实际应用中的具体体现，这有助于加深理解和提高学习兴趣。 本书的目标是引导读者穿越有限域的抽象世界，感受其内在的严谨与优雅，并最终领略其在现代科技领域中不可或缺的重要作用。我们希望通过本书的阅读，读者能够建立起对有限域理论的深刻认识，并为进一步的深入研究和创新应用奠定坚实的基础。

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我对这本书的“应用”部分的期望值是最大的，因为有限域的魅力正是在于它能解决现实中的难题。然而，这本书在“应用”这一主题上的处理显得极其表面化和蜻蜓点水。它罗列了诸如“有限域在密码学中的重要性”这样的标题，但随即就跳到了具体的构造细节，几乎没有深入探讨任何一个实际应用案例的完整流程。例如，当我们谈到椭圆曲线密码（ECC）时，我们期待看到关于域选择如何影响曲线参数生成、以及如何通过特定的域运算来优化点乘法的具体例子。这本书里，这些关键的连接点完全缺失了。它仿佛只是告诉我们：“有限域很重要，所以你需要学习它”，然后就结束了，没有展示如何用这些工具去“构建”或“破解”任何东西。这种“知其然，而不知其所以然”的叙述方式，极大地削弱了读者学习的动力。如果一本应用导论的书连最令人兴奋的应用场景都未能充分展开，那么它剩下的理论部分就显得更加枯燥乏味了。我期待的是看到一个完整的应用故事链，而不是一系列孤立的理论模块。

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这本书的作者似乎对如何引导非专业读者建立起数学直觉方面存在着严重的误判。在介绍任何新的构造或证明之前，通常缺少一个“为什么我们需要这个？”或者“这个概念解决了什么老问题？”的铺垫。结果是，读者被动地接受了一系列规则，而不是主动地去理解这些规则的必然性。例如，在引入伽罗瓦群（Galois Group）的概念时，作者直接抛出了其作为自同构群的定义，然后迅速转向计算其阶数。对于一个没有群论背景的读者来说，这几乎是不可逾越的鸿沟。我感觉这本书的写作视角是假定读者已经完成了不止一门抽象代数课程的学习，并且对“域”和“同态”的概念了如指掌。如果作者想让这本书成为一个真正的“入门”读物，他就必须花费更多篇幅，用更具启发性的比喻或视觉辅助工具来解释这些基础概念。目前的版本，在我看来，更像是为那些需要快速查找特定定理的资深研究人员准备的速查表，而不是为课堂教学设计的教材。

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坦率地说，这本书的阅读体验让我感到一种强烈的疏离感。它在语言上过于正式和古板，缺乏现代学术著作中常见的那种鼓励探索和批判性思维的语气。通篇读下来，我没有感受到作者试图与我这位“学生”进行对话。例如，在证明某些域扩张是可分的（Separable）时，作者采用了教科书中最繁琐的、基于线性代数基的证明路径，而完全没有提及更现代、更简洁的基于导数的判定方法。这种选择不仅让证明过程显得冗长不堪，更重要的是，它错失了向读者展示数学发展是不断追求效率和优雅性的机会。我更希望看到的是对不同证明方法的比较，或者至少是作者明确指出：“虽然这个证明很基础，但我们稍后会看到一个更强大的工具。”这本书的遗憾之处在于，它提供了一个关于有限域的知识点集合，但没有提供一个清晰的“地图”或“导航系统”，让读者明白如何在这片知识的海洋中有效航行，并最终抵达应用的目的地。它沉闷、晦涩，像一本被尘封的旧版参考书，而非一本面向未来的学习工具。

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这本书初看标题，我满心期待能找到一本深入浅出介绍高等代数中“有限域”这一核心概念的著作。毕竟，在密码学、编码理论这些应用领域，没有扎实的有限域基础是寸步难行的。然而，当我翻开第一章，那种预想中的清晰、结构化的叙述方式并未出现。作者似乎更倾向于采用一种非常“数学家”的风格，直接切入大量的公理和定义，而对这些抽象概念背后的直观几何意义或实际计算复杂度考虑不足。举个例子，定义域结构时，作者没有花足够的时间去解释为什么我们选择某个特定的素数作为域的特征，也没有给出任何日常可见的例子，比如如何用有限域来处理数字图像的色彩空间或者如何在快速傅里叶变换（FFT）中体现其价值。阅读体验更像是直接啃食一本研究生的参考手册，而不是一本为初学者准备的“导论”。我感觉作者的重点完全放在了理论的完备性上，却牺牲了读者的学习曲线。对于一个希望从零开始理解伽罗瓦理论如何应用于实际工程的读者来说，这本书的门槛实在是太高了，它要求读者本身已经对抽象代数有相当的熟悉度，这与“Introduction”的定位是相悖的。

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这本书的排版和符号系统简直是一场视觉上的灾难，让我怀疑作者是否真的亲自校对或尝试用常见的排版软件（如LaTeX）进行过专业的编辑。许多关键的定理和引理被淹没在密集的文本块中，缺乏必要的留白和重点强调。更令人不解的是，不同章节之间对同一概念的表述有时会出现细微的、但足以造成困惑的差异。例如，在讨论域扩张（Field Extension）时，某一处使用了括号表示法，而另一处却突然换成了花体字母，这对于需要精确记忆符号的读者来说，无疑是雪上加霜。此外，书中习题的设计也显得非常偏颇。一部分习题过于简单，几乎是直接对前文定义的机械重复；而另一部分则直接跳跃到需要结合数论或拓扑学知识才能解决的深层问题，缺乏中间过渡性的、用于巩固核心概念的练习。我花了不少时间去追溯一个特定的运算规则，发现它要么需要从好几个不相关的章节中碎片化地提取信息，要么干脆只在脚注中一笔带过。这本书更像是一份尚未定稿的讲义汇编，而非一本经过深思熟虑的教材。

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