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出版者:McGraw-Hill

作者:劉炯朗(Chung Laung Liu)

出品人:

页数:393 pages

译者:

出版时间:1968

价格:0

装帧:Paperback

isbn号码:9780071008051

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组合数学导论：探索离散世界的结构与计数 组合数学，作为一门研究离散结构和计数方法的数学分支，其应用范围之广、理论深度之深，令人惊叹。它不仅是数学领域内的一个重要组成部分，更是计算机科学、工程学、统计学、物理学乃至经济学等众多学科的基石。本书旨在为读者提供一个全面而深入的组合数学入门体验，从最基础的概念出发，逐步引导读者领略组合世界的奇妙之处。 本书的开篇将聚焦于集合论的基础。我们将回顾集合、子集、并集、交集、差集等基本概念，并引入集合的基数，为后续的计数问题打下坚实基础。理解集合的运算以及它们之间的关系，是掌握组合计数技巧的第一步。 接着，我们将深入探讨基本计数原理。这部分将涵盖“加法原理”与“乘法原理”，它们是解决许多组合问题的基本工具。通过生动形象的例子，我们将演示如何运用这两个原理来解决简单的计数场景。例如，计算在不同选项中进行选择的可能性，或者计算完成一系列独立任务的总方式数。 随后，我们将进入排列与组合的核心概念。我们将区分排列（Permutation）和组合（Combination）的本质区别，即顺序是否重要。通过详细的公式推导和应用实例，读者将学会如何计算不同元素在特定条件下的排列方式，以及如何从一个集合中选取特定数量元素的组合方式。我们将探讨无重复排列、有重复排列、无重复组合、有重复组合等各种情况，并展示它们在实际问题中的应用，例如从一群人中选出代表、安排任务顺序等。 本书还将重点介绍二项式定理及其相关的恒等式。二项式定理是组合数学中一个极其重要的工具，它揭示了 $(x+y)^n$ 展开式的系数与组合数之间的深刻联系。我们将详细推导二项式定理，并介绍帕斯卡三角形（Pascal's Triangle）的性质，以及一系列重要的二项式恒等式，如 $sum_{k=0}^n inom{n}{k} = 2^n$ 等。这些恒等式不仅在组合计数中至关重要，在其他数学领域也扮演着重要角色。 为了进一步拓展读者的视野，我们将引入生成函数（Generating Functions）的概念。生成函数是一种强大的代数工具，可以将离散序列转化为连续的多项式或幂级数，从而使计数问题转化为对函数进行操作的问题。本书将介绍普通生成函数和指数生成函数，并演示如何利用它们来解决复杂的计数问题，例如整数分拆、递推关系的求解等。 本书还会触及递推关系（Recurrence Relations）。我们将学习如何将某些计数问题转化为递推关系的形式，并探讨求解递推关系的不同方法，包括特征方程法、母函数法等。经典的斐波那契数列（Fibonacci Sequence）将作为重要的案例进行分析，展示递推关系在描述增长模式和计算中的应用。 此外，本书还将探讨图论（Graph Theory）基础。图论是组合数学的一个重要分支，研究顶点和边构成的结构。我们将介绍图的基本定义、类型（有向图、无向图、带权图等），以及常见的图概念，如路径、环、连通性等。我们将简要介绍一些基础的图遍历算法，并探讨图在网络分析、关系建模等方面的应用。 在本书的后续部分，我们将涉及鸽巢原理（Pigeonhole Principle）。这一看似简单的原理，却能解决许多看似棘手的计数问题。我们将通过各种示例，展示如何巧妙地运用鸽巢原理来证明某些事物的存在性。 最后，本书还将包含一些高级主题的初步介绍，例如容斥原理（Inclusion-Exclusion Principle），这是一种用于计算包含多个重叠集合的并集或交集元素数量的强大方法。我们将展示容斥原理如何应用于解决包含“至少”或“至多”等条件的计数问题。 本书的写作风格力求严谨而易懂，每个概念的引入都伴随着清晰的定义、详实的推导和丰富的示例。我们希望通过本书，读者能够掌握组合数学的基本思想和方法，培养严谨的数学思维，并能够将这些知识灵活地应用于解决各种实际问题。无论您是初次接触组合数学的学生，还是希望巩固和深化相关知识的从业者，本书都将是您探索离散世界结构与计数奥秘的理想起点。

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《Introduction to Combinatorial Mathematics》这本书，让我对组合数学产生了浓厚的兴趣，并且从根本上改变了我对数学学习的看法。作者在内容安排上，非常注重理论与实践的结合，他总能在介绍完一个理论概念后，紧接着给出一个相关的实际应用案例，这极大地增强了我学习的动力。我尤其喜欢作者在讲解“生成函数”的奇妙之处时，那种将看似复杂的计数问题，通过构造一个简单的函数就能迎刃而解的方式。书中关于“Burnside引理”和“Pólya计数的原理”的介绍，虽然是比较深入的内容，但作者通过清晰的图示和详尽的推导，让这些概念变得易于理解，并且让我体会到了数学的精妙之处。我记得作者在讲解“图的着色问题”时，不仅介绍了相关的基本概念，还探讨了威尔逊定理在图的着色中的应用，这让我看到了不同数学分支之间的联系。这本书，让我觉得我不仅在学习知识，更是在学习一种思维方式，一种能够将抽象概念转化为具体解决方案的智慧。

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在阅读《Introduction to Combinatorial Mathematics》的过程中，我最大的感受就是作者在逻辑构建上的严谨与巧妙。每一章节的衔接都如同精密的齿轮咬合，前一章的知识点自然而然地引出下一章的核心概念。我尤其被作者在处理“图论”部分时展现出的清晰思路所折服。从图的基本定义，到各种特殊图的性质，再到连通性、染色问题等等，作者循序渐进地铺陈，让原本可能显得庞杂的知识体系变得井然有序。书中关于“欧拉路径”和“哈密顿路径”的讲解，通过生动的实例，比如如何规划一次不重复地经过所有街道的旅行，让我对这些抽象的概念有了直观的理解。作者还巧妙地融入了许多经典问题，例如“柯尼斯堡七桥问题”，并详细解析了如何运用图论的工具来解决它。这不仅仅是知识的传授，更是一种解决问题的方法论的引导。我还注意到作者在讲解“组合恒等式”时，运用了多种不同的证明方法，有的侧重于组合意义的解释，有的则侧重于代数推导，这种多角度的呈现方式，极大地加深了我对这些恒等式的理解，并让我体会到数学证明的魅力。阅读这本书，就像是在和一位技艺精湛的匠人交流，他用最精巧的工具，雕琢出最完美的知识体系。

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在接触《Introduction to Combinatorial Mathematics》之前，我对组合数学的理解仅限于一些零散的公式和定理，缺乏系统性的认识。而这本书，就像一盏明灯，为我指明了方向。作者在内容的组织上，非常注重基础概念的巩固，每一个新的概念都建立在之前学过的知识之上，这使得我在学习过程中感到游刃有余，没有出现知识断层的情况。我尤其喜欢作者在讲解“容斥原理”时，采用的“排除-包含”的思路，通过一系列由浅入深的例子，让我清晰地理解了这个原理的强大之处，以及它在解决复杂计数问题时的应用。书中关于“图的匹配”那一章节，更是让我大开眼界，作者从一个简单的“分配问题”出发，逐步引出二分图的最大匹配，以及相关的算法，这让我看到了组合数学在解决实际资源分配问题上的巨大潜力。我记得作者在提及“霍尔定理”时，不仅仅给出了定理的表述，还用通俗的语言解释了其背后的思想，让我能够更深刻地理解其含义。这本书，让我从一个对组合数学的“门外汉”，逐渐成长为一个对其有了初步掌握的“探索者”。

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这本书带给我的，是一种对数学“严谨”与“趣味”并存的全新体验。作者在讲解过程中，始终保持着一种高度的逻辑性和条理性，但又不失语言的生动性和吸引力。我特别欣赏他在讲解“组合恒等式”时，那种从不同的角度去证明同一个恒等式的方法，例如利用组合意义、代数推导，甚至是母函数的方法。这让我深刻体会到数学证明的多样性和其内在的统一性。书中关于“整数分拆”的章节，更是让我惊叹于数学的精巧，作者通过引入“Young图”和“Ferrers图”的概念，将抽象的整数分拆问题可视化，并揭示了其丰富的组合性质。我记得作者在提及“ Ramsey 定理”时，用了一个非常形象的比喻，关于朋友和陌生人的聚会，让我能够直观地理解这个定理的含义。这本书，让我觉得我不仅在学习知识，更是在培养一种严谨的逻辑思维能力，一种能够洞察事物本质的智慧。

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这本书的封面设计简洁大方，一种深邃的蓝色基调，点缀着精致的数学符号，光是看着就让人产生一种想要一探究竟的冲动。翻开书页，一股淡淡的纸张香气扑鼻而来，让我瞬间沉浸在知识的海洋里。作者的笔触细腻而富有条理，仿佛一位经验丰富的向导，带领我们在抽象的数学世界中穿梭。从最初对组合数学的模糊概念，到逐渐理解各种计数原理、排列组合的精妙之处，每一步都走得踏实而清晰。书中穿插的例题，更是点睛之笔，它们不仅仅是枯燥的计算，更是一种思维的启迪，教会我如何将抽象的理论应用于解决实际问题。例如，书中关于“鸽巢原理”的讲解，搭配了趣味盎然的生活化例子，让我不再觉得它仅仅是一个理论概念，而是具备了强大的解决问题的能力。我特别喜欢作者在讲解“生成函数”那一章节的风格，他没有直接抛出复杂的公式，而是通过循序渐进的例子，从简单的多项式开始，慢慢引导读者理解生成函数的强大之处，以及它在解决复杂计数问题上的优雅。读完这一章，我仿佛打开了一扇新的大门，看到了数学更广阔的应用前景。这本书不仅仅是一本教材，更像是一次思维的旅行，我期待着在这场旅行中收获更多的智慧和启迪。

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《Introduction to Combinatorial Mathematics》这本书，让我对组合数学这个领域产生了全新的认识，并且为我打开了通往更广阔数学世界的大门。作者在内容的组织上，非常注重概念的连贯性和递进性，每一个新的知识点都建立在前一个知识点的基础上，使得我在学习过程中感到非常顺畅。我特别喜欢作者在讲解“图论”的各种基本概念和定理时，那种从直观的图形表示出发，逐步引向抽象的数学描述的过程。书中关于“匹配理论”的详细阐述，更是让我看到了组合数学在解决实际资源分配问题上的强大应用，例如如何最优地安排人员完成任务。我记得作者在提及“鸽巢原理”的许多经典应用时，都给出了非常巧妙的解答，让我感叹于这个简单原理的强大威力。这本书，让我觉得我不仅在学习知识，更是在培养一种解决问题的能力，一种能够将复杂问题分解并找到最优解决方案的智慧。

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这本书带给我的，绝不仅仅是理论知识的积累，更是一种对数学“美感”的全新认知。作者在内容编排上，似乎有着一种天然的艺术感，他总能在恰当的时机引入一些富有启发性的思考题，或者是一些历史上的有趣故事，让原本可能略显枯燥的学习过程充满了乐趣。我特别欣赏他在讲解“二项式定理”时，那种从直观的组合意义出发，逐步推导出公式的过程，让我不再死记硬背，而是真正理解了公式背后蕴含的逻辑。书中关于“斯特林数”和“贝尔数”的介绍，虽然涉及的概念更加深入，但作者依然用一种非常平易近人的语言，将它们与集合的划分等直观概念联系起来，让我能够从中体会到数学的优雅与深刻。我记得在读到关于“生成树”的章节时，作者通过一个简单的例子，讲解了如何找到一个图的所有生成树，以及生成树在网络设计中的应用，这让我深刻体会到组合数学与实际工程的紧密联系。作者对问题的剖析，总是那么鞭辟入里，让我能够从不同的层面去理解同一个概念。这本书，让我觉得学习数学，不仅仅是掌握方法，更是一种对世界运行规律的探索和感悟。

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《Introduction to Combinatorial Mathematics》这本书的优点，在于它能够非常有效地帮助读者建立起对组合数学的系统性认知。作者在内容编排上的精巧之处，体现在他总能在一个相对抽象的数学概念之后，立刻提供一个具体的、易于理解的例子来加以佐证。我特别喜欢作者在讲解“集合论”和“关系”这些基础概念时，那种清晰明了的阐释方式，它为后续更复杂的组合计数打下了坚实的基础。书中关于“二项式系数”的性质和恒等式的介绍，更是详尽而深入，作者不仅列出了各种恒等式，还对它们的组合意义进行了详细的解释，让我能够真正理解这些公式的来源和用途。我记得在阅读关于“图的遍历”那一章节时，作者通过解释“深度优先搜索”和“广度优先搜索”算法，让我看到了组合数学在计算机科学中的实际应用。这本书，让我觉得我在学习过程中，每一步都走得很扎实，知识的积累也是循序渐进的，没有那种“跳跃感”。

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这本书给我最大的惊喜，在于它所展现出的数学的“生命力”。作者并非简单地罗列公式和定理，而是将它们置于一个动态的、不断发展的框架中来呈现。我印象最深刻的是，在讲解“组合枚举”时，作者不仅仅介绍了各种常见的组合对象，如排列、组合、多重集等，还探讨了如何通过不同的方法来枚举这些对象，并对结果进行验证。他甚至还触及了“ Pólya 计数的原理”，虽然只是初步的介绍，但已经让我看到了组合数学解决对称性问题的强大能力。我记得在阅读关于“递推关系”的章节时，作者从斐波那契数列的经典例子出发，逐步讲解了如何建立和求解线性递推关系，并将它与各种组合问题联系起来，例如解决“走楼梯”的问题。作者的讲解方式，总能让人感受到数学的智慧和创造力，仿佛在和一位充满激情的老师对话，他用生动的语言，点燃了我对数学的探索热情。这本书，让我觉得组合数学不再是枯燥的计算，而是充满了趣味和发现的智力游戏。

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这本书最让我赞叹的地方，在于它能够将看似高深的组合数学理论，以一种非常具有亲和力的方式呈现给读者。作者的语言风格，既有严谨的学术性，又不失通俗易懂的趣味性。我特别欣赏他在讲解“组合设计”那一章节时，那种从实际的编码、调度问题出发，逐步引出设计中的各种概念，如区组、点、重数等。这让我对组合数学的应用有了更深的理解。书中关于“拉格朗日乘数法”在组合优化问题中的应用，虽然只是一个初步的提及，但已经让我窥见了数学工具在解决现实问题中的强大力量。我记得作者在讲解“鸽巢原理”的推广形式时，运用了一个生动的例子，关于如何分发糖果给小朋友，让我更容易理解这个原理的精妙之处。这本书，让我觉得学习数学，不仅仅是在积累知识，更是在培养一种解决问题的能力和一种发现规律的敏锐性。

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