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出版者:吉林教育

作者:卢瑶//王丽娟

出品人:

页数:254

译者:

出版时间:2008-6

价格:12.90元

装帧:

isbn号码:9787538354416

丛书系列:

图书标签:

• 奥数
• 小学奥数
• 数学思维
• 解题技巧
• 竞赛辅导
• 思维训练
• 拔尖训练
• 趣味数学
• 学习辅导
• 启蒙教材

《数字的魔力：初探现代数学思维》 内容简介 本书旨在为初学者和对数学有浓厚兴趣的读者，提供一个全面而深入的现代数学思维导论。它并非传统意义上的教科书，而是一本引人入胜的“思维训练手册”，旨在揭示数字背后的逻辑结构、变换规律以及它们如何在解决复杂问题时发挥核心作用。全书结构精巧，由浅入深，层层递进，力求在不依赖繁复高等数学工具的前提下，激发读者的抽象思维和逻辑推理能力。 第一部分：基础构建——从算术到抽象 本部分聚焦于巩固和拓展读者对基础数理概念的理解。我们首先回顾了整数运算的本质，但视角不再局限于小学或初中的计算技巧，而是深入探究了这些运算背后的封闭性、结合律与分配律等代数基础。 1. 数系的边界与拓展： 详细探讨了有理数、无理数乃至复数的引入过程。我们将复数视为一种必要的数学工具，而非仅仅是虚构的概念。通过几何化的解释，展示了复平面在旋转、缩放等线性变换中的强大应用，为后续理解向量和矩阵打下直观基础。 2. 模运算与数论的启蒙： 引入“同余”这一核心概念，将其置于比传统数论更基础的位置。我们探讨了模运算在周期性现象分析中的作用，例如日期的推算、密码学的初步构架。特别地，书中利用大数分解的例子，阐释了素数（质数）在现代信息安全中的不可替代性，强调了“不可分解性”的数学价值。 3. 集合论的语言： 从朴素集合论出发，定义了元素、子集、交集、并集等基本操作。这不是为了陷入集合论的哲学争论，而是为了提供一种精确描述数学对象之间关系的通用“语言”。通过维恩图的动态演示，清晰展示了集合运算如何映射到逻辑判断上。 第二部分：结构探索——变换、关系与系统 本部分是本书的核心，关注于数学如何描述“变化”和“联系”。我们将从静态的数扩展到动态的关系网络。 4. 线性空间的几何直觉： 在不使用向量空间严格定义的情况下，本书通过二维和三维空间中的箭头（向量）来建立直觉。重点阐释了“线性组合”的概念，即如何用一组基向量去构建空间中的所有点。这部分内容是理解物理学、计算机图形学的基础。 5. 矩阵：操作的压缩： 矩阵被介绍为“操作的打包器”。书中通过一系列具体的几何变换（如平移、旋转、反射）的例子，展示了如何用一个简单的二维矩阵来表示一个复杂的几何动作。我们详细解析了矩阵乘法的意义——操作的复合，并探讨了矩阵的行列式（Determinant）作为衡量面积或体积拉伸程度的几何量度。 6. 图论基础：连接的艺术： 引入图论作为分析离散系统的工具。从最简单的网络结构（如桥梁、道路）出发，探讨了连通性、最短路径问题（如Dijkstra算法的直观思路），以及欧拉路径和哈密顿回路的存在性问题。这部分内容强调了在有限资源下寻找最优连接的数学智慧。 第三部分：模式识别——函数、极限与连续性 本部分将读者带入微积分思想的门槛，但重点放在“变化率”和“无限逼近”的理念上，而非复杂的求导和积分技巧。 7. 函数的动态描述： 函数被定义为一种严格的输入-输出规则。书中详细比较了多项式函数、指数函数和对数函数的增长特性。通过描绘它们增长速度的差异（例如，指数增长如何超越任何多项式增长），建立对“阶”的直观认识。 8. 极限的哲学：无限逼近： 极限概念被引入，旨在解决“无限小”和“无限大”带来的悖论。我们通过Zeno悖论的现代解读，说明极限是如何使得无限求和变得有意义的。这里不涉及 $epsilon-delta$ 语言，而是强调“趋向”而非“达到”的思想。 9. 连续性的直觉： 连续性被描述为函数图像上“没有跳跃”的性质。我们探讨了中间值定理的实际意义——如果一个量在两点之间是连续变化的，那么它必然取遍这两点之间的所有中间值。这在优化和估算问题中至关重要。 第四部分：逻辑与证明——数学的严谨性 本部分聚焦于数学思维的最高形式——证明。它教会读者如何构建一个无懈可击的论证链条。 10. 证明的类型与策略： 详细区分了直接证明、反证法、构造性证明和反向推理。通过经典的几何定理（如毕达哥拉斯定理的简单证明）和数论中的基础结论，演示了不同证明策略的适用场景。 11. 数学归纳法：无穷的阶梯： 将数学归纳法视为一种强大的、处理自然数序列的工具。本书将归纳法解释为一种“锚定点+传递机制”的逻辑结构，而非仅仅是一种代数操作。 结语：数学的未来视角 全书最后总结了现代数学学科之间的交叉性，展示了从数论到拓扑学、从概率论到计算理论是如何相互依存的。本书鼓励读者将所学到的抽象思维框架应用到生活和工作中的任何需要严谨分析的场景中，将数字视为理解世界的强大透镜。

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对于我这样自学数学的人来说，寻找一本既有深度又有系统性的教材非常困难。这本书恰好填补了我的需求。它的结构安排非常科学，从基础的代数技巧到高阶的几何变换，每部分的衔接都非常自然流畅。我特别欣赏作者在处理“函数方程”问题时的那种严谨和优雅。他没有直接给出复杂的解法，而是先从特殊情况入手，逐步推广到一般情况，这种循序渐进的教学方法让人更容易接受。书中的许多例题都来自于经典的数学竞赛，但作者的解题思路却提供了一种全新的视角，往往比标准答案更加直观和简洁。这本书的语言风格有一种老派数学家的风范，严谨而不失温度，读起来让人感到心安。它帮助我建立了一个稳固的数学知识体系框架，而不是零散的知识点堆砌。

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这本书简直是数学爱好者的福音，特别是对于那些对初等数论和组合数学有着浓厚兴趣的读者来说，简直是打开了一扇新世界的大门。作者的讲解方式非常深入，他并没有仅仅停留在公式的罗列上，而是花了大量篇幅去剖析每一个定理背后的逻辑推导和几何直观。举个例子，在讲解容斥原理时，他用了一个非常生动的例子来阐述“去重”的过程，这让我这个之前一直觉得容斥原理有点抽象的人豁然开朗。书中的例题设计也非常巧妙，难度层层递进，从基础概念的巩固到复杂问题的求解，每一步都经过了精心的设计。我特别喜欢其中关于“鸽巢原理”的应用部分，书中展示了如何将这个看似简单的原理应用到看似毫不相关的领域，比如图论中的路径问题，这种跨领域的思维拓展对于提升解决问题的能力非常有帮助。这本书的排版也十分清晰，公式和文字的布局错落有致，阅读起来毫不费力。

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这本书的价值远远超出了我最初的预期。我原本以为这只是一本普通的奥数辅导材料，但读完之后，我发现它更像是一本数学思维的“武功秘籍”。它强调的不是死记硬背公式，而是如何运用数学工具去解决那些看似无解的难题。书中对“优化问题”的讲解尤其精彩，作者引入了“极值原理”和“势能分析法”，这些方法在现实世界的工程优化中也同样适用，这让我对数学的实用性有了更深的认识。我印象最深的是其中关于“不动点定理”的讨论，作者用非常简洁的语言阐述了其在迭代过程中的重要性。这本书的深度足以让专业人士感到满意，同时其清晰的讲解又不会让初学者望而却步。它真正做到了连接理论与实践，让数学不再是冷冰冰的符号。

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我必须称赞这本书在“问题分析与建模”方面的卓越表现。在许多章节中，作者都花了大量篇幅来教导读者如何将一个现实中的复杂问题抽象成数学模型，这是很多教材往往忽略的一环。例如，在处理“最短路径问题”时，作者详细分析了如何选择合适的图论模型，并解释了为什么某些启发式算法比穷举法更有效率。书中的习题设计极具挑战性，很多题目需要综合运用多个章节的知识才能解决，这极大地锻炼了我的综合分析能力。我感觉读完这本书后，我的思维不再局限于线性的逻辑推理，而是开始尝试从多维度、多角度去审视问题。它的内容对于培养学生的批判性思维和创新能力有着不可替代的作用，是一本真正的“思想启迪之作”，远非市面上那些只注重应试技巧的书籍可比。

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拿到这本书的时候，我其实是有点犹豫的，因为我数学基础不算特别扎实，担心里面的内容会太高深晦涩。然而，读了前几章后，我的顾虑完全打消了。作者的叙述风格非常平易近人，他仿佛在和一个老朋友聊天一样，一步步引导你进入复杂的数学世界。特别是对于一些比较难理解的概念，比如“模运算”和“同余理论”，作者都配有非常详尽的文字解释和直观的图示，让人很容易把握住核心思想。我感觉这本书不仅仅是在教我如何解题，更是在培养我一种数学思维，一种用逻辑和结构去审视问题的能力。我用了这本书来准备一次数学竞赛，其中的“构造法”和“反证法”的章节对我帮助极大，它教会了我如何跳出常规思维去构建解决方案。这本书的深度和广度都非常令人满意，对于想要系统提升自己数学能力的人来说，绝对值得入手。

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