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出版者:: Oxford University Press, USA; 2 edition (May 13, 1976)

作者:Edward C. Titchmarsh

出品人:

页数:464

译者:

出版时间:1976-5

价格:$ 135.60

装帧:

isbn号码:9780198533498

丛书系列:Oxford Science Publications

图书标签:

• 数学
• 实分析7
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• 积分变换

《函数论》 本书深入探讨了复变函数与实变函数的核心理论，为读者构建起一座坚实的数学桥梁，连接离散与连续、静态与动态的数学世界。 第一部分：复变函数论 我们将从复数的概念出发，逐步揭示复平面上的几何意义，理解复数运算的直观表达。随后，进入复变函数的定义与基本性质的探索，包括函数的解析性、柯西-黎曼方程及其重要性。我们将详尽介绍积分在复变函数中的应用，特别是柯西积分定理和柯西积分公式，它们是理解复变函数性质的基石。 泰勒级数和洛朗级数的展开将是本部分的重要组成部分。我们将学习如何将复杂函数表示为幂级数，从而分析函数的局部行为，并理解奇点的分类（可去奇点、极点、本性奇点）及其对函数性质的影响。留数定理的引入将极大地简化复变函数积分的计算，并为其在求解各种数学问题中的应用奠定基础。 函数的保形映射是复变函数论中一个迷人的分支。我们将探讨共形映射的性质，理解它在几何变换中的作用，并介绍一些重要的保形映射，如莫比乌斯变换。这些工具在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。 第二部分：实变函数论 本部分将聚焦于实数域上的函数理论，从测度的概念开始，为构建更完善的积分理论奠定基础。我们将详细介绍勒贝格测度，理解它在几何和测度理论中的核心地位，并探讨可测集合的性质。 Lebesgue积分是本部分的核心内容。我们将阐述Lebesgue积分与Riemann积分的区别与联系，理解Lebesgue积分的优越性，尤其是在处理更广泛的函数类和更一般的集合上的积分时。我们将深入研究积分的收敛性定理，如单调收敛定理、Fatou引理和控制收敛定理，这些定理对于分析积分的极限行为至关重要。 函数序列和函数项级数的收敛性是实变函数论中的另一个重要课题。我们将探讨逐点收敛、一致收敛等不同类型的收敛，并分析它们之间的关系。幂级数、傅里叶级数等特殊函数项级数将在本部分得到详细阐述，它们在逼近和表示函数方面发挥着关键作用。 第三部分：理论应用与联系 本书的最后部分将致力于将前两部分的理论知识应用于解决实际问题。我们将展示复变函数在求解常微分方程和偏微分方程中的强大能力，例如通过留数定理计算积分。在实变函数方面，我们将探讨其在概率论、随机过程、调和分析等数学分支中的基础性作用，并介绍其在信号处理、图像处理等工程领域中的应用。 本书的目标是培养读者严谨的数学思维，提升分析和解决问题的能力。通过对这些核心概念的深入学习，读者将能够更好地理解更高级的数学理论，并将其应用于科学研究和工程实践的各个领域。本书适合数学、物理、工程等相关专业的本科生、研究生以及对函数论有浓厚兴趣的读者。

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坦白说，我发现《The Theory of Functions》的风格更偏向于十九世纪末期数学家的严谨作风，它强调“证明的完备性”高于“直觉的可得性”。这本书的排版和语言选择，也透露出一种古典的、不苟言笑的气质。举例来说，在引入狄利克雷条件讨论傅里叶级数收敛性时，作者几乎没有使用任何现代泛函分析的工具，而是完全依赖于传统的实分析方法，这使得证明过程显得尤为冗长和技术化。我花了大量时间去消化那些关于最佳一致逼近的论述，它们是如此的精妙，却也如此的“不友好”。这本书的优点在于，它提供了一种“自下而上”的构建方式，让你清楚地知道每一个“函数空间”是如何从最基本的点集拓扑中生长出来的。但是，这种详尽的构建过程也意味着阅读速度会非常缓慢。我常常需要停下来，在草稿纸上重绘图示，甚至尝试从反方向去质疑作者的每一步推理，才能真正内化这些知识。它更适合作为一本参考书，在你已经大致了解了函数论的基本框架后，用来查阅那些最正统、最无可指摘的证明。

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这本《The Theory of Functions》无疑是一部数学经典，但对于初次接触函数理论的读者来说，它更像是一座需要攀登的雄伟山峰。我的阅读体验，与其说是轻松愉快的学习过程，不如说是一场思维的马拉松。书中对复变函数和实变函数的基础概念进行了极其严谨的构建，每一个定义、每一个定理都像是用最精密的尺子量出来的。我尤其欣赏作者在引入“一致连续性”和“黎曼积分”时所展现出的细致入微，他没有急于展示最终的华丽成果，而是耐心地铺陈了支撑这些理论的基石。然而，也正因为这种绝对的严谨性，使得初学者在面对密集的符号推导和抽象的集合论语言时，会感到有些吃力。比如，在讨论勒贝格测度与积分的过渡章节，如果不是反复查阅前几章关于拓扑空间的预备知识，我几乎无法跟上作者的思路。这本书的价值在于它的深度和完整性，它不是一本“速成指南”，而是要求读者沉下心来，与作者一同在纯粹的数学世界中进行一次漫长而深刻的对话。对于那些渴望真正掌握函数理论精髓，并准备好接受挑战的严肃学习者而言，这本书是不可替代的宝藏，但对于寻求快速应用技巧的人来说，可能需要先做好心理准备。

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对于那些希望将函数理论应用于物理或工程领域的读者，这本书可能会带来一些“知识上的不适”。《The Theory of Functions》几乎完全聚焦于数学理论本身的美学和逻辑自洽性，它对实际应用的关注度极低。例如，当我们讨论共形映射时，我们得到的是关于莫比乌斯变换的完美几何解释，以及它们如何保持角度不变的严格证明，但你几乎找不到一个关于如何利用这种映射来解决流体力学或电磁场问题的具体案例。这种纯粹性是一把双刃剑：一方面，它保证了理论的纯净和深刻；另一方面，它使得本书在“如何应用”这个问题上显得有些沉默。我个人非常欣赏这种纯粹，它让我得以摆脱现实世界约束的干扰，专注于数学结构的本质。然而，如果你的主要目标是通过函数论来解决实际问题，你可能会觉得书中的很多章节在计算上过于抽象，需要自己额外进行大量的“翻译”工作，将这些优美的定理转化为可操作的公式。总而言之，这是一本献给数学家心灵的食粮，而非工程师的工具箱。

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读完《The Theory of Functions》的第一感觉，是一种智力上被充分挑战后的满足感。这本书的叙事节奏非常独特，它不像某些教科书那样试图用大量的直观例子来“软化”复杂的概念，而是直截了当地将读者置于理论的核心。作者对“解析性”的讨论，简直是艺术品级别的呈现。他从柯西-黎曼方程出发，逐步推导出泰勒级数展开的必然性，整个逻辑链条紧密得令人窒息，几乎没有留下任何可以投机取巧的空间。我印象最深的是关于多值函数和分支点的处理，这部分内容在其他入门读物中往往被一笔带过，但在这里，作者却投入了大量的篇幅，用极具洞察力的方式解释了为什么需要引入黎曼曲面来维持函数定义的“单值性”和“连续性”。这种对数学内在美学的执着追求，使得本书读起来更像是在欣赏一部精心编排的交响乐，每一个声部（即每一个数学概念）都必须精确到位，才能奏出和谐的乐章。对于已经有一定微积分基础的读者来说，这本书将为你打开一扇通往更深层次结构认知的大门，前提是你愿意投入足够的时间去品味那些看似枯燥的证明细节。

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这本书的结构设计极具匠心，它将实数域上的分析与复数域上的分析巧妙地编织在一起。最让我感到惊艳的是作者如何处理积分理论的提升。他没有将实积分和复积分视为两个独立的主题来处理，而是通过早期对基本拓扑概念的铺垫，使得从黎曼积分到勒贝格积分的飞跃，乃至最终过渡到复变函数中的路径积分和留数定理时，都显得水到渠成，逻辑上的断裂感非常小。这体现了作者对整个分析学框架深刻的整体把握。阅读体验上，这使得我对复变函数的理解不再停留在“计算技巧”层面，而是上升到了“统一理论”的高度。然而，这种高度也带来了阅读上的门槛。作者对一些背景知识的预设是相当高的，他假设读者已经对高等代数和基础拓扑学有深入的理解。因此，如果你是第一次接触复分析，可能会在初期因为跟不上上下文的假设而感到挫败。它要求读者具备极强的抽象思维能力和记忆力，以记住先前建立的复杂定义和引理，才能在后续章节中跟上作者构建的宏大理论体系。这是一本需要反复研读、常做笔记才能真正消化的重量级著作。

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