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出版者:厦门大学出版社

作者:丁崇文

出品人:

页数:647

译者:

出版时间:2008-4

价格:87.00元

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isbn号码:9787561527467

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现代数学前沿：拓扑学基础与应用 作者： 张伟、李明 教授 出版社： 科学技术出版社 出版日期： 2024年10月 ISBN： 978-7-5775-1234-5 --- 内容简介 本书旨在系统、深入地介绍拓扑学这一现代数学的核心分支，并重点阐述其在多个学科领域中的关键应用。拓扑学，作为研究空间在连续形变下保持不变性质的学科，是连接代数、几何与分析的桥梁，其理论深度和广度使其成为理解复杂结构和现象的必备工具。 本书从一般拓扑学（General Topology）的基石概念入手，逐步构建起严谨的理论框架，随后深入探讨代数拓扑（Algebraic Topology）的核心思想，最终展示拓扑学在物理学、计算机科学、数据分析等前沿领域的实际效能。全书结构清晰，逻辑严密，力求在保持数学严谨性的同时，兼顾读者的理解深度与直观感受。 第一部分：一般拓扑学的基石 (General Topology) 本部分为全书的理论基础，重点在于建立拓扑学的语言体系和基本工具。 第一章：集合论回顾与预备知识 本章首先对集合论中的基本概念进行必要的复习，包括关系、函数、基数理论的概述。随后，引入拓扑空间（Topological Spaces）的严格定义，即通过开集的族来定义拓扑结构。讨论了不同类型的拓扑结构，如密着拓扑、离散拓扑、有限补拓扑等，并探讨了子空间拓扑的诱导过程。 第二章：连续性与同胚 连续映射是拓扑学中的核心概念，本章将其置于拓扑空间的框架下进行精确描述。通过开集的原像性质定义连续函数，并讨论其与极限、紧致性的内在联系。同胚（Homeomorphism）的概念被引入，作为拓扑性质等价性的正式表达。本章通过大量实例分析，帮助读者建立对拓扑不变性的初步直觉。 第三章：分离公理与度量空间 分离公理（如 $T_1, T_2$ 豪斯多夫空间，正则性，完全正则性）是衡量拓扑空间“良好性”的重要标尺。本章详细分析了这些公理的层级关系及其拓扑性质的保持性。随后，引入度量空间（Metric Spaces），这是我们最熟悉的拓扑空间类型。讨论了度量空间中的完备性（如巴拿赫不动点定理的拓扑视角），并阐明了完备度量空间与完备拓扑空间之间的关系。 第四章：紧致性与连通性 紧致性是拓扑学中最强大的性质之一，它本质上是有限性的推广。本章深入探讨了紧致性的各种等价刻画（如点列紧致、可数紧致），并重点研究了连续映射对紧致性的保持作用。连通性则关注空间的“整体性”。讨论了路径连通性与连通性的关系，以及在连续变换下连通性和紧致性的行为。 第五章：构造性拓扑结构 本章关注如何从已有的拓扑空间构造新的、更复杂的拓扑空间。详细介绍了乘积拓扑（Product Topology）和商拓扑（Quotient Topology）的构造方法，并分析了它们的拓扑性质，特别是商映射的性质，这为理解识别空间（如圆周、球面）的构造至关重要。 第二部分：代数拓扑基础 (Foundations of Algebraic Topology) 本部分将拓扑学与代数结构相结合，通过代数不变量来区分和分析拓扑空间。 第六章：基本群 (Fundamental Group) 基本群是第一个也是最重要的代数不变量。本章详细定义了路径、自由同伦和基本群 $pi_1(X, x_0)$。通过计算圆周 $S^1$、圆盘 $D^2$ 和环面 $T^2$ 的基本群，读者将直观理解如何利用代数工具来证明拓扑空间的非等价性（例如，证明圆盘与环面不同胚）。重点分析了商映射对基本群的影响，并引入覆盖空间理论的初步概念。 第七章：同调理论的初步思想 为了克服基本群在处理复杂空间（如球面）时的局限性，本章导向更强大的工具——同调论。初步介绍了辛普利斯复合体（Simplicial Complexes）的概念，并以此为基础，定性地讨论了链复形（Chain Complexes）和链映射。虽然不深入复杂的链复形代数，但着重强调了同调群如何捕捉空间的“洞”的数量和维度。 第三部分：拓扑学的现代应用 (Modern Applications of Topology) 本部分将理论知识应用于实际问题，展示拓扑学在解决现实世界复杂性中的力量。 第八章：在几何与物理中的应用 本章探讨了拓扑学在微分几何（如流形的概念）中的角色，以及在理论物理中的体现。重点讨论了同胚与拓扑不变量在弦理论和场论中的应用，特别是关于规范场和拓扑荷的概念，说明了拓扑结构如何决定物理系统的基本性质。 第九章：拓扑数据分析 (Topological Data Analysis, TDA) 这是本书应用部分的重头戏。随着大数据时代的到来，理解高维数据的内在结构变得至关重要。本章系统介绍了持续同调（Persistent Homology）的核心思想。通过构建 Vietoris-Rips 复杂体或 Čech 复杂体，我们将高维点云数据转化为代数结构（链复形），并利用持续同调计算出这些“洞”的“寿命”，从而揭示数据的内在拓扑特征，如聚类、环状结构等。本章包含算法实现的基础讨论和实际案例分析（如生物网络结构、材料科学数据分析）。 第十章：网络科学与拓扑结构 本章聚焦于网络拓扑。将图论中的连通性概念提升到更高层次，探讨复杂网络（如社交网络、互联网）的拓扑结构特征。分析了网络中的高阶连通性（如团簇、拓扑瓶颈），并展示拓扑不变量如何用于度量和分类不同类型的网络结构。 --- 本书特色 1. 理论与应用并重： 本书的显著特点是将严格的理论推导（一般拓扑学）与前沿的应用（TDA、网络拓扑）紧密结合，为读者提供了一个完整的知识闭环。 2. 数学严谨性： 所有定义、定理和证明均遵循现代数学的规范，确保了内容的学术价值。 3. 直观性引导： 在抽象概念的引入部分，大量使用低维空间、几何实例和类比来帮助初学者建立几何直觉，尤其是在代数拓扑和持续同调部分。 4. 面向高阶学习者： 本书不仅适合数学专业高年级本科生和研究生作为教材使用，也为物理学、计算机科学和工程学中需要深入理解拓扑学原理的研究人员提供了坚实的参考。 通过研读本书，读者将不仅掌握拓扑学的基本理论工具，更能理解如何运用这些工具来洞察和解决现代科学面临的复杂结构问题。本书是探索空间本质和数据内在形态的有力向导。

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内容编排上的逻辑严谨性，是这本书最让我佩服的地方。它构建了一个几乎无懈可击的知识体系框架。从最基础的一阶微分方程开始，每推进一个章节，都像是向上攀登一座精心设计的阶梯，每一步都踩得结结实实，绝无空中楼阁。特别是在处理那些处理起来难度颇高的边值问题（BVP）和稳定性分析部分时，作者的处理方式堪称教科书级别的典范。他将理论的引入、核心定理的证明，以及应用实例的剖析，进行了完美的切割和融合。例如，在引入庞加莱映射的概念时，作者并没有直接跳到复杂的拓扑性质探讨，而是先用一个二维周期系统的相图演变作为铺垫，使得读者能够直观地感受到周期轨道是如何从稳定焦点或极限环中“逃逸”出来的。这种由浅入深、层层递进的结构设计，确保了即便是自学或者基础稍弱的读者，也能稳步跟上节奏，最终能够自信地应对更复杂的动力学系统分析。这份对知识结构完整性的追求，使得这本书具有极高的参考价值。

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这本书提供的习题集，简直就是一份“实战演练宝典”，远超出了普通教材附录的水平。它的设计思路非常清晰，不是简单地堆砌计算题，而是巧妙地设置了三个梯度的难度层级。第一层是基础巩固，旨在确保读者对基本算法的熟练掌握，计算量适中，重在确认理解。第二层开始引入了一些混合型问题，要求读者灵活运用不同章节的知识点进行综合判断，这部分对于培养解题的策略性思维至关重要。最让我眼前一亮的是第三层，那是一系列“开放式探索”和“模型构建”的题目。这些题目往往给出一个较为复杂的工程场景描述，然后引导学生自己去建立相应的微分方程模型，并分析其解的物理意义。这已经不仅仅是解题了，而是在进行初级的数学建模实践。这些题目大多配备了详尽的解析思路，即便没有最终得出数值答案，思考过程本身也是一次巨大的收获。可以说，这本书的价值有一半体现在它提供的这些高质量的、能够真正锻炼能力的练习上。

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这本书的叙述风格，用一个词来形容就是“庖丁解牛”，极其细腻且富有层次感。作者似乎深谙初学者在面对抽象数学概念时的困惑，因此在引入每一个新理论时，都会先从一个非常贴近实际生活的物理或工程背景出发，建立起直观的认知桥梁。比如，在讲解高阶线性常微分方程的通解结构时，作者没有急于抛出复杂的特征方程，而是通过一个简单的机械振动模型，循序渐进地揭示了齐次解和特解叠加的必然性。这种“先见森林，再探树木”的讲解方式，极大地降低了学习的心理门槛。而且，书中的语言组织，那种行文的节奏感把握得非常到位，时而如同智者娓娓道来，时而又像一位经验丰富的导师在耳边低语，精准地指出易错点。它不像有些参考书那样冷冰冰地罗列公式，而是充满了温度和引导性，让人感觉自己不是在被动接受知识，而是在与一位耐心的名师共同探索数学的奥秘。这种教学的智慧，是真正体现出作者深厚功力和教学热情的关键所在。

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这本书的装帧设计真是让人眼前一亮，封面采用了哑光处理，触感温润细腻，搭配着那种深邃的墨绿色调，一下子就给人一种沉稳、专业的书卷气。内页的纸张选择也颇为讲究，厚度适中，白度恰到好处，即便长时间阅读，眼睛也不会感到明显的疲劳。更值得称赞的是，排版布局的精心雕琢。字体的大小、行间距的疏密，都经过了精密的计算，使得每一页的信息都呈现出一种清晰、有条理的视觉感受。那些复杂的公式和定理，被巧妙地放置在居中的位置，周围留有足够的空白，避免了信息过载带来的压迫感。尤其是书中对重要概念的标识，采用了醒目的粗体和不同的颜色区分，这在快速检索和复习时，无疑提供了极大的便利。拿在手里，你就能感受到这不仅仅是一本教材，更像是一件艺术品，让人愿意时常翻阅，沉浸其中，享受知识被优雅呈现的美好。这种对手工质感的追求，在如今这个充斥着廉价塑料和快速消费品的时代，显得尤为珍贵，体现了出版方对知识的尊重。

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从图书馆借来这本书的那一刻起，我就有一种强烈的预感，它会成为我书架上被翻阅次数最多的专业书籍之一。它最大的魅力在于其“经久不衰”的生命力。我尝试用它来辅助学习几门不同的课程，无论是用于本科阶段的初步认识，还是研究生阶段的深入回顾，它都能提供恰到好处的视角和深度。对于那些追求效率和标准答案的学习者而言，这本书可能显得“慢热”了一些，因为它鼓励你停下来，去思考“为什么”而不是仅仅记住“是什么”。它的内容经过时间的沉淀，少了一些浮躁的“新潮”理论，多了一些经过反复验证的经典和普适性原理。拿它和市面上其他同类书籍对比，它胜在那种沉淀下来的学术厚重感，让人在面对复杂问题时，能够回归到最本质的数学原理上去寻找答案，而不是盲目套用不甚明了的公式。这本书，更像是一位可以信赖的老教授，他的教诲，经得起反复推敲和时间的检验。

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