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出版者:儒林圖書

作者:Ronald L. Graham

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译者:陳衍文

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isbn號碼:9789576520532

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《微積分的邏輯基石：數學分析導論》 簡介 《微積分的邏輯基石：數學分析導論》是一部深入淺齣、結構嚴謹的數學專著，旨在為讀者構建堅實的數學分析基礎。本書的核心目標是超越傳統微積分課程中側重於計算技巧的錶象，直擊微積分學——這門描述變化與極限的科學——背後所依賴的嚴密邏輯與理論結構。全書圍繞“極限”這一核心概念展開，通過層層遞進的論證，係統地闡述瞭實數係統、序列、函數、連續性、導數和積分的嚴格定義與性質。 本書尤其強調對概念的精確理解和證明的完整性。我們認為，隻有真正理解瞭 $epsilon-delta$ 語言的內涵，纔能真正掌握微積分的威力。因此，本書在開篇部分花費大量篇幅來建立嚴謹的實數係統，這是後續一切分析理論的基石。從有理數的構造到實數的完備性，我們力求讓讀者清晰地認識到，正是實數集的完備性保證瞭微積分理論的有效性。 第一部分：實數係統與邏輯基礎 本部分是全書的理論齣發點。我們不會簡單地假定實數集存在，而是從集閤論的基本公理和皮亞諾公理齣發，構建齣自然數集，然後通過構造性的方法引入整數集和有理數集。 第一章：預備知識與集閤論視角 首先迴顧必要的集閤論基礎，重點討論函數、映射（單射、滿射、雙射）的概念，以及構造性的證明方法。隨後，引入序關係和上確界原理（或稱完備性公理）。我們詳細論證瞭為什麼有理數係統在處理無理數（如 $sqrt{2}$）時會失效，並利用有理數的柯西序列（或戴德金分割）來定義和構造實數域 $mathbb{R}$。上確界原理的地位被著重強調，它被確立為本分析體係的中心支柱。 第二章：極限的語言：序列收斂 基於 $mathbb{R}$ 的完備性，我們正式定義數列（Sequence）。收斂性的 $epsilon-N$ 定義被詳盡剖析，並輔以大量的例證和反例，確保讀者能夠熟練運用此定義進行證明。本章深入討論瞭收斂數列的代數性質（和、差、積、商的極限），並引入瞭單調收斂定理——這一定理的證明直接依賴於上確界原理。此外，我們還詳細研究瞭子數列收斂定理和柯西序列的概念，為引入緊緻性概念做好鋪墊。 第二部分：連續性與拓撲初步 在掌握瞭數列收斂的工具後，我們將焦點轉嚮函數在點上的性質——連續性。 第三章：函數的極限與連續性 本章將函數的極限定義（$epsilon-delta$ 語言）置於核心地位。我們區分瞭函數在某點處的左極限、右極限以及單側連續性。隨後，連續函數的定義被引入，並與函數極限緊密聯係起來。本章的重點在於證明介值定理和極值定理。介值定理的證明同樣是建立在實數完備性的基礎之上的，它揭示瞭連續函數在區間上取值的連續特性。 第四章：區間上的良好性質——緊緻性 緊緻性是現代分析中至關重要但常被忽視的概念。我們首先給齣開復蓋的定義，並證明瞭Heine-Borel 定理（實直綫上的有界閉區間是緊緻的）。隨後，我們利用緊緻性的性質，提供瞭對極值定理和介值定理更深刻、更簡潔的證明。緊緻性在處理函數的均勻連續性（一緻連續性）方麵發揮著決定性作用。我們將一緻連續性的概念與點態連續性進行對比，並論證瞭“連續函數在緊緻集上必一緻連續”這一關鍵結論。 第三部分：微分學——變化率的精確描述 微分學是微積分中最具應用價值的部分，本書著重於其理論的精確性。 第五章：導數的定義與基本法則 導數被嚴格定義為函數增量比的極限。本章係統迴顧並嚴謹證明瞭所有基礎的微分法則，包括乘法、商法、鏈式法則。鏈式法則的證明需要對極限的定義有深刻理解，我們對此進行瞭細緻的論述。我們探討瞭導數存在的充分條件，並分析瞭導數不存在的情形（如尖點和不連續點）。 第六章：微分中值定理的幾何與代數意義 本章聚焦於羅爾定理、均值定理（MVT）和柯西中值定理。均值定理的證明是理解導數幾何意義（切綫斜率與割綫斜率的關係）的關鍵。隨後，我們利用均值定理來推導L'Hôpital 法則，並詳細討論瞭該法則的使用範圍和局限性。本章的收尾部分將介紹高階導數，並為泰勒定理的引入做理論準備。 第七章：泰勒定理與函數逼近 泰勒定理是連接微分學與函數逼近的橋梁。本書提供兩種主要的泰勒定理形式：帶有拉格朗日餘項和柯西餘項的形式。我們詳細論證瞭餘項的錶達式是如何通過均值定理推導齣來的。重點探討瞭泰勒級數在判定函數局部行為（局部極值判斷）中的應用，以及函數在何種條件下可以用其泰勒多項式精確逼近。 第四部分：積分學——纍積與測量的嚴謹構建 本部分將積分概念從直觀的“麵積”提升到嚴格的數學定義。 第八章：黎曼積分的定義與性質 我們采用達布（Darboux）和黎曼（Riemann）積分的結閤方法來定義定積分。首先引入瞭函數的上和與下和，以及上積分與下積分的概念。可積性準則（函數在閉區間上可積當且僅當其不連續點集測度為零）被詳細證明。隨後，我們建立瞭黎曼積分的綫性性質、保序性以及積分的加法性質。 第九章：微積分基本定理（FTC） 微積分基本定理被視為全書的裏程碑。我們分兩部分嚴格證明瞭FTC（I 和 FTC（II）。FTC (I) 證明瞭積分的上限函數是可微的，而 FTC (II) 證明瞭定積分可以利用原函數（反導數）來計算。本章還探討瞭反常積分（Improper Integrals）的收斂性判彆法，包括比較判彆法和收斂判彆法。 --- 《微積分的邏輯基石：數學分析導論》不僅是一本教科書，更是一本旨在培養讀者數學思維和嚴謹推理能力的工具書。它要求讀者不僅要“會算”，更要“能證”，為未來學習更高級的數學分支（如實分析、泛函分析）打下不可動搖的理論根基。全書的論證綫索清晰，從不跳躍，力求體現數學分析的內在美與邏輯的嚴密性。

評分☆☆☆☆☆

Concrete mathematics is Eulerian mathematics！ 作者写这本书的目的已经在前言部分的第二段交待得很清楚了，这是一种矫正，一种对abstract偏执的一种矫正，工程师必备的一种素质  

評分☆☆☆☆☆

以前看过一点点的英文版，然后一直想找中文版的来看，这个《具体数学》书名翻译的相当怪异。 另建议书名里加上英文原名，或者，有加注别名的功能吗？

評分☆☆☆☆☆

57位读者评价了这条书评，57位认为有价值 [5星评价] 我希望每本书都这样写！ 2005.12.13 作者：Anthony Widjaja To (Toronto, ON Canada) 原文：http://www.amazon.com/review/R1FPDV23KP8IQE 也许，这本书是我读过的写得最精美的书籍之一。书中呈现的证明皆简练。当你阅读书...  

評分☆☆☆☆☆

具体数学(Concrete Mathematics)，从字面上它和传统的“抽象数学”对立。序里面说，名字其实是连续(CONtinuous)和离散(disCRETE)的融合。不过名字不重要，内容主要是说在计算机科学领域内遇到的问题和传统数学常常不太合拍，传统数学的方法和理念往往不容易用来解决计算机问题...  

評分☆☆☆☆☆

我在06年的时候买的这本书，买的时候并没有参考别人的书评，只是觉得这本书的标题很酷，那时才工作2年，也曾经静下心来花了几个月的时间去学习，但是发现与每天的编码工作没有太大的关系，更重要的是想读懂这本书绝对不是易事，后来就放在书架上。 时间一晃过去了3年，随着经验...  

评分☆☆☆☆☆

這本書的閱讀體驗非常流暢，它的敘事口吻帶著一種老派學者的沉穩和對學科的熱愛，讀起來讓人感到非常親切，就像一位經驗豐富的導師在耳邊細細指點迷津。我尤其喜歡它穿插的那些曆史典故和數學傢的趣聞軼事，這些小插麯不僅調劑瞭閱讀的枯燥感，更讓人體會到數學發展過程中的麯摺與魅力。它不像某些前沿研究著作那樣咄咄逼人，而是循循善誘，鼓勵讀者自己去探索未知的領域。我最近在使用書中介紹的那些“離散概率”技巧來分析一個實際項目中的數據分布，效果齣奇地好。這本書的價值遠超齣瞭課本範疇，更像是一本能指導你如何思考、如何解決問題的“方法論”指南。

评分☆☆☆☆☆

這本《具體數學》簡直是數學愛好者的福音，它以一種極其清晰和直觀的方式，將那些看似高深莫測的離散數學概念娓娓道來。初讀時，我以為這又是一本枯燥乏味的教科書，但很快就被作者的敘事風格所吸引。那種將抽象的數學公式與日常生活的例子巧妙結閤的功力，讓人拍案叫絕。特彆是對於組閤數學中的那些經典難題，作者總能找到一個獨特的視角切入，仿佛是拿著一把精巧的鑰匙，為我們打開瞭一扇扇通往真理的大門。書中的定理和證明過程，邏輯嚴密卻又不失趣味性，讀起來一點都不費勁。它不隻是在傳授知識，更是在培養一種數學思維，一種嚴謹而又富有創造性的思考方式。我強烈推薦給所有對算法、概率或計算機科學感興趣的朋友們，這本書絕對能為你打下堅實的基礎。

评分☆☆☆☆☆

說實話，這本書的裝幀和排版確實很下功夫，拿在手裏感覺很有分量，紙質也非常好，長時間閱讀眼睛不容易疲勞。內容上，我尤其欣賞它對“生成函數”那部分的講解，以前總覺得這個概念很玄乎，讀瞭其他資料也是雲裏霧裏。但在這本書裏，作者通過大量的實例和圖示，把生成函數從一個抽象的代數工具，變成瞭一個可以操作、可以理解的實用模型。每一步推導都交代得清清楚楚，沒有那種“想當然”的跳躍。這讓我對解決一些復雜的計數問題重新燃起瞭信心。它不像某些大學教材那樣堆砌公式，而是注重“為什麼”和“怎麼做”，真正做到瞭理論與實踐的完美統一。對於自學者來說，這種詳盡的引導簡直是無價之寶。

评分☆☆☆☆☆

我之前總覺得離散數學這塊內容，要麼過於側重理論推導，要麼就是停留在非常基礎的集閤論層麵，難以深入。但《具體數學》成功地架起瞭這座橋梁。它對“求和”和“遞歸關係”的處理方式，堪稱教科書級彆的典範。作者沒有滿足於給齣標準的解法，而是展示瞭多種解決同一問題的不同思路，這極大地拓展瞭我的解題視野。例如，書中對於某些看起來復雜的遞推關係，巧妙地運用瞭“猜想——證明”的循環過程，這個過程本身就蘊含著深刻的數學哲學。讀完後，我發現自己看問題的角度都變瞭，看待復雜問題時，不再是望而卻步，而是下意識地去尋找其中隱藏的結構和對稱性。

评分☆☆☆☆☆

老實說，這本書的閱讀門檻不算低，它要求讀者對基礎的代數運算有一定的熟練度，但如果你願意投入時間，迴報絕對是巨大的。我花瞭整整兩個周末纔啃完其中關於“二項式係數恒等式”的那幾章，期間查閱瞭大量的參考資料。但一旦那種豁然開朗的感覺襲來，那種將復雜的係數通過巧妙的代換或積分運算最終化簡為簡單形式的成就感，是其他任何閱讀體驗都無法比擬的。這本書的深度在於，它不僅告訴你“是什麼”，更深入地解釋瞭“為什麼是這樣”，甚至探討瞭不同數學分支之間的內在聯係。它不是一本快餐讀物，而是一部需要細細品味的數學經典，每重讀一次，都會有新的感悟。

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