Representation of Lie Groups and Special Functions pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:N.Ja. Vilenkin

出品人:

页数:520

译者:

出版时间:1994-11-30

价格:USD 399.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780792332107

丛书系列:

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• 数学
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《李群与特殊函数表示论》 本书深入探讨了李群的表示理论及其与特殊函数之间的深刻联系。我们将从基础的群论概念出发，逐步构建起李群的框架，详细阐述其表示的定义、性质以及分类。本书旨在为读者提供一个坚实的理论基础，使他们能够理解和掌握李群表示的精妙之处，并认识到这一理论在众多科学领域中的关键作用。 第一部分：李群基础 在本书的开篇，我们将从最基础的群论概念入手，例如群的定义、子群、陪集、正规子群、商群等。随后，我们将引入李群的概念，明确其作为光滑流形上的群结构的特性。我们将详细讨论李群的生成元、李代数，以及它们与李群之间的指数映射关系。通过引入一些经典的例子，如一般线性群 $GL(n, mathbb{R})$、正交群 $O(n)$、酉群 $U(n)$ 以及它们对应的李代数，读者将对李群的结构有一个直观的认识。我们还会探讨李群的连通性、中心和子群等重要性质。 第二部分：李群的表示理论 本部分是本书的核心，我们将专注于李群的表示理论。首先，我们将定义李群的表示，即从李群到一般线性群的同态映射。我们会详细讲解向量空间、线性映射、张量积等概念，并在此基础上定义表示的张量积、对称幂和反对称幂。随后，我们将深入研究不可约表示，这是表示理论中的基石。我们会讨论如何判断一个表示是否可约，以及如何分解一个可约表示为不可约表示的直和。 对于紧致李群，我们将详细介绍其表示的完备正交性定理和特征标（character）理论。特征标是表示的一个重要不变量，它能提供关于表示的丰富信息。我们将推导Wey​​l指示公式（Weyl's character formula），这是计算李群不可约表示特征标的一个强大工具。我们还会探讨表示的群论计算，包括如何利用群的性质来计算表示的特征标和维度。 对于非紧致李群，虽然其表示理论更为复杂，但我们仍将介绍一些重要的概念，例如许诺表示（discrete series representations）和非许诺表示（non-discrete series representations）。我们将关注一些特殊的非紧致李群，如庞加莱群（Poincaré group），并分析其表示的性质。 第三部分：特殊函数与李群表示的联系 本书的第三部分将揭示李群表示理论与特殊函数之间令人着迷的联系。我们将从特殊函数的定义和基本性质出发，介绍一些在数学和物理学中扮演重要角色的特殊函数，例如贝塞尔函数、勒让德函数、超几何函数等。 随后，我们将展示这些特殊函数是如何自然地出现在李群表示的计算中的。我们会详细介绍例如球谐函数（spherical harmonics）作为 $SO(3)$ 群不可约表示的基函数的性质。我们将探讨如何利用表示理论的框架来理解和推导特殊函数的恒等式和微分方程。 本书还将关注多项式表示（polynomial representations）以及它们与特殊函数之间的对应关系。我们将深入研究如何通过表示理论的方法来分析和分类不同类型的特殊函数。例如，我们将展示一些与代数群（algebraic groups）相关的特殊函数，并利用其表示理论来理解它们的性质。 第四部分：应用与展望 在本书的最后部分，我们将简要回顾李群表示理论和特殊函数在各个领域中的应用，包括量子力学、粒子物理、代数几何、数论以及信号处理等。我们将通过一些具体的例子来说明这些理论工具的强大威力。 本书的目的是提供一个全面而深入的视角，让读者理解李群表示理论的精髓，并认识到其与特殊函数之间的深刻联系。我们希望通过本书的讲解，能够激发读者对这一领域的进一步探索兴趣，并为他们解决实际问题提供有力的理论支持。本书适合具有一定数学基础（如线性代数、微积分、抽象代数）的研究生、博士后以及对相关领域感兴趣的科研人员阅读。

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这本书的结构设计，显然是按照一个严格的、自上而下的逻辑链条构建的，这对于追求数学完备性的学者来说是极大的福音。然而，这种极端的逻辑纯粹性也带来了阅读上的“压迫感”。它很少引入任何“非必需的”旁白或背景介绍，几乎所有文字都直接服务于理论的推进。我发现，当涉及到某些涉及非紧致群的例子时，书中处理得相对简略，仿佛那些属于“次要”范畴的例子，不值得花费大量的篇幅去细致剖析。这种取舍意味着，这本书的侧重点明显倾向于那些结构更优美、更容易被标准框架兼容的经典案例。对于那些对边缘情况或非标准构造更感兴趣的读者来说，这本书提供的视角可能略显片面。它是一把极其锋利的手术刀，擅长解剖核心结构，但在处理那些形态各异、需要更多耐心去“雕琢”的复杂实例时，其效率似乎有所降低。

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这本厚重的典籍，翻开它就像踏入一片广袤而未知的数学疆域。从最初的几章来看，作者显然对代数几何和拓扑学的根基有着深刻的洞察，但书中对具体概念的引入方式，却显得有些过于抽象和疏离。读者初次接触时，可能会因为那些篇幅惊人的定义和定理的堆砌而感到眩晕。比如，对于那些试图通过直观几何来理解李群的读者，这本书提供的可能不是一座清晰的导航塔，而更像是一张标注着无数复杂符号的星图。它要求读者已经具备相当扎实的预备知识，否则很容易在理解核心思想之前，就被那些繁复的符号和严谨的证明逻辑所淹没。特别是关于群作用和齐性空间的讨论，虽然逻辑上无可指摘，但缺乏足够具体的例子来辅助理解其在物理学或更广阔数学领域中的实际意义，这使得初学者难以建立起知识点之间的联系。整本书的基调是极其严肃和学术化的，它似乎更关注于构建一个无懈可击的理论框架，而非引导读者的直觉发展。我期待后续章节能带来一些转折，提供更具启发性的案例研究，以平衡前面那些高强度的理论轰炸。

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阅读体验上，这本书的排版和术语密度达到了一个令人咋舌的程度。每一页都塞满了精密的数学表达，几乎没有留给读者喘息的空间。作者似乎相信读者能够自动将那些抽象的数学对象在脑海中具象化，但对于我这样习惯于通过图形和具体例子来消化复杂概念的人来说，这无疑是一种挑战。例如，在讲解紧致群的表示理论时，虽然定理的陈述非常精确，但缺乏对“为什么”我们选择这种路径的深入探讨。它更像是一份精确的食谱，告诉你每一步该做什么，却很少解释食材的内在联系和最终菜肴的味道。这种处理方式，虽然保证了数学的纯粹性，却牺牲了教学上的亲和力。我时常需要频繁地查阅附录中的符号表，这极大地打断了阅读的流畅性。对于那些希望通过这本书来快速掌握应用技巧的人来说，这本书可能会显得过于“理论化”和“自我封闭”，它更像是一部为同行学者准备的参考手册，而非面向广泛爱好者的入门向导。

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这本书在构建其核心论点时，展现出一种令人敬畏的宏大视野，但这种宏大感似乎也带来了维护细节上的疏忽。例如，在章节过渡的部分，不同主题之间的衔接处理得略显生硬。读者需要自己去“弥补”理论跳跃之间的鸿沟。这使得整本书读起来不像是一条顺畅的河流，而更像是一系列并列的、各自独立的知识瀑布。我特别注意到，某些关键定理的证明过程被压缩得异常精简，以至于依赖于前一个章节中一个相对不那么引人注目的引理，如果读者恰好遗漏或未能完全掌握那个引理，那么当前的证明就成了空中楼阁。这种深度依赖性，要求读者必须以一种近乎完美的回溯能力来阅读。它迫使你不能只是“读过”前面的内容，而是必须“内化”它们。这对于习惯于线性阅读的读者来说，无疑是一个不小的障碍。

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从作者的写作风格来看，他似乎更倾向于使用一种非常古典和形式化的数学语言来表达思想。这种语言的优点是毋庸置疑的精确性，但在现代数学语境下，它有时显得过于保守和冗长。例如，在处理某些酉表示的完备性问题时，作者反复引用了上世纪中叶的经典文献，虽然是对历史的尊重，但如果能更深入地结合现代泛函分析或K理论的视角进行阐述，或许能让这些概念焕发出新的活力，也更容易被习惯于现代工具箱的读者所接受。这本书更像是对某一特定数学流派的忠实记录，而非一次面向未来的探索。对于希望了解如何将这些经典工具应用到当代物理问题中的读者来说，他们可能需要在书的空白处，用自己的笔触去“翻译”这些古老的语言，以适应现代的交流方式。它提供的是坚实的基础，但需要读者自己去搭建上层的现代建筑。

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