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第1章 绪论
1.1 基本概念
1.1.1 定义与例子
1.1.2 叠加原理
1.2 定解问题
1.2.1 定解条件与定解问题
1.2.2 定解问题的适定性
1.3 二阶半线性方程的分类与标准型
1.3.1 多个自变量的方程
1.3.2 两个自变量的方程
1.3.3 方程化为标准型
习题1
第2章 一阶拟线性方程
2.1 一般理论
2.1.1特征曲线与积分曲面
2.1.2初值问题
2.1.3例题
2.2 传输方程
2.2.1 齐次方程的初值问题 行波解
2.2.2非齐次传输方程
习题2
第3章 波动方程
3.1 一维波动方程的初值问题
3.1.1 d'Alembert 公式 反射法
3.1.2 依赖区域 决定区域 影响区域
3.1.3 初值问题的弱解
3.2 一维波动方程的初边值问题
3.2.1 齐次方程的初边值问题 特征线法
3.2.2 齐次方程的初边值问题 分离变量法
3.2.3 非齐次方程的初边值问题 特征函数展开法
3.3 Sturm-Liouville 特征值问题
3.3.1 特征函数的性质
*.3.2 特征值与特征函数的存在性
*.3.3 特征函数系的完备性
3.3.4 例题
3.4 高维波动方程的初值问题
3.4.1 球面平均法 Kirchhoff公式
3.4.2 降维法 Poisson 公式
3.4.3 非齐次方程 Duhamel 原理
3.4.4 Huygens 原理 波的弥散
3.5 能量法 解的唯一性与稳定性
3.5.1 能量等式 初边值问题解的唯一性
3.5.2 能量不等式 初边值问题解的稳定性
3.5.3 初值问题解的唯一性
习题3
第4章 热传导方程
4.1 初值问题
4.1.1 Fourier变换及其性质
4.1.2 解初值问题
4.1.3解的存在性
4.2 最大值原理及其应用
4.2.1 最大值原理
4.2.2 初边值问题解的唯一性与稳定性
4.2.3 初值问题解的唯一性与稳定性
4.2.4 例题
*4.3 强最大值原理
习题4
第5章 位势方程
5.1 基本解
5.1.1基本解 Green公式
5.1.2平均值等式
5.1.3 最大最小值原理及其应用
5.2 Green函数
5.2.1 Green函数的导出及其性质
5.2.2 球上的Green函数 Poisson积分公式
5.2.3 上半空间上的Green函数
5.2.4 球上Dirichlet问题解的存在性
5.2.5能量法
5.3调和函数的基本性质
5.3.1逆平均值性质
5.3.2 Harnack不等式
5.3.3 Liouville定理
5.3.4 奇点可去性定理
*5.3.5 正则性
*5.3.6 微商的局部估计
*5.3.7 解析性
5.3.8例题
5.4 Hopf最大值原理及其应用
5.4.1 Hopf最大值原理
5.4.2应用
5.5 位势方程的弱解
5.5.1 伴随微分算子与伴随边值问题
*5.5.2 弱微商及其简单性质
*5.5.3 Sobolev空间H^1(Omega)与$H_0^1(Omega)
*5.5.4 弱解的存在唯一性
习题5
第6章 变分法与边值问题
6.1 边值问题与算子方程
6.1.1 薄膜的横振动与最小位能原理
6.1.2 正算子与算子方程
6.1.3 正定算子 弱解存在性
6.2 Laplace算子的特征值问题
6.2.1 特征值与特征函数的存在性
6.2.2 特征值与特征函数的性质
习题6
第7章 特征理论 偏微分方程组
7.1 方程的特征理论
7.1.1 弱间断解与弱间断面
7.1.2 特征方程与特征曲面
7.2 方程组的特征理论
7.2.1 弱间断解与特征线
7.2.2 狭义双曲型方程组的标准型
7.3 双曲型方程组的Cauchy问题
7.3.1 解的存在性与唯一性
7.3.2 解的稳定性
*7.4 Cauchy-Kovalevskaja定理
7.4.1 Cauchy-Kovalevskaja型方程组
7.4.2 Cauchy问题的化简
7.4.3 强函数
7.4.4 Cauchy-Kovalevskaja定理的证明
习题7
第8章 广义函数与基本解
8.1 基本空间
8.1.1 引言
8.1.2 基本空间D (R^N)和E(R^N)$
8.1.3 基本空间S (R ^N)及其上的Fourier变换
8.2 广义函数空间
8.2.1 概念与例子
8.2.2 广义函数的收敛性
8.2.3 自变量的变换
8.2.4 广义函数的微商与乘子
8.2.5 广义函数的支集
8.2.6 广义函数的卷积
8.2.7 S 空间上的Fourier变换
8.3 基本解
8.3.1 基本解的概念
8.3.2 热传导方程及其Cauchy问题的基本解
8.3.3 波动方程Cauchy问题的基本解
8.3.4 调和、重调和及多调和算子的基本解
习题8
索引
· · · · · · (收起)
读后感
用户评价
这本书的内容，哦，该怎么说呢，它就像一个庞大而精致的迷宫，每一条路径都充满了探索的乐趣和挑战。初次翻开时，我被那些密密麻麻的符号和公式所震撼，感觉自己像是踏入了一个全新的数学王国。作者的叙述风格相当严谨，每一步推导都显得逻辑清晰，毫不拖泥带水。我尤其欣赏他在讲解一些核心概念时，所使用的类比和直观解释，这对于我这样一个并非数学专业出身的读者来说，无疑是巨大的帮助。例如，在解释“波动方程”时，他将抽象的数学模型与实际生活中声波、光波的传播现象巧妙地联系起来，让我能够更深刻地理解其物理意义。
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评分坦白说，这本书的难度确实不小，有些章节需要反复研读，甚至需要参考一些辅助资料才能完全消化。但是，正是这种挑战性，让我收获了前所未有的成就感。每一次攻克一个难题，我都感觉自己的数学功底又上了一个台阶。作者的写作态度非常认真，他对每一个细节都力求精准，这使得这本书即使在多年后，依然保持着其学术的严谨性。我尤其喜欢他对于某些方法的历史发展和背景介绍，这让我了解到这些数学工具是如何被创造和完善的，充满了人文关怀。
评分这本书带来的最大收获，可能就是培养了我独立思考和解决问题的能力。每当我遇到一个棘手的偏微分方程，我不再是简单地套用公式，而是会尝试去分析问题的本质，寻找最合适的解题思路。作者在这一点上起到了至关重要的作用，他鼓励读者主动思考，而不是被动接受。他提出的各种问题，常常引发我深入的思考，有时候甚至会在深夜还在琢磨。
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