Integrability and Nonintegrability in Geometry and Mechanics pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Springer

作者:fomenko

出品人:

页数:364 pages

译者:

出版时间:November 30, 1988

价格:$309.00

装帧:精装

isbn号码:9789027728180

丛书系列:

图书标签:

苏联
Integrability
Nonintegrability
Geometry
Mechanics
Differential Geometry
Dynamical Systems
Mathematical Physics
Lie Groups
Symmetry
Solitons

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具体描述

Approach your problems from the right end It isn't that they can't see the solution. It is and begin with the answers. 1hen one day, that they can't see the problem. perhaps you will find the final question. G. K. Chesterton. The Scandal of Father 'The Hermit Oad in Crane Feathers' in R. Brown 'The point of a Pin' . • 1111 Oulik'. n. . Chi" •. • ~ Mm~ Mu,d. ", Growing specialization and diversification have brought a host of monographs and textbooks on increasingly specialized topics. However, the "tree" of knowledge of mathematics and related fields does not grow only by putting forth new branches. It also happens, quite often in fact, that branches which were thought to be completely disparate are suddenly seen to be related. Further, the kind and level of sophistication of mathematics applied in various sciences has changed drastically in recent years: measure theory is used (non-trivially) in regional and theoretical economics; algebraic geometry interacts with physics; the Minkowsky lemma, coding theory and the structure of water meet one another in packing and covering theory; quantum fields, crystal defects and mathematical programming profit from homotopy theory; Lie algebras are relevant to filtering; and prediction and electrical engineering can use Stein spaces. And in addition to this there are such new emerging subdisciplines as "experimental mathematics", "CFD", "completely integrable systems", "chaos, synergetics and large-scale order", which are almost impossible to fit into the existing classification schemes. They draw upon widely different sections of mathematics.

好的，这是一份关于一本探讨几何与力学中“可积性”与“不可积性”主题的图书简介。这份简介着重于该领域的核心概念、历史发展、关键方法论以及它在现代科学中的应用，内容力求详尽且深入，旨在吸引对该领域有兴趣的读者。图书名称：几何与力学中的可积性与不可积性图书简介本书深入探讨了数学物理领域中一个核心且经久不衰的主题：可积性（Integrability）与不可积性（Nonintegrability）在经典几何、分析力学以及现代动力系统理论中的表现与相互作用。通过严谨的数学分析和丰富的物理洞察，本书旨在为读者提供一个全面且深刻的理解框架，以把握何种系统可以被精确求解，以及为何大多数系统会呈现出复杂且不可预测的混沌行为。第一部分：可积性的古典基础与几何视角本书的开篇回顾了可积性的古典定义，主要聚焦于哈密顿力学框架下的保积系统。我们详细阐述了泊松括号、哈密顿-雅可比方程（Hamilton-Jacobi equation）以及李维尔-阿诺德定理（Liouville-Arnold theorem）。对于一个具有 $n$ 个自由度的系统，如果存在 $n$ 个在相空间中相互独立的、首次积分的（first integrals），并且这些积分是运动不变量的，那么该系统被认为是可积的。我们不仅阐述了这些积分的存在性条件，还深入探讨了它们在拓扑学上的意义——即相空间被分解为一系列环面（Tori），这些环面构成了系统的“李维尔分解”。几何视角是理解可积性的关键。本书花费大量篇幅讨论了辛几何（Symplectic Geometry）在描述保守系统中的核心作用。我们将运动方程视为在辛流形上的演化，并展示了可积系统如何与特定的几何结构（如李代数、李群及其对偶空间）紧密相关。我们引入了“作用变量”和“相位变量”的概念，这些变量使得积分过程可以被转化为简单的线性演化，从而揭示了可积系统的内在周期性和对称性。第二部分：从可积性到非积分性的过渡：分析与摄动理论在现实世界中，完美的可积系统是罕见的特例。本书的第二部分则着重于系统如何从可积状态“退化”到不可积状态，以及如何处理那些存在微小非保守项或微小非线性项的系统。我们详细介绍了微扰理论（Perturbation Theory）在处理“接近可积”系统中的应用。核心工具是KAM（Kolmogorov-Arnold-Moser）理论。KAM理论是连接可积性与不可积性的桥梁，它揭示了在微小扰动下，大多数积分环面如何保持稳定，但其中的一些环面会“破碎”并形成复杂的、通常是混沌的结构。我们对KAM定理的现代证明进行了梳理，强调了其对拓扑不变量和不变集保持的深刻见解。此外，我们探讨了辛积分理论（Symplectic Integration Schemes）和变分原理在分析力学中的应用。当系统不再是完美可积时，传统的解析解法失效，数值方法变得至关重要。本书比较了不同数值方法的稳定性和精度，特别是那些能够保持辛结构和能量守恒特性的方法，这对于长期模拟至关重要。第三部分：不可积性的表征：混沌与拓扑当一个系统不再满足可积性条件时，其行为往往表现出敏感依赖初始条件，即混沌。本书的第三部分专门研究了不可积系统的特征。我们引入了庞加莱截面（Poincaré Sections）作为分析高维动力系统复杂性的有力工具。通过这些截面，我们可以直观地观察到周期轨道、准周期运动以及混沌区域的存在。拓扑不变量在不可积系统中的作用也得到了深入探讨。我们讨论了非积分系统中的“混沌旅行”——系统如何在不同的拓扑区域间穿梭。关键概念包括庞加莱-霍普夫指标（Poincaré-Hopf Index）和不可积系统的拓扑熵（Topological Entropy），后者量化了系统状态空间中指数发散的速率。在几何学方面，我们探索了不可积系统如何导致费利克斯-维尔斯（Fenchel-Nielsen）等几何参数的非平凡演化，以及这种演化与曲率流和黎曼几何中的非线性偏微分方程之间的深层联系。第四部分：现代视角下的可积性——可积格点系统与反向散射本书的最后部分将视野拓展到非保守系统和更广泛的数学物理领域，特别是那些具有无限维度的可积系统。我们详细介绍了“反向散射方法”（Inverse Scattering Method）在求解非线性偏微分方程（如Korteweg-de Vries (KdV) 方程、非线性薛定谔方程 (NLS)）中的威力。对于这些方程，可积性体现在它们拥有无限多个守恒量，并且其解可以通过谱分析和黎曼-希尔伯特问题（Riemann-Hilbert Problem）精确构造。我们从数学上展示了如何通过谱特征函数的演化来构建精确的孤子解（Soliton Solutions），并讨论了这些解在光纤通信和等离子体物理中的应用。此外，本书还涵盖了可积格点系统（Integrable Lattice Systems）的研究，这些系统是连续可积系统的离散对应物，它们为理解量子场论中的对偶性和非线性效应提供了独特的平台。结论与展望《几何与力学中的可积性与不可积性》不仅是一本教科书，更是一份对该领域研究前沿的系统性考察。本书强调了不同数学分支——拓扑学、微分几何、泛函分析和动力系统理论——之间深刻的相互依赖性。无论读者是理论物理学家、应用数学家，还是对混沌现象背后的结构深感好奇的研究人员，本书都将提供必要的工具和深刻的见解，以理解宇宙中秩序与无序的根本界限。我们希望它能激发更多人探索这些迷人系统的深层结构。