Lectures on Ergodic Theory and Pesin Theory on Compact Manifolds pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:Pollicott, Mark

出品人:

页数:172

译者:

出版时间:1993-2

价格:$ 63.28

装帧:

isbn号码:9780521435932

丛书系列:London Mathematical Society Lecture Note Series

图书标签:

Ergodic Theory
Pesin Theory
Dynamical Systems
Compact Manifolds
Mathematical Analysis
Topology
Measure Theory
Differential Equations
Chaos Theory
Functional Analysis

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具体描述

Pesin theory consists of the study of the theory of non-uniformly hyperbolic diffeomorphisms. The aim of this book is to provide the reader with a straightforward account of this theory, following the approaches of Katok and Newhouse. The notes are divided into two parts. The first develops the basic theory, starting with general ergodic theory and introducing Liapunov exponents. Part Two deals with the applications of Pesin theory and contains an account of the existence (and distribution) of periodic points. It closes with a look at stable manifolds, and gives some results on absolute continuity. These lecture notes provide a unique introduction to Pesin theory and its applications. The author assumes that the reader has only a good background of undergraduate analysis and nothing further, so making the book accessible to complete newcomers to the field.

《紧致流形上的遍历理论与佩辛理论讲义》内容简介本书深入探讨了紧致微分流形上动力系统的核心分支——遍历理论与佩辛理论，旨在为读者提供一个既严谨又富有洞察力的理论框架。全书结构清晰，从基础概念出发，逐步深入到前沿的研究课题，特别侧重于光滑流（尤其是一般测度保留流）的几何化与统计学性质。第一部分：基础与测度论视角本书开篇聚焦于遍历理论的基石：测度、测度保留映射与动力系统。我们首先回顾必要的测度论背景，为后续的动力系统研究打下坚实的数学基础。核心内容涵盖了庞加莱回归定理、遍历定理（包括点态遍历和平均遍历）的严格证明及其在各种经典系统（如李雅普诺夫指数为零的保守系统）中的应用。重点讨论了遍历分解的构造，阐明了如何将任意测度空间上的动力系统分解为至多可数个遍历分量的直和。这为分析复杂系统提供了必要的简化手段。我们随后引入了科尔莫戈洛夫-辛钦（Kolmogorov-Sinai，KS）熵的概念，它作为衡量动力系统随机性的关键不变量，被置于重要地位。通过对符号动力学（如全移位）的分析，读者将理解熵与信息论之间的深刻联系。第二部分：光滑流与李雅普诺夫指数在介绍了抽象遍历理论后，本书将视角转向微分几何的框架，即作用于紧致流形上的光滑流。这一部分是连接几何与统计特性的桥梁。我们详细考察了李雅普诺夫指数，这是衡量系统局部不稳定性的核心量度。对于一个光滑流 $phi_t$，我们定义了上、下李雅普诺夫指数，并讨论了它们在不同尺度下的渐进行为。理论的核心在于庞加莱截面定理的应用，以及对双曲性概念的引入。虽然一般的紧致流形上的流可能不具备全局双曲性，但局部双曲性质的分析至关重要。我们探讨了不变测度的存在性，特别是对于流的情形，涉及自然测度（Natural Measure）的概念及其唯一性或多重性的讨论。第三部分：佩辛理论的几何表述本书的第三部分是全书的亮点，致力于深入剖析佩辛理论 (Pesin Theory)。佩辛理论是现代遍历理论中用于描述高维、非均匀双曲系统结构的关键工具。我们从Pesin 庞大集 (Pesin's Grand Set) 的构造开始，该集合是流在局部具有稳定和不稳定方向的区域。详细介绍Pesin 边缘法弛 (Pesin's Canonical Reduction)，即如何通过坐标变换，将流在庞大集上的行为局部地线性化。关键定理包括Pesin 稳定流形定理 (Pesin Stable Manifold Theorem) 的精确表述和证明思路。该定理表明，在几乎所有测度（通常是测度保留的自然测度）下，局部不变流形以正则的方式存在并具有光滑性。我们特别关注测度的结构在 Pesin 框架下的体现。这涉及到对流在不变切丛上的演化的分析，以及不变测度的局部光滑性的结论。通过佩辛理论，我们可以精确计算出系统在稳定和不稳定方向上的信息维度，从而揭示系统的几何复杂性。第四部分：应用与前沿课题在理论基础和佩辛框架构建完成后，本书探讨了这些理论在特定流上的应用。 1. 拓扑混合性与弱混合性：区分不同强度的遍历性，并讨论如何在流上通过李雅普诺夫指数和熵来验证弱混合性。 2. 局部多重性与分岔：考察流的参数依赖性。当流的参数（例如曲率或向量场系数）发生微小变化时，不变测度、平衡态和李雅普诺夫指数如何发生突变或分岔。 3. 平衡态的遍历理论视角：从统计力学的角度，引入平衡态测度（Equilibrium States）的概念，探讨如何通过熵与能量（或势能）的平衡来确定这些重要的测度，并讨论它们与最大熵测度之间的关系。本书的叙述风格力求精确，同时通过大量的例子和几何直觉来辅助抽象概念的理解。它不仅是一本教科书，更是一份研究指南，旨在引导读者掌握分析紧致流形上非均匀混沌系统的强大工具集。全书的最终目标是使读者能够理解并批判性地应用遍历理论、李雅普诺夫理论和佩辛几何来解析复杂的动力学现象。