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出版者:高等教育

作者:李乔

出品人:

页数:347

译者:

出版时间:2008-1

价格:17.00元

装帧:

isbn号码:9787040225785

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专题论著简介：离散数学核心概念的深度解析 本书旨在为读者提供一个系统、深入的视角来理解离散数学领域中几个至关重要的基础分支。我们聚焦于那些在现代计算科学、逻辑推理以及复杂系统建模中扮演核心角色的理论结构，而非单纯的计数方法或排列组合的技巧。 第一部分：图论的拓扑与结构分析 本部分将图论提升到其作为拓扑空间和网络科学基础的高度进行探讨。我们首先构建图论的严格代数基础，深入考察代数图论的内涵，特别是矩阵表示法（如邻接矩阵、拉普拉斯矩阵）如何揭示图的内在结构特性。 拉普拉斯谱理论是本章的重点。我们详细分析拉普拉斯矩阵的特征值和特征向量的物理和拓扑意义。例如，最小非零特征值（代数连通度）如何精确量化图的“脆弱性”或“连通强度”，这在社交网络分析和电路理论中具有直接的应用价值。我们还将讨论图的分解，包括树的分解（Tree Decompositions）和模块化结构（Modularity），这些概念是处理大规模稀疏图和识别复杂网络中核心社区的理论基石。 随后，我们将探讨平面图的深层性质。欧拉公式的推广形式（如对非简单图的适用性）被用来建立图嵌入与曲面拓扑之间的联系。特别地，我们将引入对偶图的概念，并阐释它在网络流与割集问题中的对偶关系，这为理解最小割-最大流定理提供了更直观的几何解释。 第二部分：形式语言与自动机理论：计算的界限 本部分转向计算的理论基础，探讨形式语言的结构、识别机制以及它们所代表的计算能力。我们严格定义了乔姆斯基等级（Chomsky Hierarchy），但重点将放在更高层级的语言及其对应的计算模型上。 上下文无关文法（CFG）的分析是核心内容之一。我们不满足于简单的推导，而是深入研究句法分析（Parsing）的效率与可行性。CYK算法和Earley解析器的数学原理将被彻底解构，特别是它们如何利用动态规划思想来避免重复计算，从而在多项式时间内确定一个串是否属于该文法所描述的语言。此外，上下文相关文法在描述资源依赖性语言（如编程语言中的变量作用域）中的局限性将被讨论。 在自动机理论方面，我们将对比有限自动机（DFA/NFA）与下推自动机（PDA）的识别能力差异，并证明堆栈结构是如何赋予PDA识别非正则语言（如回文串）的额外能力。本章的难点部分将涉及图灵机的设计哲学——不仅仅是作为计算模型，更是作为理论上可判定性与不可判定性的分界线。我们将详细分析停机问题的不可解性证明，并通过归约的思想（Reduction）来证明其他问题的不可解性，如泵引理在证明非正则性方面的应用。 第三部分：代数结构与离散概率模型 这一部分将离散数学与抽象代数和概率论的交叉点相结合，探讨在有限结构上进行的精确推理。 布尔代数与格理论作为逻辑和数字电路的基础，其理论严谨性需要被充分展现。我们阐述Stone布尔代数表示定理，展示如何将抽象的布尔代数与其上的特征函数空间联系起来，这在数理逻辑的语义学中至关重要。此外，我们讨论有界格在描述依赖关系和信息流中的应用。 在离散概率方面，我们的视角侧重于随机过程在离散状态空间上的演化。马尔可夫链是重点分析对象。我们详尽推导了平稳分布的存在性条件（遍历性和非周期性），并解释了如何利用转移矩阵的特征向量来预测系统的长期行为。特别地，我们将分析吸收马尔可夫链，计算达到特定状态的平均吸收时间，这在模型化网络故障恢复或状态转移系统中极为关键。 最后，本章会涉及生成函数（Generating Functions）的代数操作。生成函数被视为编码无限序列的“工具”，我们侧重于它们在求解线性递推关系（如斐波那契数列的高阶推广）中的应用，并探讨其与积分变换（如Z变换）的联系，以展示离散与连续数学工具的统一性。 结论 本书力求在理论的深度和应用的广度之间取得平衡，为读者构建一个坚实的离散结构化思维框架，使其能够处理和分析现代信息科学中的复杂离散问题。全书的论证过程严密，数学推导详尽，旨在培养读者对抽象结构进行形式化建模的能力。

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读完《组合学讲义》，我感觉自己仿佛经过了一场精妙的思维训练。这本书不仅包含了丰富的组合学知识，更重要的是，它训练了我的逻辑推理能力和抽象思维能力。作者在讲解过程中，非常注重引导读者思考“为什么”，而不是简单地给出“是什么”。例如，在讲解鸽巢原理的多种变体时，作者会先提出一个直观的问题，然后引导读者思考如何用数学语言来描述这个现象，最终得出通用的原理。这种启发式的教学方式，让我受益匪浅，也让我明白了数学学习的真正乐趣在于探索和发现。书中关于常系数线性递推关系与生成函数的联系，更是让我看到了数学中不同概念之间奇妙的相互转化和联系。

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《组合学讲义》的出版，无疑为广大数学爱好者和学习者提供了一份宝贵的资源。我作为一个对数学理论有着浓厚兴趣的普通读者，一直以来都觉得组合学是一个既吸引人又有些难以捉摸的领域，而这本书的出现，极大地弥补了我在这一方面的知识空白。作者的叙述条理清晰，逻辑严谨，每一个概念的定义都准确无误，每一个定理的证明都滴水不漏。我特别欣赏书中对一些经典组合计数问题的详细分析，例如卡特兰数的各种不同解释和应用，以及斯坦纳树问题的一些初步探讨，这些内容不仅拓展了我的视野，更让我体会到组合学思想的博大精深。书中的插图和图表也运用得恰到好处，辅助理解复杂的概念，使得阅读过程更加轻松愉快，让我能够更专注于数学本身的魅力。

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在阅读《组合学讲义》的过程中，我最深的感受就是作者对于细节的极致追求。每一个数学符号的引入，每一个公式的推导，都经过了反复的斟酌和打磨，力求达到最严谨和最清晰的表达。这种严谨的学术态度，对于一个数学学习者来说，是极其宝贵的。我尤其喜欢书中关于图论在组合学中的应用的章节，作者将图论的语言巧妙地融入到组合计数问题中，比如利用路径计数来解决某些排列问题，或者利用图的连通性来分析组合结构。这种跨领域的知识融合，极大地丰富了我解决问题的工具箱，也让我对数学的整体性有了更深刻的认识。书中的一些证明技巧，如数学归纳法、反证法等，都被作者运用得炉火纯青，并且在实际问题中得到了充分的展示。

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这本书的魅力在于它不仅仅是一本枯燥的数学教材，更像是一位经验丰富的老师，循循善诱地引导我一步步走进组合学的殿堂。作者的语言风格非常亲切，即使是对于一些看起来颇为复杂的数学思想，也能用通俗易懂的语言加以解释，让人感觉学习过程并没有想象中那么困难。我尤其喜欢书中对组合学历史和应用背景的介绍，这让我了解到这些数学工具是如何在现实世界中发挥作用的，例如在计算机科学、概率论、甚至生物学领域，组合学都扮演着重要的角色。这种理论与实践相结合的方式，极大地提升了我学习的积极性和对学科的认同感。书中关于生成函数的部分，更是让我眼前一亮，通过将计数问题转化为代数问题，为解决一些看似棘手的组合问题提供了全新的视角和强大的工具，我尝试着运用这些方法解决了一些课后习题，感觉茅塞顿开，成就感倍增。

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读完《组合学讲义》这本书，我的脑海里仿佛被打开了一扇新世界的大门，无数奇妙的计数问题在眼前展开，从简单的排列组合到复杂的生成函数和图论，作者以一种极其清晰且富有启发性的方式，将这些抽象的概念一一解构，又巧妙地将它们编织在一起，形成了一幅宏伟的数学画卷。我特别欣赏书中在引入新概念时所采用的循序渐进的教学法，每一个定理的推导都充满了细节，每一个例子的选取都恰到好处，既能巩固前方的知识，又能为后续的学习铺垫。例如，在讲解容斥原理的时候，作者不仅给出了严谨的数学证明，还辅以多个生动形象的例子，让我深刻理解了如何利用“排除错误”的方法来解决复杂计数问题，这对于我这样初次接触组合学的读者来说，无疑是巨大的福音。书中的习题设计也同样出色，从基础的计算题到具有挑战性的证明题，难度梯度合理，能够有效检验我是否真正掌握了所学内容，同时激发了我进一步探索的欲望。

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这是一本让我既敬畏又着迷的书。《组合学讲义》不仅仅是在教授知识，更是在传授一种数学思维方式。作者在书中反复强调了“计数”的核心思想，并由此引申出各种精妙的计数方法。我从这本书中学到的最重要的一点是，很多看似复杂的问题，都可以通过巧妙地设计计数策略来解决。例如，书中对二项式定理及其推广的讲解，以及与组合数恒等式的联系，让我深刻体会到了数学的统一性和和谐之美。作者在讲解过程中，没有回避一些较为困难的证明，而是迎难而上，用清晰的思路和严密的逻辑引导读者一步步攻克难关，这种教学方式极大地增强了我的自信心和解决数学难题的能力。

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《组合学讲义》是一本让我爱不释手的书。作者以一种极具艺术性的方式，将看似零散的组合学知识点串联起来，形成了一个有机整体。我最欣赏的一点是，书中对不同计数方法的比较和分析，作者会指出每种方法的优劣之处，以及适用于哪些类型的计数问题。这使得我在面对新的组合问题时，能够更加有针对性地选择合适的工具。例如，书中在讲解多重集排列和组合时，就清晰地对比了利用生成函数和利用分类讨论的思想来解决问题的过程，让我能够从不同角度理解同一个问题。书中的一些例子，如扑克牌的各种组合、棋盘上的路径问题等，都非常贴近生活，增强了我学习的趣味性。

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这本书给我最大的启发在于，它让我看到了数学在解决现实世界问题中的强大力量。《组合学讲义》不仅仅局限于纯粹的数学理论，更注重展示组合学在各个领域的应用。作者通过引入诸如杨氏 tableaux、Polya计数定理等进阶概念，让我了解到组合学在对称性分析、化学结构计算等领域的广泛应用。这种宏观的视角，极大地激发了我对组合学进一步深入研究的兴趣。书中关于回文数、素数分布等一些有趣的数学猜想和问题的组合学解释，也让我感受到了数学的魅力所在，不仅仅在于它的严谨性，更在于它的启发性和探索性。

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《组合学讲义》的阅读体验是一次愉快的数学之旅。作者以一种饱满的热情和严谨的态度，向读者展示了组合学的奇妙世界。我尤其喜欢书中对“对象”和“结构”之间关系的深入探讨。作者通过对各种组合对象的构造和计数，帮助我理解了数学对象的内在结构以及它们之间可能存在的各种联系。例如，在讲解子集系统和 Sperner 定理时，作者就清晰地阐述了集合的子集之间如何形成一种偏序关系，以及如何在这种关系下进行计数。书中的一些关于组合恒等式的证明，如 Vandermonde 恒等式，就采用了多种不同的方法来证明，这让我体会到了数学证明的多样性和灵活性，也让我更加深刻地理解了数学证明的本质。

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我必须说，这本《组合学讲义》是我近年来读过最令我印象深刻的数学书籍之一。它以一种前所未有的深度和广度，系统地阐述了组合学的基本原理和重要方法。作者在讲解过程中，充分考虑到了读者的理解能力，避免了不必要的专业术语堆砌，而是力求用最简洁明了的语言解释最深刻的数学思想。书中关于组合对象的编码和计数，以及它们之间的双射关系，是我学习的重点和难点，但通过作者的层层剖析，我逐渐掌握了理解和运用这些方法的核心思想。尤其值得一提的是，书中对一些进阶主题的触及，例如偏序集、组合代数等，虽然篇幅不长，但足以勾起我对更深入学习的兴趣，让我意识到组合学的研究领域远比我最初想象的要广阔得多。

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国内最好的组合数学教材

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印象深刻的是从广义容斥原理到偏序集上的莫比乌斯反演的过渡讲的很细致

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