Iterative Krylov Methods for Large Linear Systems pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Cambridge Univ Pr

作者:Vorst, Henk A.Van Der

出品人:

页数:236

译者:

出版时间:2003-4

价格:$ 120.90

装帧:HRD

isbn号码:9780521818285

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• Krylov subspace methods
• Iterative methods
• Linear algebra
• Large-scale systems
• Numerical analysis
• Scientific computing
• Matrices
• Preconditioning
• Convergence analysis
• Computational mathematics

线性代数与数值分析前沿进展：大型稀疏系统求解的理论与实践 图书名称： 线性代数与数值分析前沿进展：大型稀疏系统求解的理论与实践 (Tentative Title: Advances in Linear Algebra and Numerical Analysis: Theory and Practice for Solving Large Sparse Systems) 图书简介 本书聚焦于当代科学计算与工程模拟领域中至关重要的一个核心议题：如何高效、稳定地求解包含数百万甚至数十亿未知量的大型稀疏线性代数方程组 $Amathbf{x} = mathbf{b}$。在诸如计算流体力学（CFD）、有限元分析（FEA）、量子化学模拟、大规模数据分析以及网络科学等诸多前沿领域，方程的系数矩阵 $A$ 往往具有显著的稀疏性，然而其规模之庞大使得传统的稠密矩阵算法彻底失效。本书旨在系统梳理和深入剖析针对这类问题的理论基础、算法设计、高性能实现以及实际应用中的挑战与对策。 本书结构严谨，内容覆盖面广，从扎实的数学基础出发，逐步深入到最前沿的迭代方法和预处理技术，并辅以大量的实例分析和计算实验，以期为研究生、科研人员以及从事高性能计算的工程师提供一本全面且实用的参考书。 第一部分：基础回顾与问题设定 本部分首先为读者奠定坚实的理论基础，并清晰地界定大型稀疏系统求解的特殊性。 第一章：大型稀疏系统的背景与挑战 详细探讨稀疏矩阵的定义、存储格式（如CSR、CSC、COO等）及其在内存和计算效率上的优势。分析大型系统在实际应用中产生的来源，例如偏微分方程的离散化，并阐述直接法（如LU分解、Cholesky分解）在处理超大规模稀疏系统时面临的内存爆炸（Fill-in）和计算复杂度瓶颈。明确迭代法的必要性及其核心思想——通过迭代逼近精确解，避免对矩阵进行完整的分解。 第二章：矩阵性质与收敛性分析 深入探讨影响迭代算法性能的关键矩阵特性。重点分析矩阵 $A$ 的谱性质（特征值分布）、对称性、正定性、以及条件数 $kappa(A)$ 对收敛速度的决定性影响。介绍矩阵分解理论在预处理中的理论意义，例如代数施瓦茨分解（Algebraic Schwarz Decomposition）的理论基础。 第二部分：迭代求解器的理论基石 本部分是全书的核心，系统介绍两类主要的迭代求解范式：经典迭代法与投影法。 第三章：经典迭代法（Stationary Methods）的深入剖析 对雅可比（Jacobi）、高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）方法进行详尽的数学推导和收敛性分析，特别是针对对角占优矩阵和对称正定矩阵的情况。引入残差的局部收敛率概念，并探讨这些方法的局限性——通常收敛缓慢，难以应用于一般病态问题。 第四章：Krylov子空间方法的核心构建 详细阐述Krylov子空间 $mathcal{K}_m(A, mathbf{r}_0) = mathrm{span}{mathbf{r}_0, Amathbf{r}_0, ldots, A^{m-1}mathbf{r}_0}$ 的数学构造和性质。重点分析Arnoldi过程和Lanczos过程的数学原理，解释它们如何通过正交化步骤（或半正交化）在低维子空间内寻找最优近似解。 第五章：单层Krylov子空间方法 全面介绍基于Arnoldi过程的非对称系统求解器： GMRES (Generalized Minimum Residual Method): 详细阐述其迭代步骤，包括Hessenberg矩阵的构造、QR分解的数值稳定性，以及如何通过截断GMRES（Restarting GMRES）策略来控制内存消耗。深入分析重启策略对收敛路径的影响及优化。 Lanczos方法及其变体: 针对对称正定系统，详细介绍基于Lanczos过程的共轭梯度法（CG）的理论和算法实现，分析其最优性准则。 第六章：双层Krylov子空间方法（适用于非对称系统） 探讨在不要求矩阵对称的情况下，如何利用Lanczos过程的思想来构建高效的迭代器： 双共轭梯度法 (BiCG): 阐述其构造双正交基的机制，以及引入伴随向量的必要性。 双共轭梯度稳定法 (BiCGSTAB): 分析BiCG中迭代向量的剧烈振荡问题，重点介绍BiCGSTAB如何通过引入一个稳定因子来平滑迭代过程，并详述其实现细节。 拟最小残差法 (MINRES): 针对对称但可能不保定的情况，介绍其如何结合Lanczos过程与最小二乘思想来求解。 第三部分：加速收敛的利器——预处理技术 本书强调，在大型稀疏问题中，预处理的重要性甚至超越了迭代方法本身。预处理的目标是通过矩阵变换 $P^{-1}A Q^{-1} (Qmathbf{x}) = P^{-1}mathbf{b}$，构造一个条件数远优于 $A$ 的新系统，从而显著加速迭代收敛。 第七章：预处理方法的分类与理论基础 系统分类预处理技术：代数预处理、微分算子预处理（几何多尺度方法除外）。深入探讨预处理器的有效性度量——预处理后矩阵的谱聚类特性。 第八章：代数预处理技术详解 详细介绍最常用的代数预处理技术： 不完全分解（Incomplete Factorizations, ILU/ICCH）： 重点讲解ILU分解中的“丢弃策略”（Drop Tolerance）如何影响分解的精度和存储量。分析不同阶数（$L_k, U_k$）的ILU分解的理论性能界限。 代数施瓦茨方法（Algebraic Substructuring Preconditioners）： 阐述如何通过区域分解和局部求解来构造预处理器，特别是涉及区域重叠和非重叠策略的理论推导。 第九章：多尺度与代数多网格方法 (AMG) 深入研究代数多网格方法，这是解决偏微分方程系统最强大的预处理工具之一。 AMG的数学框架: 解释粗化算子、平滑子和升降算子的代数构建过程，特别是基于强度衰减的插值策略。 标准AMG算法的迭代流程: 分析其递归结构，以及AMG作为一个真正的多尺度求解器的优势所在。 第四部分：高性能实现与未来趋势 本部分将理论与工程实践相结合，探讨如何将这些算法高效地部署到现代并行计算架构上。 第十章：并行化策略与内存管理 讨论稀疏矩阵向量乘法（SpMV）和预处理操作（如ILU的求解阶段）的并行化挑战。介绍基于MPI和OpenMP的混合并行编程模型，以及如何针对大规模非结构化网格优化数据布局以最大化缓存利用率。 第十一章：面向加速器的优化 探讨将Krylov方法和预处理程序移植到GPU等异构计算平台上的关键技术。分析CUDA/OpenCL编程模型下的稀疏矩阵存储优化和算法重构，例如如何并行化Arnoldi/Lanczos过程中的向量正交化步骤。 第十二章：高级主题与研究展望 简要介绍一些新兴的研究方向，包括： 自适应预处理： 动态调整预处理器参数以适应求解过程的变化。 混合精度算法： 利用低精度硬件加速迭代过程，同时保持高精度的解。 深度学习在预处理中的潜在应用 (仅作概述和展望)。 本书的最终目标是使用户能够不仅理解这些方法的“如何工作”，更重要的是理解它们在面对特定物理或工程问题的“何时工作”和“为何有效”。通过对收敛理论的深入剖析和对高性能实现的细致讨论，本书力求成为稀疏系统求解领域不可或缺的参考资料。

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