Handbook of K-Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Friedlander, Eric M. (EDT)/ Grayson, Daniel R. (EDT)/ Friedlander, E. M. (EDT)

出品人:

页数:1187

译者:

出版时间:

价格:$ 157.07

装帧:HRD

isbn号码:9783540230199

丛书系列:

图书标签:

• K-理论
• 代数拓扑
• 同调代数
• 代数几何
• 数学
• 高等数学
• 抽象代数
• 拓扑学
• 数学手册
• 学术著作

拓扑代数的广袤疆域：现代代数K理论的深度探索 图书名称：Algebraic K-Theory: A Modern Exposition 内容概要： 《代数K理论：一种现代阐释》（Algebraic K-Theory: A Modern Exposition）旨在为代数K理论这一在代数拓扑、代数几何以及函数分析等领域占据核心地位的学科提供一套严谨、全面且现代的入门与进阶指南。本书不侧重于某一特定应用分支（如$K$-理论在算术几何中的应用或在算子代数中的体现），而是专注于构建代数K理论本身的基础框架、核心结构及其演化脉络。 本书的叙事结构以数学对象的构造性和同调的视角为驱动力，力图将抽象的概念与具体的构造紧密结合，使读者能够清晰地把握K理论如何从经典的矩阵代数和模的范畴中自然涌现，并最终发展成为一套强大的同调理论工具。全书内容涵盖了K理论的奠基性概念，直至其在当代研究中的前沿进展。 --- 第一部分：基础范畴与模的代数结构 本部分为后续K理论的复杂构造奠定坚实的代数基础，重点关注对K理论至关重要的射影模、秩函数以及张量积的性质。 第一章：预备知识与模的内禀性质 本章首先回顾了环论中的关键概念，特别是局部化、非交换环上的模理论，并引入了Grothendieck群的概念。在此基础上，我们详细讨论了自由模的分解问题以及稳定等价的概念。特别地，我们深入分析了Serre 恒等式在模范畴中的作用，并引入了有限生成射影模的结构理论，这是后续定义$K_0$群的基石。我们着重探讨了Swan定理的非交换版本，为理解几何语境下的K理论提供了代数视角。 第二章：范畴的构建与导出函子 本章转向更抽象的范畴论视角。我们详细讨论了Ab 范畴（Abelian Categories）和Grothendieck 范畴的性质。核心内容在于引入链复形和同调代数的基本工具。我们构建了导出范畴（Derived Categories）的概念，虽然未直接进入$L$-理论或$E$-理论的复杂领域，但导出的视角使读者理解K理论如何成为一个“更高阶”的同调理论成为可能。我们详述了Projective Resolution（射影分解）的唯一性，以及Ext和Tor函子在模范畴中的计算方法。 --- 第二部分：核心结构：K群的定义与基础性质 本部分是全书的核心，集中阐述了代数K理论的两种主要定义——基数 $K_0$ 与秩 $K_1$（及其推广），并展示了它们之间的内在联系。 第三章：$K_0$ 群的正式定义与拓扑连接 我们从稳定同构的角度正式定义了西南环（Southwestern Ring）或称Karoubi环（即矩阵环的直接极限）上的$K_0$群。详细讨论了$K_0(R)$作为稳定射影模集的商群的构造过程。本章深入分析了Trace 映射（迹映射）如何连接代数K理论与拓扑K理论中的Chern character，尽管我们侧重于纯代数的构建，但保留了这一重要的跨领域桥梁。我们利用Cartan-Eilenberg 分解定理来计算某些特殊环（如 $k[G]$）的 $K_0$ 群。 第四章：$K_1$ 群的定义与模的自同构群 $K_1$ 群的定义是建立在线性群 $ ext{GL}(R)$ 上的。本章首先详细探讨了有限生成自由模上的一般线性群 $ ext{GL}_n(R)$ 的性质。我们引入了Milnor 缩并引理的代数前身，即 $ ext{GL}_n(R)$ 趋于无穷时的稳定化性质。随后，我们正式定义了 $K_1(R)$ 为 $ ext{GL}(R) / [ ext{GL}(R), ext{GL}(R)]$（或其更精确的商群定义），并证明了其与模的自同构群的联系。此处强调了Bass 稳定化定理在 $K_1$ 理论中的关键作用。 第五章：Whitehead 群与精确性 本章讨论了 $K_0$ 和 $K_1$ 之间的高阶关系。我们引入了Whitehead 群 $ ext{Wh}(R)$，并探讨了它作为 $ ext{GL}(R)$ 上的商群在几何中的重要性（特别是在纤维化序列中）。我们展示了 $K_1(R)$ 事实上是Reduced Whitehead Group的推广。通过构造Fundamental Triples（基本三元组）和Fibre Sequences（纤维序列），我们阐释了K理论的长正合序列的基本构造，这是K理论进行计算和证明同构关系的核心工具。 --- 第三部分：高阶K理论与构造性工具 本部分将视野拓展到 $K_n$ ($n ge 2$)，并引入了构建这些高阶群的两种主要方法：基于张量积的Cartier 构造和基于链复形的同调构造。 第六章：Cartier 构造与 $K_n$ 的张量积定义 本章聚焦于多线性代数在K理论中的体现。我们从对角映射和张量积的角度定义了高阶K群。详细讨论了代数K理论的Cartier 函子，即从特定范畴到K群的函子，以及它如何满足Mayer-Vietoris型精确性。我们展示了当环 $R$ 满足某些代数条件（如它是正则环）时，由张量积定义的 $K_n$ 群的明确计算。 第七章：Higher Algebraic K-Theory via Cyclotomic Trace 本章探讨了同调方法在定义 $K_n$ 上的应用，这是通往Higher Chow Groups和Beilinson Conjectures的代数路径。我们介绍了Goodwillie 泛函的代数版本——代数微分拓扑的预备知识。核心在于对环的$n$-链复形的定义，以及如何利用Reduced Suspensions（约化悬挂）来生成一个序列，该序列的同调群即为 $K_n(R)$。本章强调了Cyclotomic Trace如何将$K_n$与Hopf代数的结构联系起来，为理解复杂代数结构提供了新的视角。 第八章：代数K理论的结构性统一 本章进行总结与展望，将 $K_0, K_1$ 与 $K_n$ 整合到一个统一的框架下。我们讨论了代数 $K$-理论谱（Algebraic K-Theory Spectrum）的概念，尽管本书主要停留在代数层面，但介绍这一谱的构造（如基于向量空间范畴的稳定化）有助于理解K理论作为稳定同伦理论的地位。我们简要概述了Higher Algebraic K-Theory在同调代数中的应用，例如它如何与Motivic Cohomology（动机上同调）理论相互影响，但不会深入探讨动机空间的具体构造。 --- 结论 本书为读者提供了一条清晰的、自底向上的路径，从基础模论出发，逐步构建出代数K理论的完整体系。重点在于结构的可验证性和计算的可操作性，而非仅仅停留在抽象的同伦理论层面。读者在完成本书学习后，将对代数K理论作为一种强大的、描述代数结构稳定性的同调理论拥有深刻的理解。

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