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☆☆☆☆☆

出版者:Wiley

作者:Deborah Hughes-Hallett

出品人:

页数:528

译者:

出版时间:2006-5-30

价格:USD 30.97

装帧:Paperback

isbn号码:9780471681212

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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• Textbook
• Calculus
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• Differential Calculus
• Integral Calculus
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《线性代数导论：从几何直觉到抽象思维》 作者： [此处可替换为虚构作者姓名] 出版社： [此处可替换为虚构出版社名称] ISBN： [此处可替换为虚构ISBN] --- 内容概述 《线性代数导论：从几何直觉到抽象思维》旨在为读者提供一个坚实且直观的线性代数基础。本书的核心目标是将抽象的代数概念与具体的几何图像和实际应用紧密结合，帮助读者建立起对向量空间、矩阵变换和特征值问题的深刻理解。我们相信，只有当读者能够“看到”这些数学对象在空间中是如何运作的，才能真正掌握线性代数的精髓。 全书内容涵盖了线性代数的经典主题，并以一种循序渐进、强调几何解释的方式展开。我们避免了过早地陷入过于形式化的定义，而是通过大量生动的例子和可视化工具来引导学习。 --- 第一部分：构建基础——向量与线性组合的几何视角 第一章：向量空间的概念基础 本章从欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 入手，详细介绍了向量的几何意义——带有方向和长度的量。我们不仅讨论向量的加法和标量乘法在几何上代表什么（平移与伸缩），更引入了线性组合、生成集合（Span）以及线性相关性的概念。重点在于建立“线性组合即路径”的直观理解。通过二维和三维空间的实例，读者将能轻易想象出由一组向量所张成的所有可能路径构成的子空间。 第二章：子空间、基与维度 在掌握了生成集合后，本章正式引入子空间的概念，特别是像直线、平面这样的关键子空间。我们探讨如何通过求解线性方程组 $Amathbf{x} = mathbf{b}$ 来理解向量空间内的基本结构。至关重要的是，本章引入了基（Basis）的概念，将其定义为“最精简的生成集合”。维度被解释为构成空间的自由度数量。我们详细分析了零空间（Null Space）和列空间（Column Space）的几何意义——它们分别是方程组无解时的“障碍”和所有可能解的“终点集”。对基本定理（如秩-零化度定理）的阐述，均辅以矩阵在空间中进行拉伸、旋转或投影的几何图像。 --- 第二部分：矩阵的力量——线性变换的解析与代数表示 第三章：矩阵与线性变换 本章是全书的转折点，它将矩阵视为一种操作，而非仅仅是数字的矩形数组。我们明确将 $n imes m$ 矩阵 $A$ 定义为从 $mathbb{R}^m$ 到 $mathbb{R}^n$ 的线性变换 $T(mathbf{x}) = Amathbf{x}$。本章详细解析了矩阵乘法在几何上表示变换的复合。读者将学习如何从一个变换（如旋转）的最终效果反推出其对应的矩阵表示。我们深入探讨了可逆性（Invertibility）的几何含义——一个可逆变换不应将空间压扁到低维度，即变换是“一对一且满射”的。 第四章：坐标系与相似性 理解了变换后，本章聚焦于坐标系的选择如何影响矩阵的表示。如果我们在不同的基下观察同一个线性变换，它会以不同的矩阵形式出现。本章的核心是相似变换（Similarity Transformation） $A sim B$（即 $B = P^{-1}AP$），解释了 $P$ 矩阵是如何充当“坐标系转换工具”的角色。这为后续的特征值分析奠定了必要的代数和几何基础，说明了找到一个“好”的坐标系（如对角化后的坐标系）能如何简化对复杂变换的理解。 --- 第三部分：洞察核心——特征值、特征向量与动力学分析 第五章：特征值与特征向量的几何意义 本章是线性代数应用最为广泛的部分。我们引入特征值 $lambda$ 和特征向量 $mathbf{v}$，并将其几何解释为：经过线性变换 $A$ 作用后，方向保持不变的向量。特征值则描述了这些不变方向上向量的拉伸或收缩因子。我们通过大量的二维动态系统例子（如马鞍点、稳定节点）来展示特征向量如何定义系统的“主方向”，即系统演化的主要趋势。本章详细介绍了求解特征方程的代数过程，但始终强调其背后的几何直觉。 第六章：对角化与矩阵函数 对角化被视为将复杂变换分解为其最简单形式的过程。如果一个空间存在一组完整的特征向量作为基，那么在该基下，变换矩阵将变成一个对角矩阵，其对角线元素正是特征值。本章的核心在于展示对角化 $A = PDP^{-1}$ 如何极大地简化矩阵的幂运算 $A^k$ 和矩阵函数的计算。这在分析迭代过程（如马尔可夫链）的长期行为时至关重要，因为系统的长期状态往往被最大的特征值所支配。 --- 第四部分：扩展与深化——内积空间与正交性 第七章：内积、长度与投影 本章将概念从 $mathbb{R}^n$ 扩展到更一般的向量空间，引入了内积（Inner Product），它定义了角度和长度的概念。重点在于正交性（Orthogonality），这被视为向量空间中最“独立”的关系。我们使用几何投影的概念来解释最小二乘法的原理——如何在无法精确解的情况下找到“最佳近似解”。 第八章：正交基与最小二乘 本章介绍了格拉姆-施密特正交化过程（Gram-Schmidt Orthogonalization），它是一种强大的工具，能将任意一组基转化为一组正交基。正交基的优势在于计算的简洁性，例如计算坐标变得非常容易。本章的亮点是再次审视线性最小二乘问题，现在我们将其视为在列空间的子空间上投射向量，并通过正交投影的理论，推导出最小二乘法的精确解。最后，我们讨论了对称矩阵的特殊性质——它们保证总能找到一组完整的正交特征向量，这在物理和工程应用中具有基础性的重要地位。 --- 本书特色 几何先行： 每引入一个新概念（如列空间、特征向量），首先提供其在二维或三维空间中的直观图像。 应用驱动： 内容穿插了图论、数据压缩（PCA的初步概念）、动态系统稳定性分析等实例，展示数学工具的实际效力。 严谨与易懂并重： 在保持数学严谨性的同时，注重概念的流畅解释，避免枯燥的符号推导。 《线性代数导论》是为理工科学生、计算机科学专业人士以及任何希望建立强大数学基础的自学者量身打造的理想读物。通过本书，读者将不再将矩阵视为死板的数字，而是理解它们是描述空间变换和信息处理的强大语言。

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基础太差，找本简单的入门一下，这本看起来比较直观容易懂 第一章好多内容高中就学过了，太简单太稀释了...看得不耐烦

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