具体描述
Addressed to 2nd- and 3rd-year students, this work by a world-famous teacher skillfully spans the pure and applied branches, so that applied aspects gain in rigor while pure mathematics loses none of its dignity. Equally essential as a text, a reference, or simply as a brilliant mathematical exercise. 1971 edition.
《几何分析的基石：黎曼流形上的微积分》 本书简介： 本书是一部深入探讨黎曼几何与微分拓扑交叉领域的权威著作。它旨在为读者构建一个坚实的数学基础，理解如何在光滑流形上进行微分、积分以及更高级的分析运算。与传统的微积分教材不同，本书将视角提升到几何的高度，将向量场、微分形式与流形的内在结构紧密结合，为读者呈现一个既严谨又富有几何直观的分析框架。 核心内容与结构： 全书共分为六大部分，系统地涵盖了从基础概念到前沿理论的多个方面。 第一部分：流形基础与张量代数 本部分奠定了全书的几何基础。我们首先从拓扑空间出发，详细介绍了光滑流形的定义、切空间的概念及其构造。重点阐述了坐标变换下的函数、向量场和张量的表示，强调了它们在坐标选择下保持不变的“几何本体”特性。张量代数部分详述了协变张量、反变张量以及混合张量的运算规则，包括张量积和缩并操作，为后续的微分几何构建了必要的代数工具。此外，书中还引入了光滑函数和向量场的微分运算，为微分形式的引入做了铺垫。 第二部分：微分形式与外代数 这是本书最具几何特色的部分之一。我们引入了微分形式（或称 $k$-形式）的概念，并建立起其在任意维度光滑流形上的严谨定义。书中通过外积（wedge product）构建了微分 $k$-形式的代数结构——外代数 $Lambda^k(T^M)$。我们详细分析了 $p$-形式与 $q$-形式的外积如何生成 $(p+q)$-形式，并着重探讨了楔积的反对称性及其在曲率计算中的关键作用。本部分将外微分算子 $mathrm{d}$ 作为一个结构内在地引入，展示了它如何自然地推广了传统微积分中的梯度、旋度和散度。 第三部分：外微分与德拉姆上同调 本部分是本书的分析核心。我们严格定义了外微分算子 $mathrm{d}$，并证明了其关键性质：$mathrm{d}^2 = 0$。这一性质是连接微分几何与拓扑学的桥梁。基于此，我们引入了闭形式（$mathrm{d}omega = 0$）和正合形式（$omega = mathrm{d}eta$）的概念。通过精确定义德拉姆上同调群 $H^k_{mathrm{d}}(M)$，本书清晰地展示了上同调群如何度量流形“洞”的数目和更高维的拓扑不变量，成功地将拓扑信息编码入了微分结构中。我们详细阐述了 Poincaré 引理及其在 $mathbb{R}^n$ 上的应用。 第四部分：黎曼度量与正交结构 为了在流形上进行长度、角度和体积的测量，我们需要引入黎曼度量 $g$。本部分详细解释了黎曼度量如何作为流形上的一个光滑的、正定的二阶协变张量而存在。在此基础上，我们定义了指标提升与下降、黎曼梯度、以及拉普拉斯-德拉姆算子 $Delta$。重点讨论了通过黎曼度量诱导出的上指标（如上指标的向量场和上指标的微分形式），并展示了如何利用度量定义霍奇对偶（Hodge Duality），从而建立起正合形式与闭形式之间的关系。 第五部分：积分与斯托克斯定理 本部分将理论分析与积分几何联系起来。我们引入了定向的积分概念，即对流形上的一个 $k$-形式在一个 $k$-维定向子流形上的积分。本书的核心成果——广义斯托克斯定理（Stokes' Theorem）被完整地陈述和证明。该定理统一了微积分基本定理、格林定理和高斯散度定理。我们详细分析了该定理在不同维度和不同类型形式上的具体应用，展示了微分形式理论强大的统一性。 第六部分：流、曲率与应用初探 最后，我们探讨了微分形式在动力学和几何曲率研究中的应用。我们分析了向量场的流（Flow）以及如何使用外微分来研究流的保持量。在曲率方面，本书初步引入了黎曼曲率张量 $R_{ijkl}$ 的定义，并展示了如何利用微分形式，特别是曲率形式，来计算著名的陈示性类（Characteristic Classes）的积分形式，例如庞加莱-黎曼-古德曼定理的积分表述。这为读者深入研究杨-米尔斯理论和规范场论等现代物理学中的几何应用打下了坚实基础。 本书特色： 本书的叙述风格严谨，但力求清晰的几何解释。大量配有辅助图形和具体的低维流形（如球面、$n$-环面）实例，帮助读者建立直观理解。它不仅仅是一本关于微分形式的教材，更是一部关于如何在非欧几里得空间中进行“微积分”的全面指南。读者在掌握本书内容后，将能够自信地进入黎曼几何、微分拓扑、以及理论物理中涉及几何分析的任何前沿领域。
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