Fourier Analysis pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:John Wiley & Sons Inc

作者:Stade, Eric

出品人:

页数:520

译者:

出版时间:2005-3

价格:1989.00元

装帧:HRD

isbn号码:9780471669845

丛书系列:

图书标签:

• 傅里叶分析
• 数学分析
• 信号处理
• 工程数学
• 高等数学
• 数值分析
• 通信工程
• 图像处理
• 物理学
• 应用数学

深入探索：现代代数与拓扑结构 副标题：从群论基础到流形上的微分几何 本书导读： 本书旨在为读者提供一个全面且深入的现代代数与拓扑学结构理论的知识体系。我们聚焦于数学的基石——结构、对称性与连续性的概念，并以严谨的逻辑和丰富的实例，引导读者构建起从离散结构到连续空间的统一认知框架。本书的叙事方式力求清晰、流畅，避免生涩的术语堆砌，侧重于概念的内在联系与几何直观的培养。 第一部分：代数结构的基础与拓展 (Foundations of Algebraic Structures) 本部分致力于奠定扎实的群、环、域理论基础，这是理解所有更高级代数结构的关键。 第一章：群论的本质——对称性的语言 本章从对称性的直观概念出发，引入群 (Group) 的严格定义。我们将详细探讨群的基本性质，包括子群、陪集、正规子群和商群的构建。着重分析同态与同构，它们是揭示不同群之间结构相似性的桥梁。 核心内容包括： 循环群与有限群的结构： 熟练掌握拉格朗日定理及其推论，深入剖析 $p$-群的性质。 置换群与伽罗瓦理论的萌芽： 详细分析对称群 $S_n$ 的性质，并引入交错群 $A_n$。通过对 $S_3$ 和 $S_4$ 的具体分解，为后续理解方程根的对称性打下基础。 群作用与轨道-稳定子定理： 这是连接群论与集合论的强有力工具，我们将通过大量的几何实例（如晶体群、多面体的旋转群）来阐释其威力。 Sylow 定理的证明与应用： Sylow 定理是有限群结构理论的顶峰之一，本书将提供清晰的构造性证明，并展示如何利用它来判定某些群是否是简单群。 第二章：环与域——算术结构的泛化 在掌握了群论的抽象框架后，本章将引入第二个基本的代数结构——环 (Ring)。我们探讨加法和乘法运算结合时产生的复杂性。 环的定义与基本概念： 单位元、零因子、整环、域的区分。 理想与商环： 推广了商群的概念，理想在环论中的核心地位。我们将详细考察主理想域 (PID) 和唯一因子化域 (UFD)。 多项式环： 深入分析多项式环 $mathbb{F}[x]$ 的性质，尤其是其作为欧几里得整环的特性。 域的扩张： 域理论是理解代数方程解的关键。本章将构建有限域、代数扩张、分裂域，并为伽罗瓦理论的回归做铺垫。 第二部分：拓扑学的空间与形体 (Topology of Spaces and Forms) 本部分将视角从离散的代数结构转向连续的几何空间，探讨空间的内在属性，这些属性在形变（如拉伸、弯曲）下保持不变。 第三章：点集拓扑——空间的框架 本章是拓扑学的基石，关注于“邻近性”和“连续性”的精确数学表达。 拓扑空间的定义： 从度量空间出发，自然引出开集、闭集的概念。 连续性与拓扑的保持： 定义拓扑连续函数，并讨论开映射、闭映射。 基本拓扑性质： 连通性（路径连通性）、紧致性。我们将深入探讨紧致集的极限序列性质，以及紧致性在分析学中的重要意义。 分离公理： 讨论 $T_1, T_2$ (Hausdorff) 公理，并明确它们在构建复杂空间时的必要性。 第四章：代数拓扑的开端——同伦与基本群 本章将拓扑学与代数结构重新联系起来，通过代数不变量来区分不同的拓扑空间。 空间形变与同伦： 直观理解形变，引入路径与路径的同伦概念。 基本群 (Fundamental Group)： 将闭合路径（环路）的同伦等价类组织成一个群结构。这是第一个非平凡的代数不变量。 覆盖空间理论简介： 介绍如何利用基本群来分析空间的“洞”。通过分析 $mathbb{R}^n$ 上的圆周的覆盖映射，直观理解多对一映射的性质。 第三部分：微分几何的结构——流形与张量场 (Manifolds and Tensor Fields) 本部分将抽象的拓扑空间提升到具有局部坐标结构和光滑结构的层面，为现代物理学和高级几何研究打下基础。 第五章：光滑流形——局部欧几里得空间 本章定义了流形 (Manifold)，它是研究光滑现象的基础。 图册与坐标系： 建立局部坐标系的概念，并定义坐标变换的平滑性要求。 切空间与向量场： 在流形上的每一点，定义切空间 (Tangent Space)，这是理解曲线上“速度”和“方向”的关键。进而定义光滑向量场。 张量场基础： 介绍张量场的概念，从双线性形式的角度理解切空间上的线性泛函，为接触张量和度量张量做准备。 第六章：微分形式与积分的推广 本章探讨在流形上进行积分和微分运算的工具——微分形式。 微分 $k$-形式： 定义局部上的微分形式，并讨论其外积运算 ($wedge$)，展现其反交换性。 外微分 (Exterior Differentiation)： 定义外微分算子 $d$，并证明其满足 $d^2 = 0$ 的关键代数性质。 de Rham 上同调 (概要)： 虽然本书不深入介绍上同调的完整理论，但我们将展示如何利用闭形式和恰当形式来捕捉流形的拓扑特征（例如，证明简单的二维流形上的面积形式的非零性与流形的拓扑性质相关）。 Stokes 定理的流形推广： 将微积分中的格林定理、高斯定理、斯托克斯定理统一于一个简洁而强大的流形上的 Stokes 定理形式。 结论：结构与联系 本书的最终目标是揭示数学不同分支之间的深刻联系。从描述对称性的群论，到刻画连续性的拓扑学，再到赋予空间测量的微分几何，这些看似分离的领域，实则共享着对“结构”、“不变性”和“局部-整体关系”的共同探究。本书为读者提供了驾驭这些复杂结构、进而探索更前沿数学领域的坚实基础。 目标读者： 高等数学专业、理论物理专业本科高年级及研究生，以及任何渴望深入理解现代数学结构核心概念的严肃学习者。 本书特色： 严谨性与可读性的平衡： 确保定理和证明的精确性，同时辅以大量几何直觉的引导。 强调构造性证明： 许多关键结构（如商群、理想、基本群）都通过明确的构造过程来解释。 丰富的交叉示例： 持续将代数概念应用于拓扑和几何问题，强化整体认知。

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