Handbook of Green's Functions & Matrices pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Computational Mechanics

作者:Seremet, V. D./ Sheremet, V. D. (EDT)

出品人:

页数:304

译者:

出版时间:

价格:229

装帧:HRD

isbn号码:9781853129339

丛书系列:

图书标签:

• Green's functions
• Matrices
• Mathematical physics
• Partial differential equations
• Boundary value problems
• Integral equations
• Applied mathematics
• Engineering mathematics
• Scientific computing
• Asymptotic methods

理论物理与应用数学的交叉前沿：结构分析与场论新进展 本书聚焦于现代物理学和工程科学中至关重要的数学工具——特殊函数、积分方程、边界值问题解析解法以及矩阵代数在复杂系统建模中的应用。 本书旨在为高年级本科生、研究生以及从事理论研究和应用开发的专业人员提供一个深入而严谨的理论框架，帮助读者掌握从基本原理到前沿应用的完整知识体系。全书内容经过精心组织，力求在数学的严密性和物理图像的直观性之间取得完美的平衡。 --- 第一部分：特殊函数与积分变换的深入探究 (A Deep Dive into Special Functions and Integral Transforms) 本部分系统回顾并扩展了在解决偏微分方程（PDEs）时不可或缺的特殊函数族系。重点不在于简单罗列公式，而在于理解这些函数在不同坐标系和边界条件下的物理意义及其相互联系。 第一章：正交多项式系统及其性质 本章深入探讨了经典正交多项式，如勒让德多项式、拉盖尔多项式和埃尔米特多项式的生成函数、递推关系和微分方程。我们着重分析了这些多项式在不同权重函数下的完备性，并展示了它们如何自然地出现在球对称、圆柱对称及笛卡尔对称问题（例如量子力学中的势阱问题、静电学中的拉普拉斯方程）的级数解中。内容包括但不限于：三项递推关系的高效计算方法，以及在希尔伯特空间中作为基矢的性质。 第二章：柱面与球面函数的高级应用 本章聚焦于贝塞尔函数（第一类、第二类、修正型）和连带勒让德函数。我们不仅推导了它们的幂级数解和渐近展开，更重要的是，讨论了它们在圆柱和球坐标系下亥姆霍兹方程分离变量解的物理意义。特别地，我们详细分析了费涅尔积分与夫琅禾费衍射理论中贝塞尔函数的使用，以及球谐函数在磁场和电磁波散射问题（如瑞利散射和米氏散射）中的核心作用。章节末尾包含对纽曼函数（第二类贝塞尔函数）在有界区域内奇点处理的严格讨论。 第三章：特殊积分变换的统一视角 本章超越了传统的傅里叶和拉普拉斯变换，引入了梅林变换和汉克尔变换（Bessel Transform）。我们建立了这些变换之间的内在联系，展示了它们在处理卷积、导数和非齐次边界条件时的优势。核心内容包括：通过傅里叶变换将偏微分方程转化为代数方程的系统流程，以及利用汉克尔变换求解轴对称拉普拉斯或泊松方程的实际案例分析，例如在弹性理论中计算平面应力分布。 --- 第二部分：积分方程与边界值问题的解析求解 (Integral Equations and Analytical Solutions to Boundary Value Problems) 本部分将分析的焦点从微分方程转移到等价的积分方程形式，这在处理具有非标准几何形状或复杂介质的物理问题时尤为强大。 第四章：沃尔泰拉与弗雷德霍姆积分方程 本章系统介绍了第二类沃尔泰拉积分方程和弗雷德霍姆积分方程的分类。我们详细推导了巴克勒法（Neumann Series）的收敛性，并展示了如何使用迭代法逼近解。对于齐次弗雷德霍姆方程，重点阐述了其特征值问题（即核函数与特征函数）与原微分方程的本征值问题的对应关系。本章还包括对降阶处理（如将微分方程转化为积分形式）的技巧性介绍。 第五章：希尔伯特核与施密特正交展开 本章深入探讨了在求解Fredholm积分方程中至关重要的施密特（Schmidt）正交分解理论。我们论证了施密特定理在有限维近似下的应用，并讨论了当核函数具有特定对称性（如厄米特性）时，如何利用特征函数构建核函数的展开式。本章的实践性内容集中于如何利用这些展开式高效地求解由电磁散射或量子散射理论导出的积分方程。 第六章：边界积分方程法（BIE）的理论基础 本章是连接理论数学与工程应用的桥梁。我们基于格林的第一、第二恒等式，导出了拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程的边界积分方程形式。重点阐述了如何通过引入单层和双层势（Single and Double Layer Potentials）来将三维或二维问题转化为仅依赖于边界的积分方程。我们将讨论奇异积分的正则化处理方法，例如使用柯西主值积分（Cauchy Principal Value）来确保积分的唯一性定义。 --- 第三部分：矩阵方法在物理建模中的核心地位 (The Central Role of Matrix Methods in Physical Modeling) 本部分从离散化的角度审视上述连续问题，重点关注线性代数在处理大型、稀疏系统中的效能。 第七章：谱方法与大规模矩阵对角化 本章探讨了将连续问题离散化后如何转化为特征值问题 $Amathbf{v} = lambdamathbf{v}$。我们详细分析了有限差分法（FDM）和有限元法（FEM）产生的矩阵结构的特点，特别是对角占优性、对称性和稀疏性。核心内容包括： Krylov 子空间方法（如Lanczos和Arnoldi迭代）在求解大型稀疏特征值问题中的优势，以及如何利用这些方法高效地找到物理系统（如晶格振动或分子轨道）的最低能级或主模态。 第八章：矩阵函数与演化系统 本章关注矩阵指数 $e^{At}$ 在动力学系统描述中的应用，例如在求解常微分方程组 $frac{dmathbf{x}}{dt} = Amathbf{x}$ 时的作用。我们将推导矩阵函数的定义（基于泰勒级数和若尔当标准型），并介绍帕德近似（Padé Approximation）等数值稳定方法来计算矩阵指数，这在模拟时间依赖的薛定谔方程或扩散过程时至关重要。此外，本章还会触及矩阵对数在某些特定控制论问题中的应用。 第九章：张量分析与多维系统的耦合 本章将讨论从向量和矩阵到更高阶张量的推广。重点分析了张量在描述各向异性材料性质（如介电常数张量、应力-应变张量）时的必要性。我们将引入张量代数的基本运算（如张量积、缩并），并展示如何利用张量方法来分析具有复杂内部耦合的系统，例如在磁光效应或压电材料中的耦合场问题。本章强调了张量在保持坐标变换下物理定律形式不变性（协变性）上的核心地位。 --- 总结： 本书的结构设计旨在构建一个从连续域（特殊函数、积分方程）到离散域（矩阵代数、数值迭代）的完整知识链条。读者将不仅掌握求解特定问题的技术，更能深刻理解不同数学工具背后的物理一致性。全书配有大量的推导过程和注释，以确保理论的严谨性。

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