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出版者:Industrial Pr

作者:Stroud, K. A./ Booth, Dexter J.

出品人:

页数:448

译者:

出版时间:2005-1

价格:$ 45.14

装帧:Pap

isbn号码:9780831132088

丛书系列:

图书标签:

• 向量分析
• 数学
• 微积分
• 线性代数
• 高等数学
• 物理数学
• 工程数学
• 数学分析
• 矢量
• 数学教材

空间几何的深邃探寻：一本关于流形、张量与微分几何的著作 本书导言 本书旨在为读者提供一个全面而深入的视角，探索现代数学物理和微分几何的核心——流形理论、张量分析与微分几何的基础。我们避开了传统的、侧重于欧几里得空间中向量演算的叙述方式，转而将重点置于更广阔的、允许空间结构和度量随点变化的抽象框架中。本书的读者群体预期包括高年级本科生、研究生以及希望在纯粹数学、理论物理或应用数学领域打下坚实基础的研究人员。 我们认为，理解物理定律和空间拓扑的本质，需要超越三维笛卡尔坐标系的束缚。因此，本书的叙事线索将围绕“局部与全局的统一”展开，展示如何通过局部坐标系下的微分运算，来描述全局的、内在的几何特性。 第一部分：基础代数与拓扑回顾 在深入研究微分几何之前，我们首先需要回顾一些必要的代数和拓扑概念，但这些回顾将以一种完全面向几何应用的方式展开。 第一章：集合、拓扑空间与连续性 本章从集合论的严谨基础出发，引入拓扑空间的定义，包括开集、闭集、邻域、紧致性与连通性。我们强调拓扑空间在区分几何对象上的作用，例如，如何用拓扑性质来判断一个空间是否可嵌入到更高维空间中，或者其“洞”的数量。重点将放在流形定义所需的局部欧几里得性上。 第二章：线性代数的高维视角：向量空间与子空间 虽然本书不直接关注“向量分析”，但线性代数是理解张量和切空间的基石。本章将复习有限维向量空间、基、线性映射和对偶空间的概念。我们特别关注对偶空间（余向量空间）的结构，这为后续引入微分形式打下基础。我们将讨论基的选取如何影响坐标表示，并引入基变换的雅可比行列式，预示着坐标无关性的重要性。 第二部分：流形的内在几何 流形是本书的核心构建块，它是我们描述弯曲时空和非线性几何的基础。 第三章：光滑流形的构造 本章定义了光滑流形（Differentiable Manifold）。我们详细讨论了“图册”（Atlas）和“坐标卡”（Chart）的概念，以及如何通过“转移映射”（Transition Maps）来确保在不同坐标系下的光滑性。我们将考察重要的例子，如球面 $mathbb{S}^n$、圆环 $T^n$ 以及李群（作为特殊的流形）。对光滑性的要求，即转移映射必须是无限次可微的，是后续所有微分运算得以进行的先决条件。 第四章：切空间与向量场 切空间 $T_pM$ 是流形上每一点的“局部线性近似”，这是进行微分运算的场所。本章严格定义了切向量（通过导数算子或方向导数），并阐述了切空间作为向量空间本身的结构。我们引入向量场，将其视为光滑地指定了流形上每一点的切向量的函数，并讨论向量场的李括号运算，这揭示了向量场之间的非对易性。 第五章：张量代数与张量场 本章是连接线性代数与微分几何的关键桥梁。我们首先定义张量积和张量空间，然后将这些抽象概念具体化到流形上，形成张量场。我们区分协变张量（如微分形式）、反变张量（如切向量）以及混合张量。重点在于张量场的坐标变换法则，强调张量是“几何实体”，其内在性质与所选坐标系无关，这一性质是通过张量的协变性和反变性严格保证的。 第六章：微分形式与外代数 本章引入微分形式（Exterior Forms），它们是张量代数在形式化积分和微分运算方面最强大的工具。我们构建外代数 $Lambda^k(T^M)$，定义楔积（Wedge Product），并详细讨论 1-形式（余向量）和 $k$-形式。微分形式不仅是积分的“拉格朗日量”，更是描述几何测量的抽象语言。 第三部分：微分算子与流形上的积分 在有了光滑结构和张量之后，我们可以定义真正的微分算子。 第七章：外微分与链复合体 外微分 $d$ 是本书中取代传统梯度、旋度和散度的统一算子。本章严格定义了外微分算子，并证明了其核心性质：$d^2 = 0$。我们建立链复形结构，展示了 $d$ 如何自然地将 $k$-形式映射到 $(k+1)$-形式。我们将首次看到德·拉姆上同调（de Rham Cohomology）的萌芽，它通过研究 $d$ 的零空间和像空间的关系，来揭示流形的拓扑结构。 第八章：流形上的积分与斯托克斯定理 本章将经典微积分中的积分概念推广到光滑流形上。我们定义流形上的积分（通过划分单位与局部积分的组合），并讨论定向（Orientation）的重要性。核心内容是广义斯托克斯定理（Generalized Stokes' Theorem），它以简洁的数学语言统一了格林定理、高斯散度定理和经典斯托克斯定理，其形式为： $$int_{partial M} omega = int_{M} domega$$ 这个定理是整个微分几何和拓扑学中最深刻的工具之一。 第九章：黎曼几何的引入：度量与联络 为了赋予流形“距离”和“测地线”的概念，我们需要引入度量张量。本章定义黎曼度量 $g$ 及其诱导的长度和角度概念。然后，我们引入联络（Connection），这是描述向量场平行移动方式的工具。重点讨论 Levi-Civita 联络，它由度量唯一确定，并允许我们定义协变导数和测地线方程。我们将简要探讨曲率张量 $R$，它量化了流形弯曲的程度，是描述几何本质的关键不变量。 结论 本书的旅程是从抽象的拓扑空间出发，构建出允许微分运算的局部结构（流形），随后通过张量代数和微分形式构建起描述几何和物理量的语言，最终通过外微分和广义斯托克斯定理，将局部微分运算与全局拓扑性质联系起来。我们所构建的框架，是描述广义相对论、微分拓扑以及许多现代场论的数学基础。读者将掌握的不是一组孤立的计算技巧，而是一套用于理解高维、弯曲空间本质的强大思维工具。

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