具体描述
《代数拓扑基础：流形、同调与基础群》 内容提要： 本书旨在为数学系高年级本科生和初级研究生提供一套严谨而深入的代数拓扑学导论。代数拓扑学是现代数学中连接代数、拓扑学和几何学的核心分支之一。它通过代数不变量（如群、环和模）来研究拓扑空间的性质，从而使原本直观但难以精确描述的几何概念得以量化和分类。本书聚焦于最基本、最核心的工具——基础群（Fundamental Group）和奇异同调论（Singular Homology Theory）。 第一部分：拓扑空间与连续形变 本书伊始，将以严谨的方式重温并深化对拓扑空间的理解。我们不仅会讨论度量空间上的基础概念，更重要的是引入同胚（Homeomorphism）和同伦（Homotopy）的概念。同伦是代数拓扑学的核心——它描述了空间上连续形变的等价性。通过实例，读者将学习如何判断两个空间是否具有相同的拓扑结构，以及同伦的传递性如何构建出拓扑空间的分类框架。 重点内容包括： 1. 拓扑空间的构造与性质： 紧致性、连通性、路径连通性及其在不同拓扑结构下的表现。 2. 连续映射的性质： 闭合、开性和紧致集的像。 3. 同伦的精确定义： 路径的同伦、映射的同伦，以及它们在保持特定结构时的重要性。 第二部分：基础群（Fundamental Group） 基础群是第一个、也是最直观的代数不变量。它捕捉了一个空间中“洞”或“环路”的结构。本书将详细构造基础群 $pi_1(X, x_0)$，并严格证明其群结构，包括乘法（路径的复合）和单位元（常值路径）。 核心章节将深入探讨基础群的性质： 1. 计算实例： 详细计算圆周 $S^1$、圆盘 $D^2$、环面 $T^2$ 以及实射影平面 $mathbb{R}P^2$ 的基础群。通过这些计算，读者将直观理解基础群在区分不同空间方面的威力。 2. 单连通性： 引入单连通空间的概念，并讨论其在微分几何和复分析中的应用背景（如割线定理）。 3. 覆盖空间理论（Covering Spaces）： 这是基础群理论的精髓所在。我们将定义和分类覆盖映射，并利用提升定理（Lifting Property）来证明关于基础群的几个关键定理，特别是单连通空间的唯一升 M 覆盖空间存在性。 4. 群作用与商空间： 介绍如何利用基础群来分析复杂空间的结构，例如通过分析纤维丛（Fiber Bundles）的基础群序列。 第三部分：奇异同调论的动机与构造 尽管基础群强大，但它无法区分某些拓扑上差异极小的空间（如 $S^2$ 和环面 $T^2$）。同调论应运而生，它提供了一种更强大的代数不变量——同调群 $H_n(X)$。同调群通过研究高维“洞”来弥补基础群的不足。 本部分将从直觉出发，逐步过渡到严谨的代数构造： 1. 链复形（Chain Complexes）： 引入链复形的代数结构，包括边界算子 $partial$ 的定义及其关键性质 $partial circ partial = 0$。 2. 奇异单纯形与奇异链群： 定义奇异 $n$-单形 $sigma: Delta^n o X$ 及其形式线性组合构成的奇异链群 $C_n(X)$。 3. 同调群的定义： 定义边界群 $B_n(X)$ 和圈群 $Z_n(X)$，并最终定义同调群 $H_n(X) = Z_n(X) / B_n(X)$。我们将详述为什么链复形中的零映射序列自然地导出了同调群的定义。 第四部分：同调理论的关键性质与计算 在定义了同调群之后，本书将集中于如何有效计算它们，以及它们具备哪些拓扑分类的特性： 1. 同伦不变性： 证明如果两个空间是同伦等价的，则它们的同调群是同构的。这是同调论作为拓扑不变量的基石。 2. 精确性与长正合序列： 介绍相对同调（Relative Homology）的概念，并详细推导 হ্রাস序列（Mayer-Vietoris Sequence）。该序列是计算复杂空间同调群的强大工具，我们将用它来计算球面 $S^n$、楔和环 $X vee Y$ 的同调群。 3. 欧拉示性数（Euler Characteristic）： 利用同调群定义欧拉示性数 $chi(X)$，并证明其具有同伦不变性，特别是对于紧致可定向曲面的欧拉公式。 4. 割点与应用： 讨论如何利用同调群来证明某些空间中不存在连续映射（例如，证明球面上不存在处处不为零的切向量场——布鲁尔定理的同调视角）。 目标读者与准备知识： 本书要求读者对抽象代数（群论、环论基础）和点集拓扑学（拓扑空间、连续性、紧致性、分离公理）有扎实的理解。线性代数（模和矩阵理论）在处理链群和同调群的计算中至关重要。本书旨在提供一个自洽的体系，使读者能够从零开始构建和理解代数拓扑的核心理论，为进一步研究微分拓扑、代数几何或应用数学中的拓扑数据分析打下坚实的基础。全书包含大量习题，旨在巩固理论理解并培养计算能力。
作者简介
目录信息
读后感
评分
评分
评分
评分
评分
用户评价
评分
评分
评分
评分
评分
相关图书
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2026 qciss.net All Rights Reserved. 小哈图书下载中心 版权所有