Numerical Solution of Initial-Value Problems in Differential Algebraic Equations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Society for Industrial & Applied

作者:Brenan, K. E./ Campbell, S. L./ Petzold, Linda Ruth

出品人:

页数:266

译者:

出版时间:

价格:49.5

装帧:Pap

isbn号码:9780898713534

丛书系列:

图书标签:

• 微分代数方程
• 初始值问题
• 数值解
• 常微分方程
• 偏微分方程
• 数值分析
• 数学建模
• 科学计算
• 数值方法
• 工程数学

现代计算方法在常微分方程求解中的应用 作者： 史密斯 (John Smith)，约翰逊 (Alice Johnson) 出版社： 科学技术出版社 出版年份： 2023 页数： 约 650 页 --- 图书简介 本书全面深入地探讨了现代计算方法在求解常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）初值问题中的理论基础、算法设计与实际应用。它旨在为高等数学、应用数学、物理学、工程学以及计算科学领域的学生、研究人员和专业工程师提供一套严谨而实用的工具集，用以理解和解决涉及时间演化系统的微分方程。 全书结构清晰，内容涵盖从基础的数值积分方法到前沿的自适应步长控制和高精度算法，强调理论推导与数值稳定性分析的紧密结合。本书特别侧重于实际计算的挑战，如刚性（Stiffness）问题的处理、误差的估计与控制，以及如何选择最适合特定物理模型的数值方案。 第一部分：常微分方程初值问题的理论基础与基本方法 本部分为后续高级主题奠定坚实的数学基础。首先，对ODE的数学结构和定性分析进行了回顾，重点阐述了解的存在性、唯一性及其稳定性概念，这是数值方法有效性的先决条件。 核心内容包括： 1. 欧拉方法及其变体： 详细介绍了最基本的显式和隐式欧拉公式。着重分析了局部截断误差和全局误差的收敛阶数，并探讨了欧拉方法在简单线性系统上的稳定性区域（Stability Regions）的概念，为理解更复杂方法的稳定性奠定了直观基础。 2. 高阶单步法： 深入研究了龙格-库塔（Runge-Kutta, RK）方法族。书中不仅覆盖了经典的RK4，还系统地推导了二阶、三阶RK方法的构建原理。特别辟章讨论了嵌入式RK方法（如Fehlberg方法和Dormand-Prince方法），这些方法是现代自适应步长算法的核心组成部分。 3. 多步法（Multistep Methods）： 涵盖了阿达姆斯（Adams）系列方法，包括显式和隐式形式的预测-校正（Predictor-Corrector）方案。书中对多步法的局部误差、全局误差以及零稳定性（Zero-Stability）和相合性（Consistency）之间的关系进行了严格的数学证明，并解释了如何通过区域依赖性（Region of Absolute Stability）来评估方法的适用范围。 4. 局部与全局误差分析： 详细阐述了如何利用泰勒展开和局部误差估计来确定数值解与精确解之间的偏差。全局误差的收敛分析方法（如Dahlquist的稳定性等价定理的简化应用）被清晰地展示。 第二部分：刚性系统的处理与现代算法设计 常微分方程中经常出现“刚性”现象，即解中包含快速衰减的成分和相对缓慢变化的成分，这使得传统方法难以在保证精度的同时保持计算效率。本部分专注于解决这类具有挑战性的问题。 刚性系统的数值解法： 1. 刚性系统的定义与识别： 提供了严格的数学定义，并通过特征值分析解释了刚性是如何影响数值积分的。 2. 隐式方法的重要性： 强调了隐式方法（如隐式欧拉法和后向差分公式，BDF）在处理刚性问题时的优越性，并详细分析了其广义稳定域（A-stability）。 3. 后向差分公式（BDFs）： 详细介绍了BDF方法（特别是BDF1到BDF5/6）的推导、它们的稳定性特性，以及在实践中选择合适阶数的重要性。BDF方法因其优秀的稳定性和精度，在工业界广泛应用。 4. 隐式方法中的代数求解： 由于隐式方法需要求解非线性代数方程组，本部分专门讨论了牛顿迭代法、准牛顿法（如Broyden法）在求解这些方程中的应用，以及如何有效地处理雅可比矩阵的计算和稀疏性。 第三部分：步长控制、精度控制与优化 数值积分的效率和可靠性在很大程度上依赖于步长的选择。本部分深入探讨了如何构建高效的自适应步长控制系统。 关键技术点包括： 1. 嵌入式方法与误差估计： 详细解释了如何利用不同阶数的嵌入式方法（例如，一个四阶和一个五阶的RK方法）来估计局部误差，并使用该估计值来指导步长的调整。 2. 步长控制算法： 介绍了标准的比例-积分-微分（PID）控制策略用于步长调整，以确保局部误差保持在预设的容忍度（Tolerance）范围内。同时讨论了拒绝步骤（Rejected Steps）的处理策略和步长限制机制。 3. 刚性与非刚性模式的切换： 探讨了求解器如何自动或半自动地在显式方法（适用于非刚性问题）和隐式方法（适用于刚性问题）之间切换，以实现计算资源的最佳利用。 4. 大规模系统的并行化： 简要介绍了求解大型ODE系统（如大规模动力学模拟）时，数值积分方法的并行化策略，包括时间并行方法和域分解方法。 第四部分：特殊问题的数值处理 本部分关注于超越标准初值问题的特殊情况和实际应用中的常见障碍。 1. 变步长/变阶方法： 介绍了现代ODE求解器（如MATLAB中的`ode45`或C++库中的实现）背后的核心算法，这些算法能够在积分过程中动态调整方法的阶数以匹配局部解的平滑度。 2. 约束条件和积分： 讨论了在求解受附加约束的ODE系统时可能遇到的数值问题，例如能量守恒或轨道约束的保持。虽然本书的核心是ODE初值问题，但会简要对比处理约束问题的数值积分范式。 3. 软件实现与验证： 提供了关于如何选择和使用成熟数值库（如SUNDIALS库的CVODE模块）的实践指导。强调了测试和验证数值解的流程，包括与解析解或高精度参考解的比较。 本书特色： 本书的特点在于其理论的严谨性与实践的指导性相结合。每一章都包含丰富的例题和编程练习，鼓励读者使用MATLAB、Python或C++等工具实现所学算法，并对实际算例的结果进行深入分析。通过对稳定性和收敛性的深入探讨，本书确保读者不仅知道“如何做”，更理解“为什么这样做是正确的”。它为读者提供了构建健壮、高效的常微分方程求解器的专业知识。

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