Optimal Control Theory for Infinite Dimensional Systems pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Birkhäuser

作者:Xungjing Li

出品人:

页数:448

译者:

出版时间:1994-12-22

价格:USD 269.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780817637224

丛书系列:

图书标签:

Optimal Control
Infinite Dimensional Systems
Control Theory
Mathematical Systems
Functional Analysis
Partial Differential Equations
Stability Analysis
Optimization
Engineering
Applied Mathematics

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具体描述

Infinite dimensional systems can be used to describe many physical phenomena in the real world. Well-known examples are heat conduction, vibration of elastic material, diffusion-reaction processes, population systems and others. Thus, the optimal control theory for infinite dimensional systems has a wide range of applications in engineering, economics and some other fields. On the other hand, this theory has its own mathematical interests since it is regarded as a generalization for the classical calculus of variations and it generates many interesting mathematical questions. The Pontryagin maximum principle, the Bellman dynamic programming method and the Kalman optimal linear quadratic regulator theory are regarded as the three milestones of modern (finite dimensional) control theory. Since the 1960s, the corresponding theory for infinite dimensional systems has also been developed. The essential difficulties for the infinite dimensional theory come from two aspects: the unboundedness of the differential operator or the generator of the strongly continuous semigroup and the lack of the local compactness of the underlying spaces. The purpose of this book is to introduce optimal control theory for infinite dimensional systems. The authors present the existence theory for optimal control problems. Some applications are also included in this volume.

现代控制理论的基石：有限维系统的最优控制一部全面而深入探讨有限维动态系统最优控制理论的权威著作。本书旨在为控制理论、应用数学、系统工程以及相关领域的研究人员、工程师和高级学生提供一个严谨且全面的框架，用于理解和解决有限维线性与非线性系统的最优控制问题。我们聚焦于那些状态空间由有限个实数描述的系统，这些系统在工程实践中占据了绝大部分的应用领域，从经典的飞行器导航到复杂的化学过程控制。核心内容概述：本书的结构围绕最优控制理论的三个核心支柱展开：变分法基础、庞特里亚金最大值原理（PMP）的推导与应用，以及动态规划（Hamilton-Jacobi-Bellman, HJB方程）的精确求解。我们不仅详细阐述了理论推导的每一步，更强调这些数学工具如何转化为可操作的控制策略。第一部分：变分法与最优控制的数学基础本部分首先回顾了解决优化问题的核心数学工具——变分法。我们从欧拉-拉格朗日方程的推导开始，为后续引入控制变量的复杂性打下基础。 1.1 变分法的奠基：深入探讨了泛函的变分、变分法的基本引理，并详细推导了解决固定端点和自由端点问题的变分方程。这部分内容是理解后续所有最优控制方法的理论基石。 1.2 约束条件的引入与拉格朗日乘子法：我们将重点放在将等式和不等式约束引入泛函优化中。通过引入辅助变量（拉格朗日乘子），我们将无约束优化问题转化为更易于处理的结构。对于不等式约束，我们将专门讨论卡鲁什-康-塔克（KKT）条件在最优控制问题中的应用。 1.3 性能指标与状态空间描述：本章将系统的动态特性与性能指标（成本泛函）相结合。我们详细定义了常见的性能指标形式，如二次型成本（LQR的基础）和时间相关成本，并将其转化为标准的变分问题形式。第二部分：线性二次型最优控制（LQR）的精确解析解 LQR是有限维最优控制理论中一个里程碑式的成就，因为它提供了闭环最优反馈律的解析解。本部分将LQR理论系统化。 2.1 有限维LQR问题定义：严格定义了具有连续时间线性动力学和二次型成本函数的LQR问题。 2.2 代数黎卡提方程（ARE）的推导：这是LQR的核心。我们通过将PMP应用于LQR问题，严格推导出著名的代数黎卡提方程。本书将详细展示如何通过分析ARE的解来确定最优反馈矩阵 $K(t)$。 2.3 稳定性和可控性在LQR中的作用：探讨了系统的可控性如何保证ARE存在唯一的、有界的稳定解。此外，讨论了无穷时间LQR问题中极限矩阵的性质及其与稳态反馈增益的关系。 2.4 离散时间LQR：扩展到离散时间系统，详细推导出对应的离散代数黎卡提方程（DARE），并讨论其数值求解策略。第三部分：非线性系统的最优控制——庞特里亚金最大值原理（PMP）对于更一般的非线性系统，PMP是获取最优轨迹和控制的关键工具。本部分是全书的理论核心，侧重于条件的建立和对解析解的探索。 3.1 辅助变量和哈密顿函数：详细构建了有限维非线性系统的哈密顿函数，明确定义了协态变量（或称伴随变量）。 3.2 PMP的严格推导：从变分法的基本概念出发，推导出PMP的三个基本方程组：系统动力学方程、协态方程以及最优控制的条件（最大化/最小化哈密顿量）。 3.3 等式和不等式控制约束下的PMP：重点讨论了当控制输入被限制在一个集合内时，如何应用PMP。特别是对于涉及切换控制（如Bang-Bang控制）的情况，本书将深入分析最优控制函数的结构和切换条件的推导。 3.4 边界条件与两点边值问题（TPBVP）： PMP的直接应用通常归结为一个涉及状态和协态变量的二阶TPBVP。本章详细分析了初始和终端状态约束对协态边界条件的影响，并讨论了数值求解TPBVP的典型方法，如Shooting方法和直接法。第四部分：动态规划与HJB方程动态规划方法，由贝尔曼提出，提供了一种基于价值函数的反馈控制视角。 4.1 最优价值函数的定义：引入最优价值函数 $V(x, t)$，它代表了从状态 $x$ 开始到终止时间所能达到的最小成本。 4.2 Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) 方程：严格推导出有限维系统的HJB方程，这是一个非线性的偏微分方程。本书强调，HJB方程的解（即价值函数）的存在性是实现最优反馈控制的数学保证。 4.3 HJB方程与PMP的联系：探讨在特定条件下（如光滑的价值函数），HJB方程的梯度如何与PMP中的协态变量相关联，揭示了两种主要理论的内在统一性。 4.4 求解HJB方程的挑战与近似方法：鉴于HJB方程的非线性特性，解析求解极其困难。本章将简要介绍针对非线性系统的HJB求解方法，包括线性化技术（如微分动态规划，DDP）和基于近似方法的探索。第五部分：最优控制的数值实现与应用基础本部分将理论框架与工程实践连接起来，侧重于可计算性。 5.1 直接法与间接法的比较：详细比较了直接法（将最优控制问题转化为大型非线性规划问题）和间接法（求解PMP或HJB导出的TPBVP）的优缺点、适用范围和计算复杂性。 5.2 状态约束与惩罚函数法：讨论如何在实际工程中处理难以在PMP中直接处理的路径约束（如状态不能超过某一物理限制）。我们将分析如何使用罚函数或增广拉格朗日方法将路径约束转化为边界约束。 5.3 有限维系统的典型案例分析：通过对经典的悬浮杆问题（Cart-Pole System）和简单的轨道机动问题进行详尽的案例分析，演示如何选择合适的理论工具（LQR、PMP或动态规划）来设计具体的控制律。 --- 本书的特点：本书的叙事风格严谨，逻辑清晰，注重从基本原理出发构建复杂的理论体系。它避免了对无限维系统的引入，专注于有限维系统在数学上的完备性和工程上的可操作性。通过大量的定理、引理和详细的证明过程，读者不仅能掌握“如何做”，更能深刻理解“为什么”是最优的。这是一本为追求理论深度和工程精度而设计的控制理论进阶参考书。