Knot Theory and Its Applications pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Murasugi, Kunio

出品人:

页数:354

译者:Kurpita, Bohdan I.

出版时间:1996-6

价格:$ 90.34

装帧:HRD

isbn号码:9780817638177

丛书系列:

图书标签:

Knot theory
Topology
Mathematics
Applications
Geometric topology
Low-dimensional topology
Braids
Link theory
Quantum topology
DNA topology

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具体描述

Knot theory is a concept in algebraic topology that has found applications to a variety of mathematical problems as well as to problems in computer science, biological and medical research, and mathematical physics. This book is directed to a broad audience of researchers, beginning graduate students, and senior undergraduate students in these fields. The book contains most of the fundamental classical facts about the theory, such as knot diagrams, braid representations, Seifert surfaces, tangles, and Alexander polynomials; also included are key newer developments and special topics such as chord diagrams and covering spaces. The work introduces the fascinating study of knots and provides insight into applications to such studies as DNA research and graph theory. In addition, each chapter includes a supplement that consists of interesting historical as well as mathematical comments. The author clearly outlines what is known and what is not known about knots. He has been careful to avoid advanced mathematical terminology or intricate techniques in algebraic topology or group theory. There are numerous diagrams and exercises relating the material. The study of Jones polynomials and the Vassiliev invariants are closely examined. "The book ...develops knot theory from an intuitive geometric-combinatorial point of view, avoiding completely more advanced concepts and techniques from algebraic topology...Thus the emphasis is on a lucid and intuitive exposition accessible to a broader audience...The book, written in a stimulating and original style, will serve as a first approach to this interesting field for readers with various backgrounds in mathematics, physics, etc. It is the first text developing recent topics as the Jones polynomial and Vassiliev invariants on a level accessible also for non-specialists in the field." -Zentralblatt Math

《数学之舞：拓扑、几何与现代物理的交汇》内容简介本书是一部面向高等院校数学系本科高年级学生及研究生，旨在全面、深入地探讨现代拓扑学、微分几何与代数结构之间复杂而迷人的相互作用的专著。我们旨在超越基础的拓扑概念，带领读者进入连接纯粹数学与理论物理前沿的研究领域，重点关注那些对理解复杂系统和高维空间结构至关重要的核心工具和思想。本书结构严谨，逻辑清晰，分为四个主要部分，层层递进，引导读者建立起坚实的理论基础并探索前沿应用。第一部分：拓扑空间的精炼与延展本部分首先对一般拓扑空间进行一次深刻的回顾与提升。我们不再满足于连通性、紧致性等基本性质的定义，而是将重点放在更精细的结构上，如均匀性（Uniformity）和完备性（Completeness）在度量空间和函数空间中的关键作用。我们将详细阐述巴拿赫不动点定理及其在微分方程解的存在性与唯一性证明中的应用，这为后续引入更抽象的几何结构提供了必要的分析基础。随后，我们引入代数拓扑的基石——同调论（Homology Theory）。本书详细介绍了单纯复形（Simplicial Complexes）的构建，并严格推导了奇异同调（Singular Homology）的构造及其维纳斯-塞弗特长正合序列（Mayer-Vietoris Long Exact Sequence）。我们将此工具应用于计算经典几何对象的拓扑不变量，例如球面、环面以及更复杂的流形上的贝蒂数（Betti Numbers）。对万有系数定理（Universal Coefficient Theorem）的深入剖析，将揭示拓扑不变量中代数结构（如挠率系数）的深刻意义。第二部分：微分几何的广阔疆域在建立了坚实的拓扑基础后，本书迅速过渡到对微分流形（Differentiable Manifolds）的研究。我们首先精确定义了光滑结构（Smooth Structure），并详细讨论了切空间（Tangent Spaces）、向量场（Vector Fields）以及张量场（Tensor Fields）的概念。核心章节聚焦于微分形式（Differential Forms）和外代数（Exterior Algebra）。我们构建了楔积（Wedge Product），并清晰地阐述了外微分（Exterior Differentiation）的性质，特别是德拉姆定理（de Rham’s Theorem）的精确表述及其在拓扑学中的决定性意义——证明了德拉姆上同调与奇异同调之间存在自然的同构。在几何方面，本书深入探讨了黎曼几何（Riemannian Geometry）的基础。我们将定义黎曼度量（Riemannian Metric），并推导出列维-奇维塔联络（Levi-Civita Connection），重点分析测地线（Geodesics）的运动方程。此外，我们还引入了曲率（Curvature）的概念，包括黎曼曲率张量、里奇曲率（Ricci Curvature）和斯卡拉曲率（Scalar Curvature），并讨论了爱因斯坦流形的初步性质。第三部分：代数与几何的深度融合本部分是连接拓扑不变量与抽象代数的桥梁。我们从李群（Lie Groups）和李代数（Lie Algebras）的理论出发，探讨它们在对称性分析中的核心作用。我们详细阐述了如何通过指数映射（Exponential Map）在局部将李群结构与其线性化的李代数结构联系起来，并分析了如 $SU(2)$、$SO(3)$ 等经典李群的拓扑性质。接着，本书转向纤维丛（Fiber Bundles）理论。我们将向量丛（Vector Bundles）、主丛（Principal Bundles）的概念系统化，并重点分析联络（Connections）和曲率（Curvature）在丛结构中的作用。通过陈-西蒙斯形式（Chern-Simons Forms）的构造，我们展示了如何利用高维微分形式来定义规范理论中的拓扑不变量。陈类（Chern Classes）作为向量丛的基本拓扑不变量，其通过陈-韦伊同态（Chern-Weil Homomorphism）与微分几何中的曲率紧密相连的机制，将在本书中得到详尽的推导和阐释。第四部分：应用前沿的初步探索最后一部分将理论应用于现代科学的几个关键领域，展示了上述抽象工具的强大威力。 1. 经典场论的几何化：我们使用辛几何（Symplectic Geometry）的语言来描述哈密顿力学，重点分析泊松括号（Poisson Brackets）在辛流形上的几何起源。 2. 拓扑量子场论（TQFT）的萌芽：简要介绍阿蒂亚-维滕对TQFT的深刻见解，并探讨三角化（Triangulations）和张量网络在低维流形上的不变量计算中的作用，为读者理解拓扑序和量子计算中的几何约束提供概念框架。 3. 几何分析简介：本书以一个关于杨-米尔斯理论（Yang-Mills Theory）在四维流形上的几何基础结尾，介绍规范场（Gauge Fields）的概念，并讨论其能量最小化问题（即霍奇理论在规范场理论中的应用），为有志于进入数学物理深层研究的读者指明方向。本书的叙述风格旨在保持数学的严谨性，同时不失启发性。每章后附有大量精选的练习题，难度从基础巩固到研究性问题不等，旨在帮助读者内化复杂的概念。本书假设读者已掌握经典分析、线性代数及基础代数和拓扑学的知识。它不仅是数学专业的必备参考书，也是物理学、理论计算机科学中研究几何结构的学者的重要资源。