Mellin Transform Method for Integral Evaluation pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Morgan & Claypool

作者:Fikioris, George/ Balanis, Constantine (EDT)

出品人:

页数:80

译者:

出版时间:

价格:742.55元

装帧:Pap

isbn号码:9781598291841

丛书系列:

图书标签:

• Mellin变换
• 积分计算
• 复分析
• 特殊函数
• 渐近分析
• 数学分析
• 积分技巧
• 变换方法
• 应用数学
• 高等数学

《积分求值的新视角：理论与应用》 内容简介 本书旨在为读者提供一个理解和掌握高等积分计算的全新视角，重点关注那些传统方法难以解决的复杂积分问题。我们深入探讨了积分的本质、各种先进的求值技术，以及它们在物理学、工程学和纯数学中的实际应用。本书内容结构严谨，逻辑清晰，力求在理论深度与实用性之间取得完美平衡。 第一部分：积分基础的重塑与深化 本书首先回顾了微积分中的定积分与不定积分概念，但我们并未停留在基础层面。我们将重点放在对积分本身的深刻理解，特别是积分作为连续求和的几何和物理意义。 广义积分的边界： 我们探讨了勒贝格积分（Lebesgue Integration）的基本思想，解释了它与黎曼积分（Riemann Integral）的本质区别，并展示了勒贝格积分在处理不连续函数和序列收敛时的优越性。 测度论的桥梁作用： 简要介绍测度论的基础概念，阐明了测度如何为积分运算提供更坚实的数学基础，尤其是在函数空间的研究中。 特殊函数与积分的关联： 详细分析了伽马函数（Gamma Function）、贝塔函数（Beta Function）以及误差函数（Error Function）的定义、性质及其在积分表达式中的重要性。我们展示了如何通过构造特定的积分形式来定义和研究这些特殊函数。 第二部分：复变函数积分方法的精粹 复变函数理论是解决许多实变量积分的强大工具。本部分将系统地介绍和应用复分析技术来破解难题。 柯西积分定理与留数定理： 这是复变分析中解决定积分的核心工具。我们不仅讲解了定理本身，更侧重于如何选择合适的积分路径（Contour Selection），特别是处理包含分支点和奇点的复杂积分。大量的实例将展示如何通过精心构造的围道来利用留数定理计算涉及三角函数、有理函数以及带根式的实积分。 傅里叶变换与拉普拉斯变换的积分视角： 我们将傅里叶和拉普拉斯变换视为一种将积分运算转化为代数运算的“积分变换”。深入探讨了这些变换的收敛性条件、逆变换的求解过程，以及它们在求解常微分方程和偏微分方程中的应用，其中积分的计算是连接时域和频域的关键。 奇异积分与主值（Cauchy Principal Value）： 针对积分路径上存在不积分奇点的情况，我们详细解释了柯西主值的概念及其计算方法，这是处理狄拉克δ函数相关积分和物理散射理论中不可或缺的技巧。 第三部分：积分的变分法与泛函分析 本部分将视角从单一的函数积分提升到函数空间中的积分运算，探索变分原理在物理和工程中的核心地位。 变分法的基本原理： 介绍欧拉-拉格朗日方程的推导过程，展示如何通过最小化一个积分泛函来找到描述物理系统的微分方程。这对于理解经典力学中的作用量原理至关重要。 泛函导数与泛函积分： 阐述了泛函导数的概念，并将其应用于优化问题中。我们将研究形如 $int F(y, y', x) dx$ 的泛函的极值问题，并探讨其在曲线上最短路径、最小曲面积等几何问题中的应用。 格林函数方法： 格林函数作为线性微分算子的反算子，其定义本身就是一个积分方程。本书详细阐述了如何利用格林函数来求解非齐次微分方程的积分形式解，这在量子力学和电磁场理论中具有基础性的意义。 第四部分：高级积分技术的专题探讨 本部分聚焦于一些特定领域中高度专业化的积分技巧。 路径积分的概率解释： 虽然路径积分在量子场论中占据核心地位，但本书将侧重于其在概率论和随机过程中的基础应用。我们探讨了维纳测度（Wiener Measure）与路径积分的联系，以及如何利用这些积分来计算布朗运动的统计量。 费曼-狄拉克积分的几何直觉： 介绍费曼路径积分的构思过程，强调将经典运动轨迹扩展到所有可能路径的积分思想，这为理解量子力学的非经典特性提供了直观的入口。 随机变量的积分表示： 在概率论中，期望值本质上就是一个积分。我们探讨了使用特征函数（Characteristic Functions）和累积量生成函数（Moment Generating Functions）来求解复杂随机变量分布积分的方法。 第五部分：实际案例与计算实践 理论必须服务于实践。本部分的案例研究将展示如何综合运用前述技术。 统计物理中的配分函数： 展示如何使用复积分技术和热力学积分来计算理想气体和玻色-爱因斯坦凝聚态的配分函数。 电磁场理论中的惠更斯-菲涅耳原理： 通过积分方程的形式来阐述波的传播，特别是利用泊松积分公式和亥姆霍兹积分公式来确定场分布。 数值积分方法的局限与优势： 在精确解不可得的情况下，我们需要依赖数值方法。本书将分析高斯求积（Gaussian Quadrature）等高精度数值积分技术的理论基础，并讨论其在处理高维积分时的挑战。 总结 本书旨在培养读者对“积分”这一数学工具的全面认知，超越简单的计算技巧，深入理解其在构建现代科学理论中的核心作用。通过本书的学习，读者将能够以更具洞察力的方式面对和解决各种复杂的积分问题。

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