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出版者:Kaplan

作者:Marx, Andrew

出品人:

页数:288

译者:

出版时间:2007-6

价格:$ 12.00

装帧:Pap

isbn号码:9781419593154

丛书系列:

图书标签:

• 代数II
• 高中数学
• 数学学习
• 代数
• 方程
• 函数
• 图表
• 解题技巧
• 复习
• 考试准备

好的，这里有一份关于一本名为《代数几何基础》（Foundations of Algebraic Geometry）的图书简介，旨在详细介绍其内容，且不提及您提到的《Shortcut Algebra II》： --- 《代数几何基础》（Foundations of Algebraic Geometry） 一部严谨而全面的现代代数几何导论 《代数几何基础》是一部旨在为数学专业学生和研究人员提供坚实、现代代数几何框架的著作。本书以详尽的笔触和清晰的逻辑结构，系统地构建了代数几何学的核心概念，从古典代数几何的视角出发，逐步过渡到更现代、更抽象的概貌。本书的编写严格遵循数学推导的严谨性，力求在概念的介绍与技术细节的展示之间达到完美的平衡。 第一部分：预备知识与古典基础 本书的开篇部分着重于为读者打下必要的代数基础。我们首先回顾了环论、域扩张、多项式环的结构，特别是诺特环和阿廷环的性质，这些概念是理解代数簇几何结构的基石。 随后，内容深入到射影空间（Projective Spaces）的构造与性质。我们详细阐述了齐次坐标系、齐次多项式与射影子集的对应关系。特别地，本书对射影簇（Projective Varieties）的定义、闭子集的拓扑性质（如Zariski拓扑）进行了深入探讨。我们详尽地分析了经典代数曲线，如圆锥曲线和三次曲线，在射影平面 $mathbb{P}^2$ 上的表现，并引入了度数（Degree）和相交数（Intersection Numbers）的概念，这些是连接几何直觉与代数计算的桥梁。 第二部分：方案论的引入与基础结构 本书的核心部分致力于引入现代代数几何的基石——方案（Schemes）。我们认识到古典代数簇的局限性，特别是在处理非零特征、奇点或非代数封闭域时遇到的困难，因此，本书采用了格罗滕迪克（Grothendieck）开创的现代方法。 首先，本书详细介绍了预层（Presheaves）和层（Sheaves）的构造，强调了它们在局部信息到全局信息传递中的关键作用。我们清晰地定义了拓扑空间上的层，并对常数层、结构层等基本层进行了细致的讲解。 随后，我们构建了环谱（Spectra of Rings） $ ext{Spec}(R)$，并赋予其Zariski拓扑。这是从代数对象（环）到几何对象（拓扑空间）转化的第一步。接着，本书构建了结构层 $mathcal{O}_{ ext{Spec}(R)}$，从而定义了仿射方案（Affine Schemes）。通过粘合（Gluing）过程，我们将仿射方案推广到一般方案的概念，使读者能够理解如何使用全局、统一的框架来描述几何对象。 第三部分：态射与代数几何的分析工具 在定义了方案之后，下一步是研究方案之间的“连续映射”，即态射（Morphisms）。本书详细定义了方案之间的态射，并分析了其局部性质，例如态射在闭子集上的行为。我们深入探讨了开浸入（Open Immersion）、闭浸入（Closed Immersion）以及同构（Isomorphisms）的性质。 为应对更复杂的几何问题，本书引入了层上同调（Sheaf Cohomology）。我们首先从复形、链复形开始，定义了导出函子 $ ext{R}^i F$。接着，重点讲解了相干层（Coherent Sheaves），它们是研究代数簇局部性质的关键工具。本书通过具体实例，如向量丛的推广——向量束（Vector Bundles），展示了相干层上同调在计算全局截面（如 $ ext{H}^0(X, mathcal{F})$）中的威力，并探讨了$ ext{H}^i$ 理论的退化性质。 第四部分：局部性质与维数理论 本部分的焦点在于代数几何中的局部分析，这对于理解奇点和几何形状的“平滑性”至关重要。我们详细阐述了正规化（Regularity）和奇点（Singularities）的概念，通过局部环 $m/m^2$ 的结构来判断一个点的性质。 随后，本书系统地介绍了维数理论（Dimension Theory）。我们区分了Krull维度和Zariski维度，并论证了在特定条件下（如Noetherian局部环），它们的等价性。对维数的深刻理解，使得读者能够精确地量化几何对象的复杂性。 第五部分：经典理论的现代重述 在奠定了方案论的基础上，本书回顾并用现代语言重新阐述了古典代数几何中的核心定理。 贝祖定理（Bézout's Theorem）：在更广阔的射影环境中，使用相交理论和上同调的工具，对古典定理进行了严谨的证明和推广。 希尔伯特零点定理（Hilbert's Nullstellensatz）：从理想与闭集的对应关系出发，深入分析了代数封闭域上代数簇与理想之间的精确对偶性。 本书的特色与目标读者 《代数几何基础》的撰写目标是成为一本“可以被阅读”的代数几何教材。它避免了过度依赖预先存在的抽象概念，而是通过清晰的构造步骤和丰富的例子来引导读者。本书的例子多来源于经典的二次型、光滑曲线和平面三次曲线，这些例子既具有几何直观性，又能体现现代理论的深度。 本书适合于高年级本科生、研究生以及希望系统性地重温和深化代数几何知识的数学研究人员。掌握微积分、线性代数以及扎实的抽象代数知识（特别是环与域理论）是阅读本书的先决条件。通过本书的学习，读者将能够自信地进入更高级的研究领域，如模空间理论、算术几何或复几何。 ---

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