Recent Developments in Algebraic Topology pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:Amer Mathematical Society

作者:Adem, Alejandro (EDT)/ Gonzalez, Jesus (EDT)/ Pastor, Guillermo (EDT)

出品人:

页数:191

译者:

出版时间:

价格:59

装帧:Pap

isbn号码:9780821836767

丛书系列:

图书标签:

• 代数拓扑
• 拓扑学
• 数学
• 学术著作
• 研究生
• 高等教育
• 同调论
• 上同调论
• 谱序列
• 代数结构

《几何与拓扑的交汇：现代代数拓扑学前沿》 内容概要 本书旨在为代数拓扑学领域的研究人员、高级本科生及研究生提供一个深入探讨该学科前沿发展和核心概念的综合性指南。不同于侧重特定历史发展或基础构建的传统教材，《几何与拓扑的交汇：现代代数拓扑学前沿》将焦点置于二十一世纪以来，代数拓扑学如何与微分几何、代数几何、乃至数学物理等相邻领域深度融合所产生的新兴分支和关键突破。全书结构严谨，内容涵盖了从古典理论的现代化视角重构，到全新理论框架的建立与应用。 第一部分：同伦论的深化与新视角 本部分首先回顾了同伦群、纤维丛理论等经典代数拓扑工具的基础，但很快将重点转向这些工具在现代语境下的演化。 1.1 谱序列的现代应用与计算 详细探讨了谱序列（Spectral Sequences）在解决复杂同调和上同调计算中的核心作用。重点分析了 $E_infty$ 项的结构解析及其在非交换几何、李代数上同调中的具体应用。特别引入了基于导出范畴（Derived Categories）的谱序列构造，这为处理局部-整体问题提供了更强大的代数框架。我们将考察 $ ext{Gottlieb } ell$-层上同调理论的构造及其在不动点定理中的应用。 1.2 稳定同伦论的突破 稳定同调论和稳定上同调论是现代代数拓扑的基石。本章深入剖析了 $E_{infty}$-环谱的理论，特别是在莫拉瓦 $ ext{K}$-理论（Morava K-theory）和各种代数拓扑相关理论之间的精确关系。我们阐述了如何利用复杂上同调理论（Complex Cobordism Theory, $ ext{MU}$）来研究流形上的微分结构和相关的拓扑不变量。此外，对 $ ext{Adams-Novikov}$ 谱序列在计算稳定同伦群中的最新进展进行了详尽的讨论，包括对 $ ext{BP}$ 模块结构的精细分析。 1.3 范畴论在同伦论中的作用 拓扑空间间的映射被提升到函子和自然变换的层面。本节聚焦于高阶范畴论（Higher Category Theory），特别是 $infty$-范畴（$infty$-Categories）和 $infty$-群（$infty$-Groups）的概念。我们详细介绍了由 $ ext{Joyal}$ 和 $ ext{Lurie}$ 发展起来的持续同伦论（Continuity Homotopy Theory），如何将拓扑空间视为某种拓扑上的 $infty$-范畴，以及这一视角如何简化对可微流形上的微分形式理论的理解。 第二部分：流形拓扑与微分几何的融合 本部分关注拓扑结构如何通过微分几何的语言被精确地编码和分析，特别是那些依赖于黎曼度量和曲率信息的理论。 2.1 几何不变量与拓扑 重点分析了希尔伯特（Hirzebruch）的 $chi_y$-属和 $ ext{Signature}$ 定理的现代推广。深入探讨了 $ ext{Chern-Simons}$ 理论在三维流形上的拓扑量子场论（TQFT）中的应用，特别是 $ ext{Witten}$ 经典如何利用量子场论的路径积分对 $ ext{Jones}$ 多项式等经典不变量给出深刻的代数拓扑解释。我们详细论述了 $ ext{Floer}$ 同调理论，特别是在辛拓扑（Symplectic Topology）中的应用，包括$ ext{Gromov-Witten}$ 理论如何通过模空间上的积分来计算拓扑不变量。 2.2 维度的拓扑：低维流形研究 本章聚焦于三维和四维流形的拓扑结构。在三维流形方面，重点解析了 $ ext{Thurston}$ 的几何化猜想的证明所依赖的拓扑工具，如穿刺盘（Punctured Disks）的理论和 $ ext{Cannon}$ 球化定理（Sphere Theorem）。在四维流形上，详细讨论了光滑流形上的拓扑结构与黎曼结构之间的微妙联系，特别是对 $ ext{Donaldson}$ 理论和 $ ext{Seiberg-Witten}$ 不变量的深入剖析，它们如何通过规范场论揭示四维流形的局部结构。 2.3 刚性与形变理论 探讨了拓扑空间（特别是流形）的模空间（Moduli Spaces）的结构。核心内容是空间形变理论（Deformation Theory），分析了在不同拓扑背景下（如辛流形、复流形）稳定结构的形成条件。这包括对 $ ext{Kodaira-Spencer}$ 理论的现代代数几何解释，以及如何利用 $ ext{Obstruction Theory}$ 来确定特定形变的实现性。 第三部分：组合拓扑学的计算范式革新 本部分探讨了如何利用离散结构和计算方法来解决连续空间的拓扑问题，强调了近年来基于计算机辅助证明和离散化方法的进展。 3.1 离散同调理论与拟中心化 详细考察了持久同调（Persistent Homology）理论，它源于数据分析领域，但已成为分析离散点集或单纯复形拓扑特征的强大工具。本节阐述了持久同调如何量化拓扑特征在不同尺度下的“持久性”，并讨论了其在复杂网络分析和高维数据结构提取中的应用。此外，还讨论了$ ext{Simplicial Complex}$ 上的拟中心化（Quasi-centralization）技术，以处理高维单纯复形中的环绕问题。 3.2 代数 $ ext{K}$-理论与拓扑的连接 将代数拓扑的视角转向代数结构本身。详细解释了 $ ext{Bass}$ 稳定代数 $ ext{K}$-理论如何与 $ ext{Milnor}$ 簇（Milnor Fibers）以及相关代数簇的拓扑结构相关联。本章深入研究了$ ext{Quillen}$ 的同调代数 $ ext{K}$-理论构造，并展示了它在研究拓扑空间上层结构（如向量丛的整体分类）中的优越性，特别是在处理 $ ext{CW}$ 复形上的纤维化问题时。 3.3 代数拓扑与范畴表示 本节关注如何用代数结构来精确表示拓扑空间的操作。重点在于拓扑操作的范畴表示，例如如何利用 $ ext{Grothendieck}$ 的 $ ext{topos}$ 理论来构造一个“局部上同调”的框架，使得 $ ext{Sheaf Cohomology}$ 可以直接从拓扑空间本身的内部结构中导出，而不是依赖于外部的覆盖。这部分内容强调了现代代数拓扑学对“结构”而非“点集”的关注。 结论 全书的叙事线索在于展示代数拓扑学已不再是一个孤立的学科，而是一个活跃的、不断吸收新思想和新工具的交叉领域。通过对谱序列的精细化应用、高阶范畴论的引入以及与几何、物理的深度对话，本书描绘了代数拓扑学在解决当前数学中最困难问题中的核心地位。阅读本书将使读者对该领域的前沿挑战和未来发展方向有一个全面的把握。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆