Leray-Schauder Type Alternatives, Complementarity Problems and Variational Inequalities pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Isac, George

出品人:

页数:354

译者:

出版时间:2006-5

价格:$ 224.87

装帧:HRD

isbn号码:9780387328980

丛书系列:

图书标签:

• Leray-Schauder
• Complementarity Problems
• Variational Inequalities
• Fixed Point Theorems
• Nonlinear Analysis
• Optimization
• Mathematical Analysis
• Functional Analysis
• Partial Differential Equations
• Applied Mathematics

专题研讨：《数学物理中的边界值问题与非线性分析》 本书导言： 在现代数学物理的广阔图景中，边界值问题（Boundary Value Problems, BVPs）与非线性分析是两大核心支柱，它们交织在一起，构成了对自然界中复杂现象建模与求解的基石。从电磁场的分布到流体力学的湍流，再到量子力学中的薛定谔方程，无不以偏微分方程（PDEs）及其相关的积分方程或变分表述为核心。 本书并非对某一特定经典理论（如拓扑度理论或固定点定理的特定应用）进行全面梳理，而是旨在提供一个跨越经典分析、泛函分析与现代数值方法的前沿视野，聚焦于在极端条件下或复杂介质中出现的边界值问题的深入剖析。我们侧重于那些因非线性、不适定性或非光滑性而给传统分析工具带来严峻挑战的领域。 第一部分：现代偏微分方程的函数空间理论与正则性 本部分致力于构建理解复杂PDE解的数学基础。我们不再将重点放在经典Sobolev空间（$W^{k,p}$）的范畴内，而是深入探讨Bessel势空间、Campanato空间以及分数阶导数的更精细结构。 1. 非均匀椭圆型方程的正则性理论： 针对系数依赖于解自身或依赖于路径的椭圆型方程，我们详细分析了如何利用截断方法和逼近技术来建立解的Hölder连续性或更高级别的光滑性。重点讨论了由非光滑边界或不连续介质引起的解的奇性展开。 2. 退化与奇异抛物线方程： 我们考察了形如 $partial_t u - mathrm{div}(a(x,u) abla u) = 0$ 的退化抛物线方程，其中扩散系数 $a$ 可能在特定区域内趋近于零或无穷大。关键在于分析这些方程的弱解、熵解（Entropy Solutions）以及“流动性”解的性质，这些解往往不具备传统意义上的光滑性，其理论基础依赖于粘性方法（Viscosity Solutions）的推广。 3. 调和分析在PDE中的应用： 探讨了Littlewood-Paley分解和Calderón-Zygmund奇异积分算子理论如何被应用于建立对数型或多重对数型正则性估计。这对于处理涉及非局部项（如分数阶拉普拉斯算子）的方程至关重要。 第二部分：非线性泛函分析与不动点方法的深化 超越经典的Banach空间中的简单压缩映射，本部分将分析的焦点转移到更具挑战性的拓扑结构和更弱的收敛概念上。 1. 逼近不动点定理的应用边界： 详细考察了Schauder不动点定理在强非线性系统中失效的区域，特别是当解空间是赋范线性空间但缺乏紧性嵌入时。我们转向度论方法（Degree Theory）在无限维空间中的推广，例如Brouwer度在射影极限上的推广，以处理涉及无限维闭集上的不动点问题。 2. 单调算子理论的局限与扩展： 经典上利用Minty-Brezis技巧处理严格凸泛函的最小化问题。本书进一步研究了拟单调算子（Quasimonotone Operators）的性质，以及在集合值映射（Set-Valued Mappings）框架下，如何利用布尔巴基（Bourbaki）意义下的“紧”概念来保证不动点的存在性，尤其是在Sobolev空间中。 3. 变分极限与 $Gamma$-收敛： 对于涉及微小扰动或多尺度结构的物理系统，其变分能量泛函的极限行为至关重要。我们深入分析了 $Gamma$-收敛理论，用以研究系统在几何或材料参数趋于特定极限时的渐近行为，这与计算微结构（Micostructures）的形成密切相关。 第三部分：不适定问题的处理与现代数值方法 许多物理模型本质上是不适定的（Ill-Posed），其解对初始数据或边界条件的变化极其敏感。本部分探讨了稳定化技术和现代数值离散化的收敛性。 1. 正则化方法的高阶构造： 相比于Tikhonov正则化，本书着重介绍谱正则化和基于信息的正则化（如L-曲线方法的理论基础）。分析了如何选择合适的正则化参数，以在误差估计中平衡拟合误差与扰动误差。 2. 时间反演问题的动力学稳定性： 针对反演问题的热力学和信息论基础，我们使用信息几何的视角来量化系统的不稳定程度，并引入了基于卡尔曼滤波思想的平滑化反演算法，该算法在处理高维噪声数据时显示出优越的性能。 3. 离散化误差分析与高效算法： 聚焦于非光滑问题的有限元方法（FEM）。详细分析了利用混合有限元方法（Mixed FEM）和离散梯度流方法来处理变分不等式离散化后的解的稳定性。特别关注了在处理高频振荡解（如层流或激波）时，传统线性插值基函数所导致的数值耗散问题，并提出了增强/投影技术（Augmented/Projected Techniques）的理论框架。 结论与展望： 本书旨在为高级研究人员和研究生提供一个分析工具箱，使他们能够驾驭那些无法简单通过标准不动点理论或光滑性技术来解决的复杂数学物理问题。它强调了从经典分析到现代泛函分析、再到数值稳定性的完整链条，展示了不同数学分支在解决前沿科学问题时的内在联系和互补性。

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