Stochastic Tools in Mathematics and Science pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Chorin, Alexandre Joel/ Hald, Ole H.

出品人:

页数:155

译者:

出版时间:2006-1

价格:$ 45.14

装帧:Pap

isbn号码:9780387280806

丛书系列:

图书标签:

随机过程
概率论
数理统计
数学工具
科学计算
随机分析
偏微分方程
蒙特卡洛方法
数值模拟
应用数学

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具体描述

"Stochastic Tools in Mathematics and Science" is an introductory book on probability-based modeling. It covers basic stochastic tools used in physics, chemistry, engineering and the life sciences. The topics covered include conditional expectations, stochastic processes, Brownian motion and its relation to partial differential equations, Langevin equations, the Liouville and Fokker-Planck equations, as well as Markov chain Monte Carlo algorithms, renormalization and dimensional reduction, and basic equilibrium and non-equilibrium statistical mechanics. The applications include data assimilation, prediction from partial data, spectral analysis, and turbulence. A noteworthy feature of the book is the systematic analysis of memory effects. The presentation is mathematically attractive, and should form a useful bridge between the theoretical treatments familiar to mathematical specialists and the more practical questions raised by specific applications. The book is based on lecture notes from a class that has attracted graduate and advanced undergraduate students from mathematics and from many other science departments at the University of California, Berkeley. Each chapter is followed by exercises. The book will be useful for scientists and engineers working in a wide range of fields and applications.

好的，这是一本关于偏微分方程（PDE）理论及其在物理学和工程学中应用的图书简介，旨在为读者提供深入的数学基础和解决实际问题的能力，内容详实且专业。 --- 《现代偏微分方程理论与应用：从基础到前沿》内容概述本书旨在全面系统地介绍现代偏微分方程（PDE）的数学理论，并深入探讨其在经典物理学、流体力学、材料科学以及现代金融数学等领域的广泛应用。本书侧重于为研究生和高级本科生提供坚实的数学基础，同时为研究人员提供一个严谨且全面的参考。全书结构清晰，从经典PDE（如拉普拉斯方程、热方程、波动方程）的基础知识和基本解入手，逐步深入到更复杂、更具挑战性的非线性问题和现代分析方法。第一部分：经典偏微分方程的分析基础本部分为全书的理论基石。我们首先回顾必要的泛函分析和测度论背景，为后续的PDE理论分析奠定基础。拉普拉斯方程与椭圆型方程：详细探讨了调和函数的性质，包括最大值原理、平均值定理、以及强大的先验估计（如Hölder连续性）。我们将使用变分法（特别是Sobolev空间）来证明弱解的存在性，并利用正则性理论来讨论解的光滑性。重点解析了边界值问题（Dirichlet问题和Neumann问题）的适定性。热方程与抛物型方程：专注于扩散过程的数学描述。我们将引入热核（Fundamental Solution）的概念，并利用积分方程方法来构造解。抛物型方程的分析关键在于时间变量的处理，本书将详细讨论热方程的初值问题，以及解在$t o infty$时的渐近行为。波动方程与双曲型方程：考察了波传播的数学模型。达朗贝尔公式（D’Alembert’s formula）将作为分析二维和三维波动方程的起点。双曲型方程的特点在于信息的有限传播速度，我们将探讨特征线理论，并深入研究初值问题在Sobolev空间中的解的良好性。第二部分：泛函分析与高级解的存在性理论本部分将视角从基本解推广到更抽象、更强大的分析工具，这些工具对于处理现代PDE，特别是涉及能量最小化或物理量守恒的问题至关重要。 Sobolev空间与弱解：详尽阐述Sobolev空间 $ ext{W}^{k,p}$ 的构造、嵌入定理（Rellich-Kondrachov）以及紧性结果。在此框架下，我们严格定义了椭圆型方程、抛物型方程和双曲型方程的弱解概念，这使得我们可以处理那些在经典意义下不光滑、甚至不存在的解。变分法与能量最小化：介绍函数空间中的直接法（Direct Method），用于证明泛函的极小值（即PDE的弱解）的存在性。我们将分析能量泛函，并展示如何利用Moser迭代、Trudinger不等式等技术来处理非线性项的增长问题。半群理论与演化方程：运用 $C_0$ 连续半群理论来分析线性和某些非线性演化方程（如抛物型方程）的解的存在性、唯一性和连续依赖性。这为理解无限时间内的动力学行为提供了强大的工具。第三部分：非线性偏微分方程的前沿主题现代数学研究的焦点集中在非线性问题上。本部分涵盖了最具挑战性且物理意义最丰富的非线性方程。非线性椭圆型方程：重点分析如 $Delta u + f(x, u) = 0$ 形式的方程。我们将深入研究Navier边界条件下的非线性泊松方程，讨论分歧理论（Bifurcation Theory）在理解解的稳定性变化中的作用。对于临界指数下的非线性项，我们将展示如何利用临界点理论来获得多重解。非线性扩散与反应-扩散系统：研究涉及非线性对流或源项的抛物型方程，如Korteweg-de Vries (KdV) 方程和Burgers方程。我们将分析激波（Shock Waves）的形成和传播，以及解的奇性（Singularities）的出现。调和映射方程与几何分析：简要介绍调和映射（Harmonic Maps）在几何学中的应用，探讨其能量泛函，以及解的正则性（如光滑性或可分离奇点的存在性）。第四部分：应用案例与数值方法导论理论的价值在于其应用。本部分将理论与工程和物理实践紧密结合。流体力学方程：详细分析不可压缩 Navier-Stokes 方程。我们将讨论流场解的存在性、唯一性以及湍流现象的数学建模挑战。重点讨论 Leray 弱解的意义以及 $ ext{Re} o infty$ 时的数学问题。方程的奇性分析：探讨解在特定条件下（如高能、高梯度）可能出现的爆破现象（Blow-up Phenomena）。对于常微分与偏微分方程的耦合系统，我们将分析其解的有限时间爆破的临界条件。有限元方法基础：提供求解复杂PDE的数值方法的概览。我们将介绍有限元方法（FEM）的核心思想，包括离散化、形函数和刚度矩阵的构建，以及 Galerkin 近似理论，为读者提供将解析结果转化为实际计算的桥梁。本书特色本书的结构设计旨在平衡理论的严谨性与应用的广度。每章都包含大量的例题和习题，旨在帮助读者巩固和内化抽象概念。我们特别强调了“能量方法”和“先验估计”在PDE分析中的核心地位，这是理解解的稳定性和定性性质的关键。本书适合于已具备微积分、线性代数和初步实分析基础的研究生和高年级本科生。 ---