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出版者:McGraw-Hill Science/Engineering/Math

作者:William E. Howard

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2005-8-19

价格:GBP 64.15

装帧:Paperback

isbn号码:9780073220208

丛书系列:

图书标签:

• Solid Modeling
• CAD
• Geometric Modeling
• Computer Graphics
• Engineering
• Design
• 3D Modeling
• Visualization
• Algorithms
• Mathematics

深入解析几何、拓扑与计算：现代计算机辅助设计（CAD）的理论基石与前沿应用 本书旨在为读者提供一个全面且深入的视角，探索现代计算机辅助设计（CAD）系统的核心理论与技术基础，尤其侧重于构建和操作复杂三维形体所依赖的数学模型。我们不关注具体的软件操作流程，而是深入剖析支撑这些软件高效运行的底层逻辑和算法。 第一部分：几何基础与表示方法 本部分奠定了整个三维建模领域所需的数学和几何框架。我们将从最基础的向量代数和线性代数出发，回顾它们在描述空间关系、变换和投影中的关键作用。 1. 空间几何的数学描述 详细阐述了参数化曲线和曲面的数学定义。重点讨论了Bézier 曲线和B-样条（B-spline）的构造原理，包括控制点、基函数（Bernstein/B-spline基函数）的性质，以及它们如何实现局部控制和光滑连接。引入NURBS（非均匀有理B-样条），作为描述工程和自由曲面几何的黄金标准，解析其有理分母如何赋予模型对圆锥曲线的精确表达能力。 2. 曲面表示与插值 本章深入探讨了如何利用一组离散数据点来重构光滑的几何实体。我们分析了不同的插值和逼近方法，如Lagrange插值、样条插值等，并对比了它们在精度、稳定性和计算复杂度上的优劣。此外，详细剖析了参数化曲面（如双三次Patch）的定义域映射、法线计算以及曲率分析，这些是进行后续光照、渲染和仿真分析的前提。 3. 几何运算的数值稳定性 鉴于计算机浮点运算的固有误差，本节专门讨论了在几何计算中维持数值稳定性的策略。包括如何处理拓扑邻接性的判断、交点计算中的奇异情况处理，以及在迭代算法中如何设置合理的容差标准（Epsilon）以确保几何结果的精确性。 第二部分：拓扑结构与数据组织 单纯的几何描述无法定义一个“实体”——实体需要边界、面、边和顶点构成的结构。本部分专注于研究如何以结构化的方式组织这些元素，以支持高效的集合运算和模型修改。 1. 拓扑数据结构的演进与比较 系统地介绍了表示三维实体的几种主要拓扑结构： 边列表（Edge List）和面列表（Face List）：基础结构及其局限性。 半边数据结构（Half-Edge Data Structure, HEDS）：作为最主流的表示方法，详细阐述了半边、顶点、面对象之间的指针关联性，以及如何通过这些关联快速遍历一个面或一个体的边界。 边面半边结构（Winged-Edge Structure）和Decomposition-based结构：对比分析它们在特定几何操作（如边界查询、修改）中的性能优势。 2. 组合几何的逻辑构建 重点讨论了如何利用拓扑结构来描述和执行组合几何（Constructive Geometry）操作。这包括布尔运算（并、交、差）在拓扑层面上的实现原理，即如何通过交线计算来切割现有的面和边，并重新连接新的拓扑边界。深入探讨了这些运算中“奇异点”和“退化几何”的处理流程。 第三部分：实体建模的数学框架——CSG与B-Rep的深度剖析 本部分将理论应用于实际的实体建模范式，详细解析了两种核心建模技术的工作机制。 1. CSG (Constructive Solid Geometry) 的表示与评估 CSG通过一组布尔运算来组合原始的几何体（如球体、立方体、圆柱）。本章分析了CSG的树状结构表示，并探讨了如何高效地从CSG表达式中提取出精确的边界表示（B-Rep）。这涉及到对树的后序遍历以及如何将两个CSG树的布尔交集转化为它们的几何交集。 2. B-Rep (Boundary Representation) 的完整规范 B-Rep是现代CAD系统中最常用的方法。本节深入研究了Shell（壳）、Face（面）、Loop（环）、Edge（边）、Vertex（顶点）之间的严格拓扑约束，即欧拉公式在三维实体中的应用及其重要性。讨论了如何维护B-Rep模型的一致性，尤其是在进行几何修改（如倒角、圆角）后，拓扑结构必须保持封闭且无冗余。 3. 从B-Rep到网格的转换 在渲染和仿真领域，将精确的B-Rep模型转换为离散的三角网格是必经之路。详细讨论了网格化（Meshing）算法，包括如何根据曲面的曲率和预设的偏差值，自适应地划分表面以生成高质量的三角形或四边形网格。 第四部分：面向特性的建模与可追溯性 现代CAD不再仅仅是生成几何，而是管理“设计意图”。本部分探讨了如何在几何模型中嵌入设计历史和约束信息。 1. 特性建模（Feature-Based Modeling）的抽象 分析了“特征”（如孔、凹槽、拔模）的数学和拓扑定义。特性建模的核心在于将操作与几何实体分离，使其具有语义意义。讨论了如何将一个高层级的特性定义（例如“钻一个直径10mm的通孔”）映射到底层的布尔操作和拓扑修改序列。 2. 约束驱动建模的数学基础 本章聚焦于参数化与约束求解。介绍了将设计关系（如平行、相切、等长）转化为代数方程组的过程。深入分析了约束求解器（Constraint Solver）的工作原理，包括利用雅可比矩阵进行迭代求解（如牛顿法）来满足所有几何约束，从而实现模型的自动更新。 3. 设计意图的可追溯性与模型历史管理 探讨了如何构建一个能够记录所有操作步骤（历史树）的数据结构，以及如何在修改历史树中的早期操作时，自动传播和验证后续操作的有效性。这保证了模型的可修改性（Modifiability）和设计过程的透明度。 第五部分：高级主题与跨领域集成 最后一部分将视角扩展到几何建模在更广阔工程计算中的应用，关注于如何将几何数据有效地与其他工程计算模块对接。 1. 几何容差与可制造性（GD&T）的数字表达 讨论了将传统的几何尺寸和公差（GD&T）符号转化为可计算的数字模型的需求。分析了构造性平面体（Constructive Plane Theory, CPT）等概念，它们如何精确定义被允许的形状和位置偏差，并集成到B-Rep结构中。 2. 几何处理中的并行化与优化 针对大型装配体和复杂曲面的计算需求，本节探讨了如何对几何算法进行并行优化。涵盖了如何对拓扑遍历、布尔运算的分解以及曲面拟合等过程进行任务分解，以便在多核处理器架构上实现加速。 3. 几何与有限元分析（FEA）的接口 详细阐述了从精确CAD模型到有限元网格的转换过程中的挑战，特别是关于网格质量（如高深宽比、负雅可比问题）的控制。讨论了如何利用几何信息（如锐角、曲率变化）指导自动网格划分策略，确保有限元分析的精度。 本书的最终目标是使读者超越对特定软件界面的依赖，掌握驱动所有现代三维几何系统的深层数学原理、数据结构和算法逻辑。

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