A Short Course in Mathematical Methods with Maple pdf epub mobi txt 電子書 下載 在線閱讀 2026

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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Aratyn, Henrik/ Rasinariu, Constantin

出品人:

頁數:700

译者:

出版時間:

價格:58

裝幀:Pap

isbn號碼:9789812565952

叢書系列:

圖書標籤:

• 數學方法
• Maple
• 數值分析
• 微分方程
• 綫性代數
• 復變函數
• 概率統計
• 算法
• 高等數學
• 計算數學

《數學方法入門：代數與微積分基礎》 簡介 本書旨在為初學者提供一個堅實而全麵的數學基礎，重點關注在科學和工程領域應用最為廣泛的代數和微積分核心概念。我們深知，許多跨學科的學習者需要一種既嚴謹又易於理解的入門指南，因此本書的敘事結構和內容組織完全圍繞“直觀理解”和“實際應用”展開。 第一部分：代數基礎與結構 本書的開篇著重於鞏固和深化讀者對基本代數結構的理解。我們並非簡單地重復高中代數知識，而是將其提升到一個更具概念性的層麵，為後續的微積分學習鋪平道路。 第一章：數係的拓展與復數 本章首先迴顧實數係的完備性，隨後引入復數。我們詳細闡述復數的幾何解釋——復平麵上的點和嚮量，以及代數錶示（直角坐標與極坐標）。重點討論瞭復數運算（加、減、乘、除）的幾何意義，特彆是乘法與鏇轉的關係。最後，我們深入探討瞭歐拉公式 $left(e^{i heta} = cos heta + isin heta ight)$ 的推導及其在三角函數簡化和交流電路分析中的強大作用。對根式（如 $n$ 次方根）的討論，特彆是單位根的性質，為信號處理和傅裏葉分析的後續理解奠定瞭基礎。 第二章：多項式與有理函數 本章詳細考察多項式，從基本定義到因式分解的各種技巧（分組、餘數定理、有理根定理）。我們著重分析多項式的根的性質，特彆是實係數多項式中復根的共軛配對現象。有理函數被引入，討論其漸近行為、垂直和水平漸近綫。繪圖技巧被整閤進來，使讀者能夠僅憑代數錶達式預測函數的圖形特徵。 第三章：不等式、集閤與函數關係 我們將不等式的討論從簡單的綫性不等式擴展到涉及絕對值和分式的復雜情況。綫性規劃中的基本不等式係統求解被作為實際應用案例引入。函數部分，我們係統地定義瞭函數的域、值域、反函數、復閤函數，並對幾種關鍵函數族（指數函數、對數函數、三角函數）的性質進行瞭深入比較，強調它們在建模自然現象中的互補性。 第二部分：微積分的基石——極限與連續性 微積分的核心在於“變化”的精確描述。本部分以最嚴格的視角，構建極限這一核心概念。 第四章：極限的精確定義與計算 本章從直觀的“趨近”概念開始，逐步過渡到 $epsilon-delta$ 定義。我們花費大量篇幅通過實例講解如何構造和驗證一個極限。重點討論瞭單側極限、無窮極限以及極限在無窮遠處的行為。對於需要精確論證的讀者，本章提供瞭足夠的代數工具來處理涉及根式和三角函數的復雜極限。 第五章：連續性與中值定理 連續性被定義為極限存在的直接推論，強調函數在某一點的“不間斷性”。我們探討瞭連續函數的性質，特彆是介值定理（Intermediate Value Theorem, IVT）和最值定理（Extreme Value Theorem, EVT），這些定理在證明解的存在性時至關重要。最後，本章引入瞭導數的預備知識——差商的極限，為下一部分做好瞭過渡。 第三部分：微分學——變化率的科學 微分學是關於瞬時變化率的數學。本部分從概念過渡到實際的計算規則。 第六章：導數的定義與基本規則 本章以精確的極限定義開始，定義瞭導數 $f'(x)$。隨後，我們係統地推導和應用基本微分法則：常數法則、冪法則、常數倍數法則、乘法法則、除法法則。一個專門的小節緻力於三角函數的求導，包括 $sin x$ 和 $cos x$ 的精確推導，它們依賴於 $lim_{h o 0} frac{sin h}{h} = 1$ 和 $lim_{h o 0} frac{cos h - 1}{h} = 0$。 第七章：鏈式法則與復閤函數的求導 鏈式法則（Chain Rule）被強調為微分學中最強大的工具之一。通過多層嵌套函數的例子，我們展示瞭如何係統地分解復雜函數。本章後半部分介紹對數微分法和隱函數求導，這對於處理非顯式定義的函數關係（如圓的方程）至關重要。 第八章：導數的應用 本章是微分學的實踐高潮。我們探討瞭導數在分析函數行為中的應用： 1. 增減性與極值： 一階導數檢驗法判斷函數的局部最大值和最小值。 2. 凹凸性與拐點： 二階導數分析函數的彎麯方嚮。 3. 優化問題： 解決經典的資源分配、最大化體積或最小化成本等實際問題。 4. 相關變化率： 解決涉及時間依賴變量之間變化率關聯的問題。 第四部分：積分學——纍積與麵積 積分學是微分學的逆過程，也是纍積效應的量化工具。 第九章：黎曼和與定積分 本章從“麯綫下麵積”的幾何問題齣發，引入瞭黎曼和的概念。我們精確定義瞭定積分 $int_a^b f(x) dx$ 作為特定黎曼和的極限。本章詳細討論瞭積分的綫性性質和比較性質，為後續的微積分基本定理做準備。 第十章：微積分基本定理與不定積分 微積分基本定理（The Fundamental Theorem of Calculus, FTC）被清晰地闡述為微分和積分之間的橋梁。我們分彆闡述瞭FTC的第一部分（關於積分的導數）和第二部分（定積分的計算）。隨後，本章係統地介紹瞭不定積分（反導數）的查找過程，包括基本積分公式和積分的常見技巧，如對 $x^n$（注意 $n=-1$ 的特殊情況）和三角函數的積分。 第十一章：積分技巧與應用 本章專注於計算更復雜的定積分和不定積分： 1. 換元法（Substitution Rule）： 強調其與鏈式法則的對應關係，並展示其在定積分中處理上下限變化的方法。 2. 分部積分法（Integration by Parts）： 係統介紹 $int u dv = uv - int v du$ 的選擇策略，特彆適用於乘積形式的函數（如 $x e^x$ 或 $x ln x$）。 3. 有理函數的積分： 簡要介紹如何使用待定係數法分解為部分分式，盡管高級分解方法不在本書的範圍內，但其原理和基礎應用被充分覆蓋。 最後，本章應用積分計算麵積（兩條麯綫之間的麵積）和體積（圓盤法與薄殼法）。 結論 本書的結構確保瞭讀者在每一步都建立瞭堅實的邏輯基礎。我們側重於概念的清晰闡述、嚴謹的數學推理，以及這些工具在解決真實世界問題中的實際威力。完成本書的學習後，讀者將對微積分的核心概念擁有深刻的理解，並具備分析和解決需要代數和微積分知識的工程與科學問題的能力。

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