具体描述
This book contains a novel theory of random fields estimation of Wiener type, developed originally by the author and presented here. No assumption about the Gaussian or Markovian nature of the fields are made. The theory, constructed entirely within the framework of covariance theory, is based on a detailed analytical study of a new class of multidimensional integral equations basic in estimation theory. This book is suitable for graduate courses in random fields estimation. It can also be used in courses in functional analysis, numerical analysis, integral equations, and scattering theory.
好的，这是一本关于应用统计学与模式识别的图书的详细简介，内容专注于非线性模型、高维数据分析以及贝叶斯推断的实际应用，旨在提供一个全面且深入的理论与实践框架。 --- 《非参数建模与高维数据结构：从理论基础到前沿应用》 图书概述 本书旨在为高级研究生、研究人员以及需要在复杂、高维数据集上进行严谨统计推断的专业人士提供一本权威的参考指南。本书聚焦于超越传统线性模型和参数化假设的统计学前沿领域，重点探讨非参数回归、半参数模型、高维数据中的维度缩减技术，以及贝叶斯方法在处理不确定性和复杂结构中的强大能力。 与传统的基于欧几里得空间假设的估计方法不同，本书将数据结构本身视为核心，强调如何从内在的几何或拓扑结构中提取有意义的信息，从而构建出更具鲁棒性和泛化能力的预测模型。全书分为四个主要部分，逻辑清晰地引导读者从基础理论深入到尖端应用。 --- 第一部分：理论基础与模型重构 (Foundations and Model Recontextualization) 本部分为全书的理论基石，着重于重新审视统计推断的基本框架，特别是在数据量（$N$）与维度（$P$）都非常大的情况下。 1. 现代回归范式的转变 本章首先回顾了经典线性模型的局限性，并引入了函数空间中的回归概念。详细介绍了核方法（Kernel Methods）在构建非参数回归中的核心作用，特别是核函数的选择、带宽的优化及其对偏差-方差权衡的影响。深入探讨了再生核希尔伯特空间（RKHS）的数学结构，这是理解许多现代非参数估计器（如高斯过程）的理论前提。 2. 测度论与信息几何视角 为了更严格地处理数据分布的复杂性，本章引入了信息几何的概念。讨论了费舍尔信息矩阵作为流形上的黎曼度量，以及如何利用它来度量统计模型之间的“距离”。这为理解不同估计器之间的收敛速度和效率提供了一个新的几何视角。重点分析了关于分布的假设检验在高维空间中的局限性，并引入了基于最大均值不一致性（MMD）的检验方法。 3. 稳健性与损失函数设计 在面对异常值和污染数据时，传统最小二乘法会遭受严重影响。本章系统性地考察了M-估计量和S-估计量，并详细推导了Huber损失、Tukey双畴损失等稳健损失函数的最优选择标准。此外，还探讨了复合损失函数（Composite Loss Functions）的设计，用以平衡模型的拟合精度和对特定类型噪声的抵抗力。 --- 第二部分：高维统计与维度选择 (High-Dimensional Inference and Feature Selection) 随着数据维度 $P$ 趋近或超过样本量 $N$，传统统计学中的“大$P$小$N$”问题成为核心挑战。本部分专注于如何在信息爆炸的环境下识别出真正具有预测力的特征子集。 4. 稀疏性驱动的估计：惩罚方法的精细分析 本章是关于惩罚回归方法的深度剖析。除了标准的LASSO（$L_1$惩罚）及其一致性、渐近正态性，本书更侧重于对$ ext{Adaptive LASSO}$和$ ext{SCAD}$（平滑硬阈值）估计器的推导和比较。重点分析了在不同设计矩阵结构（如稀疏性和群组结构）下，不同惩罚函数对选择偏差的影响。 5. 维度缩减与嵌入学习 本章探讨了在无法依赖稀疏性假设时如何进行有效的降维。深入研究了主成分回归（PCR）和偏最小二乘（PLS）的统计性质，并将其置于更一般的张量分解框架下进行讨论。重点介绍了基于流形学习的非线性维度缩减技术，如局部线性嵌入（LLE）和Isomap，并讨论了如何评估嵌入空间中统计推断的有效性。 6. 协方差矩阵估计与结构识别 在高维场景下，对协方差矩阵或精度矩阵（逆协方差矩阵）的准确估计是进行有效推断的关键。本章详细分析了阈值化方法（Thresholding）和基于$ ext{Glasso}$（图套索）的稀疏精度矩阵估计。讨论了如何利用图形模型（Graphical Models）来揭示变量间的条件独立性结构，并探讨了在$P gg N$情况下估计矩阵秩和有效秩的现代技术。 --- 第三部分：时间序列与随机场结构 (Temporal Dependencies and Spatial Modeling Frameworks) 本部分将统计推断扩展到具有内在依赖结构的数据集，如时间序列和空间数据。 7. 具有非线性依赖的平稳过程分析 本章关注非线性时间序列模型，特别是那些无法用标准ARMA/GARCH框架描述的系统。深入探讨了状态空间模型（State-Space Models）的非线性扩展，例如使用扩展卡尔曼滤波（EKF）和无迹卡尔曼滤波（UKF）进行高维非线性系统的状态估计。讨论了如何使用核方法来估计时间序列的非线性自相关函数。 8. 空间数据的统计建模：超越欧氏距离 在空间统计中，依赖关系通常由地理邻近性定义。本章系统比较了马尔可夫随机场（MRF）与高斯马尔可夫随机场（GMRF）的优缺点，并详细推导了这些模型在网格和非网格（不规则区域）数据上的参数估计方法，特别是如何利用条件自回归（CAR）模型来处理空间异质性。 9. 空间/时间数据中的联合建模 本章探讨如何在一个统一的框架内同时捕捉空间相关性和时间自相关性。重点介绍了时空协方差函数的设计原则，并讨论了克里金法（Kriging）在高维和非欧几里得空间中的推广，包括协同克里金（Co-Kriging）的应用，以整合多源异构空间数据。 --- 第四部分：先进的贝叶斯推断与计算 (Advanced Bayesian Inference and Computation) 本部分将读者带入贝叶斯统计的深水区，侧重于如何利用现代计算工具来解决复杂模型的后验推断问题。 10. 变分推断与近似后验 传统的马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法在高维或复杂模型中可能收敛缓慢。本章详细介绍了变分推断（Variational Inference, VI）的原理，将其视为一个优化问题，并推导了平均场（Mean-Field）假设下的证据下界（ELBO）。讨论了使用深度学习技术（如深度生成模型）来参数化变分分布的现代方法。 11. MCMC的加速与诊断 对标准的Metropolis-Hastings和Gibbs采样进行了回顾，随后重点分析了高级MCMC技术，如哈密顿蒙特卡洛（HMC）及其变体（如NUTS采样器）。提供了详尽的诊断工具，包括Gelman-Rubin统计量、有效样本大小（ESS）计算，以及如何检测和解决后验分布的多模态问题。 12. 模型选择与预测评估的贝叶斯方法 本章关注如何在贝叶斯框架下进行模型比较和模型平均。深入探讨了计算贝叶斯因子（Bayes Factors）的替代方法，特别是利用包容性贝叶斯模型平均（IBMA）和通过模型证据的近似方法（WAIC, LOO-CV）。强调了在模型不确定性较高时，使用预测分布（Posterior Predictive Distribution）进行模型评估的重要性。 --- 目标读者与本书特色 本书的结构设计确保了读者不仅能理解这些高级模型的“如何工作”，更能理解其背后的“为何有效”。 理论严谨性： 提供了详尽的数学推导，特别是针对非参数估计的收敛率和渐近性质。 实践导向： 每章末尾均附有详细的“计算实现与挑战”讨论，指导读者如何将理论应用于实际的R或Python环境（侧重于`scikit-learn`、`statsmodels`的高级模块，以及专用贝叶斯库如`Stan`）。 前沿覆盖： 重点覆盖了近年来统计学界对高维和非线性结构研究的热点，如流形学习在统计中的应用以及大规模变分推断的优化策略。 本书是统计学、机器学习、计量经济学、生物统计学以及信号处理等领域研究人员进行高难度数据分析和模型开发时的必备参考书。
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