具体描述
《群论与量子计算导论》 作者： [在此处填写一位虚构的知名数学物理学家姓名，例如：阿德里安·沃尔夫森] 出版社： [在此处填写一家信誉卓著的学术出版社名称，例如：普林斯顿大学出版社] ISBN： [在此处填写一个虚构的、符合标准的ISBN号] --- 内容简介 本书旨在为具有扎实高等代数和基础量子力学背景的读者，提供一个深入且结构严谨的导论，探讨群论在现代量子信息科学中的核心应用。它不仅仅是一本关于抽象代数的教科书，更是一座连接纯数学的优雅结构与前沿物理实践的桥梁。 第一部分：基础结构的重申与推广 本书伊始，我们并未急于跳入复杂的量子计算模型，而是首先对读者所熟知的代数结构进行了系统的回顾与提升，重点关注那些直接服务于物理描述的方面。 第一章：群论的代数基础 本章详细阐述了有限群、无限群、李群（Lie Groups）的定义、性质及其在对称性描述中的作用。我们着重分析了置换群（Symmetric Groups, $S_n$）和一般线性群（General Linear Groups, $GL(V)$）的结构，特别是它们的子群、商群以及正规子群的构造。我们引入了表示论的初步概念，定义了群表示、等价表示、不可约表示（Irreducible Representations, Irreps）以及完备性关系（Orthogonality Relations）。着重讨论了群表示的维度与其特征标（Characters）之间的深刻联系。 第二章：矩阵群与李代数 本章深入探讨了连续对称性——李群。我们详细介绍了特殊酉群 ($SU(N)$)、正交群 ($SO(N)$) 和酉群 ($U(N)$) 在复向量空间上的定义和几何意义。随后，我们将重点引向李代数，将其作为李群在单位元处的切空间。我们推导了李括号的Jacobi恒等式，并讨论了如何通过指数映射（Exponential Map）从李代数重建群结构。对于 $SU(2)$ 和 $SU(3)$，我们进行了详尽的几何和代数分析，包括它们的根系结构（Root Systems）和 Cartan 子代数（Cartan Subalgebras）。 第二部分：量子力学中的对称性与表示 在第二部分，我们将抽象的代数工具应用于具体的物理系统，特别是量子力学的希尔伯特空间。 第三章：希尔伯特空间上的酉表示 本章将群作用的抽象概念具体化到量子态空间。我们论证了，描述守恒量（如角动量或动量）的对称性群必须由作用在希尔伯特空间上的酉算符来表示，以保证概率的守恒。我们分析了离散群（如晶体对称群 $D_n$）和连续群（如洛伦兹群）在特定物理系统（如晶格振动、相对论性场论基础）中的表示。我们详细探讨了张量积表示（Tensor Product Representations）以及如何使用Clebsch-Gordan系数来分解这些乘积，这对于理解多体系统的耦合至关重要。 第四章：角动量与自旋的代数结构 作为应用的高潮，本章专门剖析了 $SU(2)$ 群在原子物理和粒子物理中的核心作用。我们从李代数的角度出发，推导了升降算符（Ladder Operators）的对易关系，并严格地构建了角动量本征态的代数框架。我们探讨了自旋的数学描述，并解释了为什么半整数自旋（如电子的 $s=1/2$）的出现是群论对量子力学约束的直接结果。 第三部分：群论在量子计算中的应用 本部分是本书的重点，它将前文建立的代数基础直接桥接到量子信息和计算的前沿领域。 第五章：量子比特与酉变换 我们从群论的角度重新审视量子比特（Qubit）的空间 $H = mathbb{C}^2$。量子门的本质被定义为作用于这个希尔伯特空间上的酉矩阵，因此，所有可实现的量子操作都构成酉群 $U(2)$ 的一个子集。我们分析了 $U(2)$ 的结构，并将其分解为 $SU(2)$ 和一个全局相位因子 $U(1)$ 的半直积。我们详细讨论了泡利矩阵（Pauli Matrices）作为 $SU(2)$ 李代数的基底，以及它们如何生成单比特旋转群 $SO(3)$ 的双重覆盖群 $SU(2)$。 第六章：多比特系统与张量积空间 当系统扩展到 $N$ 个量子比特时，状态空间变为 $(mathbb{C}^2)^{otimes N}$，其上的酉变换群是 $U(2^N)$。本章探讨了如何利用张量积来构造多体系统的对称性。我们引入了特定子群，如 $SU(2^N)$，并讨论了如何用它们来描述特定类型的量子电路。我们重点分析了生成 $N$ 量子比特操作的最小集，并将其与群的生成元联系起来。 第七章：量子纠缠的群论描述 纠缠态是量子信息的核心资源，而群论提供了一种描述纠缠结构的方式。我们探讨了在特定对称性群作用下保持不变的态空间——即不变子空间。我们讨论了如何通过投影算符（Projection Operators）来识别和分离可分离态（Product States）和纠缠态。特别是，我们分析了群共变性（Group Covariance）在描述某些特定纠缠态（如GHZ态和W态的某些推广形式）中的作用。 第八章：酉群与量子算法的酉实现 本章聚焦于实际的量子电路设计。任何量子算法都可以被视为一个酉演化 $U$ 的有限序列。我们讨论了“酉实现”（Unitary Synthesis）的问题：如何用一组基础门（如 $CNOT$ 和单比特门）来逼近任意给定的酉矩阵 $U in U(2^N)$。我们证明了通用量子计算能力的代数等价性——即 $SU(2^N)$ 的生成集可以产生任意 $2^N imes 2^N$ 的酉矩阵（在给定容差内）。我们还讨论了如何利用李代数扩张的技巧来设计高效的量子模拟电路，特别是针对哈密顿量的演化 $e^{-iHt}$。 结论：代数结构与未来研究方向 本书在最后总结了群论在理解物理定律的根本对称性以及设计高效计算机制中的不可或缺性。我们展望了更高级的主题，例如非阿贝尔霍姆比群（Non-Abelian Homotopy Groups）在拓扑量子计算中的潜在角色，以及在非阿贝尔任意子（Non-Abelian Anyons）理论中，非交换群表示论如何构建拓扑量子纠错码。 --- 本书特色： 深度与广度兼备： 平衡了群表示论的严谨性与量子计算应用的直接性。 明确的物理驱动： 所有代数概念均通过物理对称性的约束进行动机化和解释。 面向计算的表述： 重点突出了 $SU(2^N)$ 和酉群在电路分解和算法构建中的直接作用，避免了过于抽象的纯数学讨论。 丰富的习题： 每章末尾包含大量的计算题和证明题，旨在巩固读者对代数结构的掌握。 目标读者： 理论物理研究生、数学物理方向的博士后研究人员、专注于量子信息科学和量子算法开发的工程师和计算机科学家。要求读者熟悉线性代数、基础微积分以及初级的量子力学概念（如狄拉克符号）。
作者简介
目录信息
读后感
评分
评分
评分
评分
评分
用户评价
评分
评分
评分
评分
评分
相关图书
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2026 qciss.net All Rights Reserved. 小哈图书下载中心 版权所有