The Geometry of Hessian Structures pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Shima, Hirohiko

出品人:

页数:246

译者:

出版时间:

价格:$ 77.97

装帧:HRD

isbn号码:9789812700315

丛书系列:

图书标签:

数学
几何学
赫斯结构
微分几何
代数几何
辛几何
复几何
流形
拓扑学
数学
偏微分方程

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具体描述

The geometry of Hessian structures is a fascinating emerging field of research. It is in particular a very close relative of Kahlerian geometry, and connected with many important pure mathematical branches such as affine differential geometry, homogeneous spaces and cohomology. The theory also finds deep relation to information geometry in applied mathematics. This systematic introduction to the subject first develops the fundamentals of Hessian structures on the basis of a certain pair of a flat connection and a Riemannian metric, and then describes these related fields as applications of the theory.

深入探索高维空间与黎曼几何的精妙交织：《微分几何中的黎曼曲率与测地线》图书简介：本书旨在为数学研究生、高级本科生以及致力于拓扑学、微分几何和理论物理学研究的专业人士，提供一套系统而深刻的关于黎曼几何核心概念的导论与进阶探讨。我们着重于建立严谨的数学框架，剖析黎曼流形上的曲率概念，特别是其内在结构如何决定测地线的行为与流形整体的拓扑性质。本书的叙事逻辑从最基础的微分流形概念出发，逐步深入到张量分析与联络理论，最终抵达黎曼几何的殿堂。我们不会止步于概念的罗列，而是致力于展示这些结构之间的内在联系与几何直觉。第一部分：流形的代数基础与张量分析在深入研究黎曼几何之前，理解微分流形上的分析工具至关重要。本部分首先回顾了光滑流形、切丛和向量场的基础知识。我们详细阐述了张量代数在黎曼几何中的核心作用，区分了协变张量、反变张量以及混合张量。书中以严谨的坐标无关语言，定义了张量场的微分和沿向量场的协变导数。关键章节侧重于：向量场的积分曲线与流（Flows）：详述了向量场如何诱导出流，以及流在局部定义的微分同胚性质。张量场的推广导数：系统介绍沿曲线和沿向量场的协变导数的概念，为后续引入联络奠定基础。外微分与德拉姆上同调的初步引入：尽管本书主要关注黎曼结构，但我们简要回顾了微分形式和德拉姆上同调，强调其在定义流形上拓扑不变量中的作用，作为未来更广泛几何研究的铺垫。第二部分：黎曼度量与联络的构建黎曼几何的本质在于对“长度”和“角度”的局部精确度量。第二部分的核心任务是定义黎曼度量张量及其必然引出的黎曼联络。我们首先严格定义了黎曼度量 $g$ 作为一个正定的二次型张量场。基于此度量，我们引入了Levi-Civita 联络的概念。本书花费大量篇幅证明了 Levi-Civita 联络的唯一存在性，并推导出了其在局部坐标系下的 Christoffel 符号表达式。我们强调了 Levi-Civita 联络的两个关键特性：无挠性（Torsion-free）和度量兼容性（Metric compatibility），并解释了这些特性如何确保了测地线的“最短路径”或“最直路径”的几何直觉。本部分的深入讨论包括：平行移动（Parallel Transport）：阐释了沿曲线的平行移动如何依赖于所选联络，以及黎曼度量兼容性如何保证平行移动对内积的保持。测地线的定义与性质：基于测地性方程 $ abla_{dot{gamma}} dot{gamma} = 0$，我们详细分析了测地线作为流形上“最直”曲线的特性。我们探讨了完备性问题，并引入了指数映射（Exponential Map），它是连接切空间与流形局部几何的关键桥梁。第三部分：曲率的几何解释与代数表达曲率是微分几何的核心。第三部分致力于从多个角度解析曲率的含义，并将其系统地编码到代数对象中。我们从曲率张量 $R$ 的定义出发，即衡量平行移动的非对易性。书中详细解释了 $R$ 如何度量流形偏离平坦空间（如欧几里得空间）的程度。我们严格推导了著名的 Ricci 恒等式，这是连接曲率与流形上向量场演化的关键。重点内容深入剖析：截面曲率（Sectional Curvature）：我们将曲率概念从张量推广到更直观的几何量。截面曲率定义为在由两个线性无关的切向量张成的平面上测得的高斯曲率。我们证明了截面曲率是决定局部几何形状的最基本量。高斯方程与绝妙定理：对于嵌入在更高维欧几里得空间中的流形，我们简要引入了 Codazzi-Mainardi 方程和 Gauss 方程，展示了曲率如何完全决定了流形在环境空间中的嵌入方式，这是对高斯“绝妙定理”的现代阐释。第四部分：黎曼曲率的拓扑与分析效应在掌握了曲率的代数结构后，第四部分将视角转向曲率对全局性质的影响，探讨了黎曼曲率与拓扑不变量之间的深层联系。我们详细讨论了Ricci 曲率张量 $Ric$ 和数量曲率 $S$。这些是曲率张量的缩并形式，它们在爱因斯坦场方程等物理学应用中扮演核心角色。分析与拓扑学的交汇点：空间结构与测地线聚焦：我们分析了正曲率（如球体）如何导致测地线聚焦，以及负曲率（如双曲空间）如何导致测地线发散。这一分析与比较定理（如 Bishop-Gromov 不等式）的几何直觉紧密相连。谱几何的启示：简要探讨了 Laplace-Beltrami 算子在黎曼流形上的作用。我们解释了流形的光谱（算子的特征值）如何部分地被其黎曼曲率所决定，揭示了曲率与分析现象的深刻耦合。全书以严谨的数学推理、清晰的几何图景和丰富的例子为特色，确保读者不仅能掌握黎曼几何的计算技巧，更能培养对高维空间结构和曲率本质的深刻洞察力。本书的结构旨在为深入研究微分拓扑、辛几何或理论物理中的广义相对论打下坚实的基础。